Calculs avec les pourcentages : taux et évolutions – Cours de Maths CRPE

Les pourcentages et les taux d’évolution font partie des thèmes les plus tombés au CRPE. Tu les retrouves dans les problèmes de la vie courante (soldes, augmentations de prix, statistiques) et dans les questions de didactique. Maîtriser les pourcentages, c’est savoir jongler entre fractions, décimaux et proportions, et comprendre comment les évolutions se composent entre elles. Cet article couvre tout le programme : pourcentage d’un nombre, proportion, taux d’évolution, évolutions successives, coefficient multiplicateur et indice. Chaque notion est expliquée en profondeur avec des exemples concrets et des exercices corrigés pour t’entraîner dans les conditions du concours.

Le pourcentage : définition et calcul de base

Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est 100. Écrire « 25 % » signifie « 25 pour 100 », soit la fraction 25/100 = 0,25. C’est une manière d’exprimer une proportion.

Calculer le pourcentage d’un nombre

Pour calculer t % d’un nombre N, tu multiplies N par t/100 :

t % de N = N × t / 100

Exemples :

• 20 % de 150 = 150 × 20/100 = 150 × 0,20 = 30
• 35 % de 240 = 240 × 35/100 = 240 × 0,35 = 84
• 7,5 % de 800 = 800 × 7,5/100 = 800 × 0,075 = 60

Trouver quel pourcentage une partie représente

Si une partie P est contenue dans un total T, le pourcentage que P représente par rapport à T est :

Pourcentage = (P / T) × 100

Exemples :

• Dans une classe de 30 élèves, 12 sont des filles. Les filles représentent (12/30) × 100 = 40 % de la classe.
• Un article coûte 45 € après une remise de 9 €. La remise représente (9/45) × 100 = 20 % du prix remisé. Attention : si le prix initial est 54 €, la remise par rapport au prix initial est (9/54) × 100 ≈ 16,7 %.

Trouver le total à partir d’un pourcentage

Si tu sais que t % d’un nombre N vaut P, alors :

N = P × 100 / t

Exemples :

• 15 % d’un nombre vaut 36. Le nombre est 36 × 100/15 = 240.
• 40 % des élèves d’une école pratiquent un sport, ce qui représente 120 élèves. L’école a 120 × 100/40 = 300 élèves.

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a) 35 % de 680 = 680 × 35/100 = 680 × 0,35 = 238

b) (162/450) × 100 = 36 %

c) N = 54 × 100/12 = 5 400/12 = 450

Le coefficient multiplicateur

Le coefficient multiplicateur est l’outil central pour traiter les problèmes de pourcentage au CRPE. Il transforme les augmentations et les diminutions en multiplications.

Augmentation

Augmenter un prix de t %, c’est multiplier ce prix par le coefficient multiplicateur :

CM = 1 + t/100

Exemples :

• Augmentation de 20 % : CM = 1 + 0,20 = 1,20
• Augmentation de 5 % : CM = 1 + 0,05 = 1,05
• Augmentation de 150 % : CM = 1 + 1,50 = 2,50

Un article à 80 € augmenté de 15 % coûte : 80 × 1,15 = 92 €.

Diminution

Diminuer un prix de t %, c’est multiplier ce prix par :

CM = 1 − t/100

Exemples :

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les racines carrées et calculs.

• Diminution de 30 % : CM = 1 − 0,30 = 0,70
• Diminution de 10 % : CM = 1 − 0,10 = 0,90
• Diminution de 75 % : CM = 1 − 0,75 = 0,25

Un article à 120 € soldé à −25 % coûte : 120 × 0,75 = 90 €.

Retrouver le prix initial

Si tu connais le prix final et le coefficient multiplicateur, tu retrouves le prix initial en divisant :

Prix initial = Prix final / CM

Exemple : un article coûte 69 € après une augmentation de 15 %. Son prix initial était : 69 / 1,15 = 60 €.

Autre exemple : un article coûte 56 € après une réduction de 20 %. Son prix initial était : 56 / 0,80 = 70 €.

