Les angles dans le cercle : calculs et applications - Cours de Maths CRPE

Les angles dans le cercle font partie des classiques du CRPE. Angle inscrit, angle au centre, arc intercepte, tangente au cercle : ces notions reviennent regulierement dans les epreuves ecrites, que ce soit dans un exercice de géométrie pure ou dans un problème de construction. Ce cours reprend tout ce que tu dois savoir : les définitions precises, la relation fondamentale entre angle inscrit et angle au centre, les théorèmes sur les arcs, la tangente et ses propriétés, avec des exemples detailles et des exercices corriges. Tu y trouveras aussi des conseils de redaction pour les démonstrations du concours.

Rappels sur le cercle : vocabulaire de base

Avant d’aborder les angles, tu dois maitriser le vocabulaire du cercle. Un cercle de centre O et de rayon r est l’ensemble des points situes a la distance r du point O.

Rayon : segment reliant le centre O a un point du cercle. Sa longueur est r.
Diametre : segment reliant deux points du cercle en passant par le centre. Sa longueur est 2r.
Corde : segment reliant deux points du cercle (le diametre est un cas particulier de corde).
Arc : portion du cercle delimitee par deux points. Deux points definissent deux arcs, un petit arc et un grand arc (sauf s’ils forment un diametre, auquel cas les deux arcs sont egaux : ce sont des demi-cercles).

À retenir

Le périmètre (ou circonference) du cercle est P = 2πr. L’aire du disque est A = πr². Pour un arc de mesure α (en degrés), la longueur de l’arc vaut (α/360) × 2πr et l’aire du secteur angulaire correspondant vaut (α/360) × πr².

L’angle au centre

Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre O du cercle et dont les cotes passent par deux points A et B du cercle.

L’angle au centre AOB intercepte l’arc AB (le petit arc AB si l’angle est aigu ou droit, le grand arc si l’angle est obtus, sauf precision contraire). La mesure de l’angle au centre est, par définition, egale a la mesure de l’arc intercepte.

Autrement dit : la mesure de l’arc AB = la mesure de l’angle au centre AOB.

Cette relation est la définition meme de la mesure d’un arc en degrés. Si l’angle AOB mesure 80°, alors l’arc AB mesure 80°.

Propriétés de l’angle au centre

Le triangle OAB est isocele en O (car OA = OB = r). Les angles a la base sont donc egaux.
Si l’arc AB est un demi-cercle, l’angle au centre mesure 180°.
Si A et B sont confondus, l’angle au centre mesure 0° (ou 360° pour le tour complet).

Exemple : Sur un cercle de centre O, l’angle au centre AOB mesure 110°. Determine les angles du triangle OAB.

Le triangle OAB est isocele en O (OA = OB = rayon). L’angle en O vaut 110°. La somme des angles d’un triangle est 180°. Les deux angles restants sont egaux et valent chacun (180 – 110) / 2 = 70/2 = 35°.

L’angle inscrit

Un angle inscrit est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les cotes coupent le cercle en deux autres points.

Plus precisement, si M est un point du cercle, l’angle AMB (avec A et B sur le cercle) est un angle inscrit dans le cercle. Il intercepte le meme arc AB que l’angle au centre AOB, mais depuis un point M situe sur le cercle (et non au centre).

Le théorème de l’angle inscrit et de l’angle au centre

C’est le résultat fondamental de toute cette lecon :

À retenir

Théorème : Un angle inscrit est egal a la moitie de l’angle au centre qui intercepte le meme arc.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur la symétrie et les transformations.

Si l’angle au centre AOB mesure α, alors tout angle inscrit AMB interceptant le meme arc AB mesure α / 2.

Reciproquement : l’angle au centre est le double de l’angle inscrit.

Ce théorème a une consequence immediate : tous les angles inscrits qui interceptent le meme arc sont egaux, quel que soit le point M choisi sur le cercle (du meme cote de la corde AB).

Démonstration du théorème (cas simple)

Traitons le cas ou le centre O est sur un cote de l’angle inscrit, c’est-a-dire le cas ou M, O et A sont tels que le diametre MA passe par O.

Le triangle OMB est isocele en O (car OM = OB = r). Notons β = angle OMB = angle OBM. L’angle au centre AOB est un angle exterieur au triangle OMB, donc :

Angle AOB = angle OMB + angle OBM = β + β = 2β

Donc l’angle inscrit AMB = β = (angle AOB) / 2. Le théorème est demontre dans ce cas.

Les cas ou O est a l’interieur ou a l’exterieur de l’angle inscrit se traitent par decomposition et somme/difference d’angles.

Exemples d’application

Exemple 1 : L’angle au centre AOB mesure 120°. Calcule l’angle inscrit AMB interceptant le meme arc AB.

