Addition, soustraction et multiplication : stratégies – Cours de Maths CRPE

Calculer vite et bien, c’est le fondement de toute réussite en mathématiques. Au CRPE, on attend de toi une maîtrise parfaite du calcul mental, du calcul posé et de l’estimation, mais aussi une capacité à expliquer comment transmettre ces compétences aux élèves du primaire. Cet article détaille les stratégies d’addition, de soustraction et de multiplication, depuis les propriétés fondamentales jusqu’aux techniques didactiques les plus efficaces pour le cycle 2 et le cycle 3.

Les propriétés fondamentales des opérations

Avant toute stratégie, il faut maîtriser les propriétés sur lesquelles reposent les raccourcis de calcul. Ces propriétés ne sont pas de simples curiosités théoriques : elles fondent chaque astuce mentale que tu utiliseras au concours.

Commutativité

L’addition et la multiplication sont commutatives :

• a + b = b + a
• a × b = b × a

La soustraction n’est PAS commutative : 7 − 3 ≠ 3 − 7.

En calcul mental, la commutativité permet de choisir l’ordre le plus commode. Pour calculer 3 + 48, pense 48 + 3 = 51. Pour 4 × 25, pense 25 × 4 = 100.

Associativité

L’addition et la multiplication sont associatives :

• (a + b) + c = a + (b + c)
• (a × b) × c = a × (b × c)

Tu peux donc regrouper les termes à ta guise. Pour 17 + 28 + 3, calcule (17 + 3) + 28 = 20 + 28 = 48. Pour 4 × 7 × 25, calcule (4 × 25) × 7 = 100 × 7 = 700.

Distributivité

La multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction :

• a × (b + c) = a × b + a × c
• a × (b − c) = a × b − a × c

Stratégies de calcul mental pour l’addition

Le calcul mental n’est pas un don inné. C’est un répertoire de stratégies que tu peux systématiser, pratiquer et enseigner. Voici les principales.

Stratégie 1 : compléter à la dizaine

Pour additionner deux nombres, décompose l’un des deux afin d’atteindre une dizaine ronde avec l’autre.

Exemple : 47 + 36. On décompose 36 en 3 + 33, ce qui donne 47 + 3 + 33 = 50 + 33 = 83. Autre façon : 47 + 36 = 47 + 33 + 3 = 80 + 3 = 83.

Avec trois termes : 28 + 45 + 12. On repère 28 + 12 = 40, puis 40 + 45 = 85.

Stratégie 2 : ajouter un nombre rond puis compenser

Ajouter 99, c’est ajouter 100 puis retrancher 1. Ajouter 298, c’est ajouter 300 puis retrancher 2.

Exemple : 465 + 199 = 465 + 200 − 1 = 665 − 1 = 664.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les racines carrées et calculs.

Exemple : 347 + 298 = 347 + 300 − 2 = 647 − 2 = 645.

Stratégie 3 : décomposer en centaines, dizaines, unités

On additionne séparément les centaines, les dizaines et les unités, puis on regroupe.

Exemple : 357 + 428 = (300 + 400) + (50 + 20) + (7 + 8) = 700 + 70 + 15 = 785.

✅ Voir la correction

On repère que 267 + 33 = 300 (compléter à la centaine). Puis 300 + 485 = 785. Stratégie : regroupement de paires donnant un nombre rond.

Stratégies de calcul mental pour la soustraction

Stratégie 1 : compter en avant (addition à trou)

Pour calculer 83 − 47, tu peux te demander : combien faut-il ajouter à 47 pour arriver à 83 ?

47 + 3 = 50, puis 50 + 33 = 83. Donc 83 − 47 = 3 + 33 = 36.

Cette stratégie est particulièrement efficace quand les deux nombres sont proches. Pour 502 − 497 : 497 + 5 = 502, donc la différence est 5.

Stratégie 2 : soustraire un nombre rond puis compenser

Soustraire 99, c’est soustraire 100 puis ajouter 1.

Exemple : 543 − 198 = 543 − 200 + 2 = 345.

Stratégie 3 : conservation des écarts

On peut ajouter (ou retrancher) le même nombre aux deux termes d’une soustraction sans changer le résultat : a − b = (a + k) − (b + k).