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a) CM = 1,035. Nouveau loyer = 750 × 1,035 = 776,25 €

b) CM = 0,70. Prix soldé = 89 × 0,70 = 62,30 €

c) CM = 1,08. Prix initial = 64,80 / 1,08 = 60 €

Le taux d’évolution

Le taux d’évolution mesure la variation relative entre une valeur initiale et une valeur finale. Il s’exprime en pourcentage.

Formule du taux d’évolution

Taux d’évolution = (Valeur finale − Valeur initiale) / Valeur initiale × 100

Ou, de manière équivalente :

Taux d’évolution = (CM − 1) × 100

Si le taux est positif, c’est une augmentation. S’il est négatif, c’est une diminution.

Exemples :

• Un prix passe de 50 € à 60 €. Taux = (60 − 50)/50 × 100 = +20 %.
• Un prix passe de 80 € à 68 €. Taux = (68 − 80)/80 × 100 = −15 %.
• Un effectif passe de 200 à 250. Taux = (250 − 200)/200 × 100 = +25 %.

Taux d’évolution et coefficient multiplicateur

Le lien entre taux d’évolution t et coefficient multiplicateur CM est direct :

• CM = 1 + t/100 (pour passer du taux au CM)
• t = (CM − 1) × 100 (pour passer du CM au taux)

Ce lien est à connaître par coeur. Il te permet de passer d’une grandeur à l’autre instantanément.

Les évolutions successives

Quand un prix subit plusieurs évolutions successives, les coefficients multiplicateurs se multiplient entre eux. Les taux, eux, ne s’additionnent pas.

Le principe de composition

Si un prix subit d’abord une évolution de taux t₁ (CM₁), puis une évolution de taux t₂ (CM₂), le coefficient multiplicateur global est :

CM global = CM₁ × CM₂

Le taux d’évolution global est alors : t global = (CM global − 1) × 100.

Exemple fondamental : hausse puis baisse

Un prix augmente de 20 % puis diminue de 20 %. Revient-il à sa valeur initiale ? Non.

CM global = 1,20 × 0,80 = 0,96. Le taux global est (0,96 − 1) × 100 = −4 %.

Le prix a baissé de 4 % par rapport à son niveau initial. Pourquoi ? Parce que la baisse de 20 % s’applique à un prix plus élevé (après la hausse), donc elle retranche plus que ce que la hausse avait ajouté.

Vérification numérique : un prix de 100 € augmenté de 20 % donne 120 €. Puis 120 € diminué de 20 % donne 120 × 0,80 = 96 €. Soit 4 € de moins que le prix initial de 100 €.

Trois évolutions successives et plus

Le principe se généralise à n’importe quel nombre d’évolutions :

CM global = CM₁ × CM₂ × CM₃ × … × CMₙ

Exemple : un prix augmente de 10 %, puis de 5 %, puis diminue de 12 %. CM global = 1,10 × 1,05 × 0,88 = 1,0164. Le taux global est +1,64 %.

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a) CM global = 1,25 × 0,90 × 1,08 = 1,215

b) Taux global = (1,215 − 1) × 100 = +21,5 %

c) Prix final = 200 × 1,215 = 243 €

L’évolution réciproque

L’évolution réciproque est celle qui annule une évolution donnée pour revenir à la valeur initiale.

Formule

Si le coefficient multiplicateur d’une évolution est CM, le coefficient multiplicateur de l’évolution réciproque est :

CM réciproque = 1 / CM

Le taux d’évolution réciproque est : t réciproque = (1/CM − 1) × 100.

Ce thème est développé dans notre article sur les fractions et leurs règles.

Exemples

• Après une augmentation de 25 % (CM = 1,25), pour revenir au prix initial, il faut une diminution de taux : (1/1,25 − 1) × 100 = (0,80 − 1) × 100 = −20 %.
• Après une diminution de 40 % (CM = 0,60), pour revenir au prix initial, il faut une augmentation de taux : (1/0,60 − 1) × 100 = (1,6667 − 1) × 100 ≈ +66,7 %.