Par le théorème : angle inscrit = 120 / 2 = 60°.

Exemple 2 : Un angle inscrit AMB mesure 35°. Calcule l’angle au centre AOB correspondant.

Angle au centre = 2 × 35 = 70°.

Exemple 3 : Deux angles inscrits AMB et ANB interceptent le meme arc AB. L’angle AMB mesure 48°. Que vaut l’angle ANB ?

Ils interceptent le meme arc, donc ils sont egaux : angle ANB = 48°.

️ Exercice

Sur un cercle de centre O, on place les points A, B et C sur le cercle. L’angle au centre AOB mesure 140°.

a) Calcule l’angle inscrit ACB interceptant le petit arc AB (C sur le grand arc).

b) Calcule l’angle inscrit ACB si C est sur le petit arc AB (il intercepte alors le grand arc AB).

Voir la correction

a) Le petit arc AB mesure 140°. L’angle inscrit interceptant ce petit arc vaut 140 / 2 = 70°.

b) Le grand arc AB mesure 360 – 140 = 220°. L’angle au centre correspondant au grand arc est 220°. L’angle inscrit interceptant le grand arc vaut 220 / 2 = 110°.

Remarque : les deux angles inscrits (70° et 110°) sont supplementaires. C’est toujours le cas pour deux angles inscrits interceptant les deux arcs complémentaires.

Le cas particulier du demi-cercle

Un cas extremement important decoule du théorème précédent :

À retenir

Théorème de Thales sur le cercle (ou théorème de l’angle dans le demi-cercle) :

Retrouvez les détails dans notre fiche sur les propriétés des triangles.

Si AB est un diametre d’un cercle et M un point du cercle different de A et B, alors l’angle AMB est un angle droit (90°).

Reciproquement : si l’angle AMB vaut 90° et que A, B, M sont sur un meme cercle, alors AB est un diametre de ce cercle.

Ce résultat decoule directement du théorème inscrit/centre : l’angle au centre AOB correspondant a un demi-cercle mesure 180°. L’angle inscrit AMB vaut donc 180 / 2 = 90°.

Ce théorème est l’un des plus utilises au CRPE. Il permet de montrer qu’un angle est droit, de construire un angle droit avec un compas, ou de determiner le centre d’un cercle.

Exemple : ABC est un triangle rectangle en C inscrit dans un cercle. Quelle particularite a le segment AB ?

L’angle ACB = 90°. Par le théorème réciproque, AB est un diametre du cercle. Le centre du cercle est le milieu de AB et le rayon vaut AB/2.

Astuce

Au CRPE, quand tu vois un triangle rectangle inscrit dans un cercle, pense immediatement au diametre. L’hypotenuse est toujours le diametre du cercle circonscrit. Et inversement, si l’enonce mentionne un diametre et un point du cercle, tu obtiens automatiquement un angle droit.

️ Exercice

AB est un diametre d’un cercle de centre O et de rayon 5 cm. M est un point du cercle tel que AM = 6 cm.

a) Justifie que le triangle AMB est rectangle.

b) Calcule BM.

c) Calcule l’angle ABM.

Voir la correction

a) AB est un diametre et M est un point du cercle. D’apres le théorème de l’angle dans le demi-cercle, l’angle AMB est un angle droit. Le triangle AMB est rectangle en M.

b) AB = 2 × 5 = 10 cm. Par le théorème de Pythagore dans le triangle AMB rectangle en M :

AB² = AM² + BM², soit 100 = 36 + BM², donc BM² = 64 et BM = 8 cm.

c) Dans le triangle rectangle AMB, sin(ABM) = AM/AB = 6/10 = 0,6. Donc angle ABM = arcsin(0,6) ≈ 36,87° (environ 37°).

Quadrilatere inscrit dans un cercle

Un quadrilatere inscrit (ou quadrilatere cyclique) est un quadrilatere dont les quatre sommets sont sur un meme cercle.

À retenir

Théorème : Dans un quadrilatere inscrit dans un cercle, les angles opposes sont supplementaires (leur somme vaut 180°).

Si ABCD est inscrit dans un cercle, alors :

angle A + angle C = 180° et angle B + angle D = 180°.

Ce résultat decoule du théorème de l’angle inscrit. L’angle en A intercepte l’arc BCD et l’angle en C intercepte l’arc BAD. Les deux arcs reunis forment le cercle entier (360°). Comme chaque angle inscrit vaut la moitie de l’arc intercepte, la somme des deux angles inscrits opposes vaut 360/2 = 180°.

Ce thème est développé dans notre article sur la géométrie dans le plan et l’espace.

Exemple : ABCD est un quadrilatere inscrit dans un cercle. L’angle en A mesure 75° et l’angle en B mesure 110°. Calcule les angles en C et en D.