Exemple : 732 − 298 = 734 − 300 = 434. On a ajouté 2 aux deux termes pour rendre le calcul immédiat.

Stratégies de calcul mental pour la multiplication

Stratégie 1 : la distributivité

C’est la stratégie reine. On décompose un facteur pour obtenir des produits plus simples.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur le calcul mental au CRPE.

• 6 × 13 = 6 × 10 + 6 × 3 = 60 + 18 = 78
• 7 × 98 = 7 × 100 − 7 × 2 = 700 − 14 = 686
• 15 × 12 = 15 × 10 + 15 × 2 = 150 + 30 = 180
• 25 × 44 = 25 × 40 + 25 × 4 = 1 000 + 100 = 1 100

Stratégie 2 : factorisation et regroupement

On décompose un facteur en produit de facteurs plus simples.

• 15 × 14 = 15 × 2 × 7 = 30 × 7 = 210
• 25 × 36 = 25 × 4 × 9 = 100 × 9 = 900
• 12 × 35 = 12 × 5 × 7 = 60 × 7 = 420

Stratégie 3 : multiplier par 5, 25, 50

Ces multiplications se ramènent à des divisions grâce à des identités simples :

• Multiplier par 5 = multiplier par 10 puis diviser par 2. Exemple : 74 × 5 = 740/2 = 370.
• Multiplier par 25 = multiplier par 100 puis diviser par 4. Exemple : 48 × 25 = 4 800/4 = 1 200.
• Multiplier par 50 = multiplier par 100 puis diviser par 2. Exemple : 36 × 50 = 3 600/2 = 1 800.

Stratégie 4 : les carrés remarquables

Quelques identités utiles pour le calcul rapide :

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b²

Exemple : 31 × 29 = (30 + 1)(30 − 1) = 900 − 1 = 899.

Exemple : 52² = (50 + 2)² = 2 500 + 200 + 4 = 2 704.

✅ Voir la correction

a) 35 × 12 = 35 × 10 + 35 × 2 = 350 + 70 = 420 (distributivité).

Ce thème est développé dans notre article sur les fractions et leurs règles.

b) 125 × 24 = 125 × 8 × 3 = 1 000 × 3 = 3 000 (regroupement : 24 = 8 × 3).

c) 49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2 500 − 1 = 2 499 (identité remarquable).

Le calcul posé : techniques et pièges

L’addition posée

On aligne les chiffres par rang (unités sous les unités, dizaines sous les dizaines, etc.) et on additionne de droite à gauche en gérant les retenues.

Point de vigilance : les retenues en cascade. Par exemple, 999 + 1 = 1 000 génère trois retenues successives. Les élèves du CE1-CE2 butent souvent sur ce type de cas.

La soustraction posée

Deux méthodes coexistent en France :

• Méthode par emprunt (ou par cassage) : quand un chiffre du haut est inférieur à celui du bas, on « casse » une dizaine du rang supérieur. On emprunte 10 unités au rang des dizaines.
• Méthode par compensation (ou « ajouter en bas et en haut ») : on ajoute 10 au chiffre du haut et 1 à la retenue du rang suivant en bas.

La multiplication posée

L’algorithme classique repose sur la distributivité : on multiplie le nombre du haut par chaque chiffre du nombre du bas, en décalant d’un rang vers la gauche à chaque étape, puis on additionne les résultats intermédiaires.

Exemple : 347 × 26

• 347 × 6 = 2 082
• 347 × 20 = 6 940 (décalé d’un rang)
• Total : 2 082 + 6 940 = 9 022

L’estimation et l’ordre de grandeur

L’estimation est une compétence distincte du calcul exact. Elle permet de vérifier un résultat, de répondre à des questions du type « environ combien ? » et de détecter des erreurs grossières.

Voir aussi : les calculs avec les puissances pour compléter vos connaissances.

Arrondir puis calculer

Le principe : on arrondit chaque nombre à un ordre de grandeur commode avant de calculer.