Remarque que les taux ne sont pas symétriques : pour annuler une hausse de 25 %, il faut une baisse de 20 % (et non 25 %). Pour annuler une baisse de 40 %, il faut une hausse de 66,7 % (et non 40 %).

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a) CM = 1,60. CM réciproque = 1/1,60 = 0,625. Taux = (0,625 − 1) × 100 = −37,5 %

b) CM = 0,85. CM réciproque = 1/0,85 ≈ 1,1765. Taux ≈ (1,1765 − 1) × 100 ≈ +17,65 %

c) CM global des deux hausses = 1,10 × 1,10 = 1,21. CM réciproque = 1/1,21 ≈ 0,8264. Taux = (0,8264 − 1) × 100 ≈ −17,36 %

Le taux d’évolution moyen

Quand une grandeur évolue sur plusieurs périodes, on peut chercher un taux unique qui, appliqué à chaque période, donnerait le même résultat global.

Formule

Si le coefficient multiplicateur global sur n périodes est CM global, le coefficient multiplicateur moyen par période est :

CM moyen = (CM global)^(1/n)

Le taux d’évolution moyen est : t moyen = (CM moyen − 1) × 100.

Exemple

Le chiffre d’affaires d’une entreprise passe de 100 000 € à 146 410 € en 4 ans. Le CM global est 146 410/100 000 = 1,4641. Le CM moyen annuel est 1,4641^(1/4) = 1,10. Le taux d’évolution moyen annuel est +10 %.

Vérification : 100 000 × 1,10⁴ = 100 000 × 1,4641 = 146 410. C’est cohérent.

Les indices

Un indice est un nombre qui exprime la valeur d’une grandeur par rapport à une valeur de référence (la base). La base est généralement fixée à 100.

Calcul d’un indice

Si la valeur de référence (année de base) est V₀ et la valeur actuelle est V, l’indice est :

Indice = (V / V₀) × 100

Exemples :

• Le prix d’un bien passe de 50 € (base) à 65 €. L’indice est (65/50) × 100 = 130. Cela signifie que le prix a augmenté de 30 % par rapport à la base.
• Le nombre d’habitants passe de 2 000 (base) à 1 800. L’indice est (1 800/2 000) × 100 = 90. Cela signifie une baisse de 10 %.

Lire un indice

L’indice se lit facilement :

Voir aussi : les calculs avec les puissances pour compléter vos connaissances.

• Indice = 100 : la valeur est identique à la valeur de base.
• Indice > 100 : la valeur a augmenté. L’augmentation en % est l’indice − 100.
• Indice < 100 : la valeur a diminué. La diminution en % est 100 − l’indice.

Coefficient multiplicateur entre deux indices

Si tu connais l’indice à deux dates différentes (I₁ et I₂, même base), le coefficient multiplicateur entre ces deux dates est :

CM = I₂ / I₁

Exemple : l’indice des prix est 108 en 2022 et 115 en 2024 (base 100 en 2020). Le CM entre 2022 et 2024 est 115/108 ≈ 1,0648, soit une hausse d’environ 6,48 %.

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a) CM global = 118/100 = 1,18. Taux global = +18 %.

b) CM = 118/108 ≈ 1,0926. Taux ≈ +9,26 %.

c) CM moyen = 1,18^(1/4) ≈ 1,0422. Taux moyen ≈ +4,22 % par an.

Proportionnalité et pourcentages

Les pourcentages sont intimement liés à la proportionnalité. Un pourcentage exprime une proportion, et les calculs de pourcentage se ramènent souvent à des calculs de proportionnalité.

Tableau de proportionnalité

Le tableau de proportionnalité est un outil classique pour résoudre les problèmes de pourcentage au CRPE :

• 20 % de 350 : on pose le tableau [100 → 350, 20 → ?]. Le coefficient est 350/100 = 3,5. Résultat : 20 × 3,5 = 70.
• Quel pourcentage représente 42 sur 168 ? Tableau [168 → 100, 42 → ?]. Le coefficient est 100/168. Résultat : 42 × 100/168 = 25 %.