Angle C = 180 – 75 = 105°. Angle D = 180 – 110 = 70°.

Vérification : 75 + 110 + 105 + 70 = 360°. Correct.

La tangente au cercle

Une tangente a un cercle est une droite qui touche le cercle en un seul point, appele point de tangence (ou point de contact).

Propriété fondamentale de la tangente

À retenir

La tangente au cercle en un point T est perpendiculaire au rayon OT en ce point.

Reciproquement : la droite perpendiculaire au rayon OT au point T est la tangente au cercle en T.

Cette perpendicularite est la propriété cle. Elle sert dans de nombreuses constructions et démonstrations au CRPE.

Tangentes issues d’un point exterieur

Depuis un point P exterieur au cercle, on peut tracer exactement deux tangentes au cercle. Si T et T’ sont les points de tangence, alors :

PT = PT’ (les deux segments de tangente ont la meme longueur).
La droite PO est l’axe de symétrie de la figure formee par les deux tangentes.
Les angles OPT et OPT’ sont egaux.

Exemple : Un cercle de centre O et de rayon 3 cm. Le point P est situe a 5 cm du centre. Calcule la longueur des tangentes PT issues de P.

Le triangle OTP est rectangle en T (tangente perpendiculaire au rayon). Par Pythagore :

OP² = OT² + PT², soit 25 = 9 + PT², donc PT² = 16 et PT = 4 cm.

️ Exercice

Un cercle de centre O a un rayon de 6 cm. Le point P est exterieur au cercle et la tangente PT mesure 8 cm.

a) Calcule la distance OP.

b) Calcule l’angle OPT.

Voir la correction

a) Triangle OTP rectangle en T. OP² = OT² + PT² = 36 + 64 = 100. Donc OP = 10 cm.

b) tan(OPT) = OT/PT = 6/8 = 0,75. Donc angle OPT = arctan(0,75) ≈ 36,87° (environ 37°).

L’angle entre une tangente et une corde

Quand une tangente en T et une corde TA partent du meme point T, l’angle entre la tangente et la corde est egal a la moitie de l’arc intercepte TA (le meme arc que celui que « voit » un angle inscrit depuis l’autre cote).

Cette propriété est en fait coherente avec le théorème de l’angle inscrit : l’angle entre tangente et corde se comporte comme un angle inscrit « limite » quand le sommet tend vers le point de tangence.

️ Erreur fréquente

Ne confonds pas l’angle entre la tangente et le rayon (qui vaut toujours 90°) avec l’angle entre la tangente et une corde (qui depend de l’arc intercepte). Ce sont deux situations differentes. Au CRPE, fais bien un schéma avant de calculer et identifie precisement quels segments forment l’angle demande.

Voir aussi : l’échelle en géométrie pour compléter vos connaissances.

Arcs et angles : recapitulatif des relations

Configuration	Formule
Angle au centre AOB	= mesure de l’arc AB
Angle inscrit AMB	= (1/2) × arc AB intercepte
Angle dans un demi-cercle	= 90°
Quadrilatere inscrit (angles opposes)	Somme = 180°
Tangente et rayon au point de contact	= 90°
Angle tangente-corde	= (1/2) × arc intercepte

Exercices de synthese

️ Exercice

Exercice 1 : Sur un cercle de centre O, on place trois points A, B et C. L’arc AB (petit arc) mesure 100° et l’arc BC (petit arc) mesure 130°.

a) Calcule la mesure de l’arc CA.

b) Calcule l’angle inscrit ACB.

c) Calcule l’angle inscrit BAC.

d) Calcule l’angle inscrit ABC.

e) Vérifié que la somme des angles du triangle ABC vaut 180°.

Voir la correction

a) Arc CA = 360 – 100 – 130 = 130°.

b) L’angle inscrit ACB intercepte l’arc AB = 100°. Donc ACB = 100/2 = 50°.

c) L’angle inscrit BAC intercepte l’arc BC = 130°. Donc BAC = 130/2 = 65°.

d) L’angle inscrit ABC intercepte l’arc CA = 130°. Donc ABC = 130/2 = 65°.

e) 50 + 65 + 65 = 180°. La somme est correcte. Le triangle ABC est isocele en A (car les arcs BC et CA sont egaux, donc les cordes BC et CA sont egales).

️ Exercice

Exercice 2 : ABCD est un quadrilatere inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 5 cm. L’angle en A mesure 82° et l’angle en D mesure 95°.

a) Calcule l’angle en C et l’angle en B.

b) AC est un diametre du cercle. Que vaut l’angle ABC ? Justifie.