• 487 + 312 ≈ 500 + 300 = 800 (le résultat exact est 799)
• 78 × 42 ≈ 80 × 40 = 3 200 (le résultat exact est 3 276)
• 6 234 − 1 987 ≈ 6 200 − 2 000 = 4 200 (le résultat exact est 4 247)

Encadrer le résultat

Pour une estimation plus précise, encadre chaque facteur :

78 × 42 est compris entre 70 × 40 = 2 800 et 80 × 50 = 4 000. Le résultat exact (3 276) tombe bien dans cet intervalle.

✅ Voir la correction

Estimation : 389 × 51 ≈ 400 × 50 = 20 000. Le résultat attendu est autour de 20 000 (un nombre à 5 chiffres). L’élève trouve 198 339 (6 chiffres), soit environ dix fois trop grand. Il a probablement mal géré le décalage des résultats intermédiaires. Le résultat exact est 19 839.

L’angle didactique : enseigner le calcul au cycle 2 et au cycle 3

Progression du calcul mental

Au CP, les élèves construisent le répertoire additif : toutes les sommes de deux nombres inférieurs ou égaux à 10. Au CE1, on étend aux dizaines entières et on commence les soustractions. Au CE2, on aborde la multiplication par les tables (de 2 à 9). Au CM1-CM2, toutes les stratégies de cet article sont à la portée des élèves, à condition d’être travaillées régulièrement.

Le rôle des rituels

Le calcul mental se travaille quotidiennement, idéalement en début de séance (10 à 15 minutes). Les formats varient : dictée de calculs, défi chronométré, jeu du furet (chaque élève ajoute un nombre fixé), jeu du compte est bon.

L’explicitation des stratégies

Un point clé en didactique : il ne suffit pas de faire calculer les élèves, il faut leur demander d’expliquer comment ils ont fait. La verbalisation des stratégies permet aux élèves qui n’ont que la procédure « compter de 1 en 1 » de découvrir des procédures plus efficaces.

L’introduction de l’algorithme posé

L’algorithme posé n’est pas une fin en soi : c’est un outil pour traiter les calculs que le calcul mental ne permet pas. On l’introduit quand les élèves comprennent la numération de position et les retenues. Les étapes :

1. Travailler d’abord sans retenue (34 + 25, 48 − 23).
2. Introduire la retenue avec du matériel de manipulation (bûchettes, abaques).
3. Passer progressivement à l’algorithme écrit.
4. Toujours accompagner d’une estimation pour vérifier la cohérence.

Erreurs d’élèves à connaître

• Addition : oubli de la retenue, ou retenue reportée au mauvais rang.
• Soustraction : inversion du sens (toujours « grand − petit » à chaque rang).
• Multiplication : oubli du décalage pour les résultats intermédiaires ; tables mal mémorisées (6 × 7, 7 × 8, 8 × 9 sont les plus souvent erronées).

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Résultat attendu : 504 − 287 = 217. L’élève a probablement fait 7 − 4 = 3 aux unités (inversion) et 8 − 0 = 8 aux dizaines (même erreur), obtenant …83 puis 323 avec une erreur sur les centaines. Remédiation : utiliser un matériel concret (billets de 100, pièces de 10 et de 1) pour montrer qu’on doit « casser » une dizaine quand on n’a pas assez d’unités, puis casser une centaine quand on n’a pas assez de dizaines.

Exercices de synthèse type CRPE

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a) 748 + 252 = 1 000 (paire donnant un nombre rond). Puis 1 000 + 1 563 = 2 563.

b) Conservation des écarts : 4 003 − 2 758 = 4 005 − 2 760 = 4 005 − 2 760. On calcule : 4 005 − 2 760 = 1 245.

c) 375 × 24 = 375 × 8 × 3 = 3 000 × 3 = 9 000. On a utilisé 375 × 8 = 3 000 (regroupement) puis multiplié par 3.

Le calcul au CRPE, c’est la combinaison de trois compétences : savoir calculer mentalement en choisissant la bonne stratégie, maîtriser les algorithmes posés sans erreur de retenue, et porter un regard de futur enseignant sur les procédures des élèves. Entraîne-toi à verbaliser tes propres stratégies : c’est exactement ce qu’on te demandera de faire devant un jury.