Pourcentages et fractions

Les équivalences entre pourcentages et fractions les plus courantes :

• 50 % = 1/2
• 25 % = 1/4
• 75 % = 3/4
• 20 % = 1/5
• 10 % = 1/10
• 33,3… % = 1/3
• 66,6… % = 2/3
• 12,5 % = 1/8

La didactique des pourcentages au CRPE

Les pourcentages sont enseignés à partir du cycle 3. Les questions de didactique du CRPE portent sur les obstacles d’apprentissage et les situations à proposer aux élèves.

Les obstacles courants

• La confusion entre pourcentage et valeur absolue : « 30 % de réduction, c’est une réduction de 30 € ». Non, cela dépend du prix initial.
• L’additivité des pourcentages : « +10 % puis +10 % = +20 % ». Non, c’est +21 %.
• La symétrie des pourcentages : « +20 % puis −20 % = 0 % ». Non, c’est −4 %.
• La confusion sur la référence : dans une classe de 30 élèves, 12 filles et 18 garçons, « 12 sur 18, c’est 66 % de filles ». Non, c’est 12 sur 30 = 40 %.

Situations d’apprentissage

• Les soldes : calculer le prix après réduction, comparer des offres (−30 % vs −20 € sur un article à 80 €).
• Les recettes de cuisine : adapter les proportions d’une recette pour 4 personnes à 6 personnes (proportionnalité).
• Les sondages et statistiques : lire et interpréter des diagrammes en pourcentage.
• Le sport : calculer le pourcentage de réussite aux tirs (basket, handball).

Exercices de synthèse

Exercice de synthèse 1 : évolutions successives

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a) Année 1 : (48−40)/40 × 100 = +20 %. Année 2 : (50,40−48)/48 × 100 = +5 %. Année 3 : (45,36−50,40)/50,40 × 100 = −10 %.

b) CM global = 1,20 × 1,05 × 0,90 = 1,134

c) Taux global = (1,134 − 1) × 100 = +13,4 %

Vérification : 40 × 1,134 = 45,36 €. Correct.

d) CM moyen = 1,134^(1/3) ≈ 1,0428. Taux moyen ≈ +4,28 % par an.

Exercice de synthèse 2 : problème complet

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a) Offre A : CM = 0,70 × 0,90 = 0,63. Prix = 250 × 0,63 = 157,50 €

Offre B : CM = 0,65. Prix = 250 × 0,65 = 162,50 €

b) L’offre A est plus avantageuse (157,50 € < 162,50 €).

c) Le taux unique de l’offre A est (0,63 − 1) × 100 = −37 %. L’offre A équivaut à une réduction de 37 %, supérieure aux 35 % de l’offre B.

Exercice de synthèse 3 : didactique

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L’erreur : l’élève calcule 25 % du prix final (60 €), alors que la réduction de 25 % portait sur le prix initial (inconnu). Il calcule 25 % de 60 = 15, et ajoute 15 à 60 pour obtenir 75. Mais 25 % de 75 = 18,75 €, et 75 − 18,75 = 56,25 ≠ 60 €. Le résultat de l’élève est donc incohérent.

La bonne méthode : le prix final est 75 % du prix initial (car on a retiré 25 %, il reste 75 %). Donc : prix initial = 60 / 0,75 = 80 €. Vérification : 25 % de 80 = 20, et 80 − 20 = 60 €. C’est cohérent.

Explication pédagogique : les 25 % s’appliquent au prix initial, pas au prix réduit. Comme le prix initial est plus grand que le prix réduit, 25 % du prix initial est plus grand que 25 % du prix réduit. C’est pourquoi l’ajout de 25 % au prix réduit ne permet pas de retrouver le prix initial.

Les pourcentages et les taux d’évolution sont un domaine incontournable du CRPE. Maîtrise le coefficient multiplicateur comme outil central, retiens que les taux ne s’additionnent jamais et que la référence est toujours la valeur initiale. Avec ces bases solides et un bon entraînement sur les exercices, tu seras prêt à affronter n’importe quel problème de pourcentage au concours.