Voir la correction

a) Angles opposes supplementaires : angle C = 180 – 82 = 98°. Angle B = 180 – 95 = 85°. Vérification : 82 + 85 + 98 + 95 = 360°.

b) Si AC est un diametre, alors B est un point du cercle et l’angle ABC est un angle inscrit dans un demi-cercle. Donc angle ABC = 90°. Mais attention : si l’angle en B vaut 90°, alors par les angles opposes supplementaires, l’angle en D vaudrait 180 – 90 = 90° aussi. Or l’enonce dit angle D = 95°. Cela signifie que AC ne peut pas etre un diametre avec ces mesures d’angles. L’hypothèse de la question b) est donc incompatible avec les donnees de la question a). C’est un piege : il faut le signaler au correcteur.

️ Exercice

Exercice 3 : Un cercle de centre O et de rayon 10 cm. La tangente au cercle en T passe par un point P tel que OP = 26 cm.

a) Calcule PT.

Nous vous conseillons également notre cours sur les aires et périmètres.

b) Calcule l’angle TPO.

c) La seconde tangente issue de P touche le cercle en T’. Calcule l’angle TPT’.

Voir la correction

a) Triangle OTP rectangle en T. PT² = OP² – OT² = 676 – 100 = 576. Donc PT = 24 cm.

b) sin(TPO) = OT/OP = 10/26 = 5/13 ≈ 0,3846. Donc angle TPO = arcsin(5/13) ≈ 22,6°.

c) Par symétrie, l’angle T’PO = angle TPO ≈ 22,6°. Donc l’angle TPT’ = 2 × 22,6 ≈ 45,2°.

Constructions a la regle et au compas

Les constructions géométriques liees au cercle sont frequentes au CRPE. Voici les principales que tu dois savoir faire.

Construire la tangente a un cercle en un point T

Trace le rayon OT.
Construis la perpendiculaire a OT passant par T (avec l’equerre ou par construction au compas).
Cette perpendiculaire est la tangente cherchee.

Construire un angle droit a l’aide d’un demi-cercle

Trace un segment AB qui sera le diametre.
Trace le cercle de diametre AB (centre au milieu de AB).
Choisis n’importe quel point M sur le cercle (different de A et B). Le triangle AMB est rectangle en M.

Trouver le centre d’un cercle

Trace deux cordes non parallèles.
Construis la médiatrice de chaque corde.
Le point d’intersection des deux médiatrices est le centre du cercle.

Astuce

Au CRPE, soigne tes figures. Utilise un compas (pas de cercles a main levee), trace les angles droits avec un petit carré, note les points et les mesures connues. Un schéma clair t’aide a visualiser le problème et peut compenser une démonstration incomplete. Rappelle toujours le théorème utilise avant de donner le résultat numerique.

Longueurs d’arcs et aires de secteurs

Pour terminer, revenons sur les calculs metriques lies aux arcs.

Longueur d’un arc

La longueur d’un arc de cercle de rayon r correspondant a un angle au centre α (en degrés) est :

L = (α / 360) × 2πr

Exemple : Un arc de 72° sur un cercle de rayon 10 cm. L = (72/360) × 2π × 10 = (1/5) × 20π = 4π ≈ 12,57 cm.

Aire d’un secteur angulaire

L’aire du secteur angulaire (la « part de camembert ») est :

A = (α / 360) × πr²

Exemple : Un secteur de 72° dans un cercle de rayon 10 cm. A = (72/360) × π × 100 = 20π ≈ 62,83 cm².

️ Exercice

Exercice final : Un cercle de rayon 8 cm. L’angle au centre AOB mesure 150°.

a) Calcule la longueur du petit arc AB.

b) Calcule l’aire du secteur angulaire correspondant.

c) Un angle inscrit AMB intercepte ce meme arc. Calcule l’angle AMB.

Voir la correction

a) L = (150/360) × 2π × 8 = (5/12) × 16π = 80π/12 = 20π/3 ≈ 20,94 cm.

b) A = (150/360) × π × 64 = (5/12) × 64π = 320π/12 = 80π/3 ≈ 83,78 cm².

c) L’angle inscrit AMB interceptant le petit arc AB de 150° vaut 150/2 = 75°.

Les angles dans le cercle reposent sur un nombre limite de théorèmes, mais leurs applications sont multiples. Le théorème de l’angle inscrit (moitie de l’angle au centre) est la cle de voute de tout le chapitre. Le cas particulier du demi-cercle (angle droit) intervient dans une quantite enorme de problèmes de géométrie. La tangente et sa perpendicularite avec le rayon completent ta boite a outils. Au CRPE, la reussite sur ces questions passe par trois habitudes : faire un schéma soigne, citer le théorème utilise et vérifier la coherence des mesures trouvees.

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Cardia Anthony

Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.

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