Comment réaliser une symétrie ou une translation en géométrie ? Ces transformations sont souvent au programme du CRPE Maths.
Comprendre les transformations géométriques
Les transformations géométriques permettent de déplacer ou de modifier une figure tout en conservant certaines propriétés. Parmi elles, la symétrie et la translation sont deux notions fondamentales que tu dois maîtriser pour réussir le CRPE en mathématiques.
La symétrie : miroir et centre
La symétrie axiale transforme une figure par effet miroir par rapport à une droite appelée axe de symétrie. Par exemple, si tu plies un papier le long de l’axe, les deux moitiés se superposent parfaitement.
Pour approfondir, découvre ce qu’est une symétrie centrale et ses propriétés en classe de 5ème.
La translation : déplacement sans rotation
La translation consiste à déplacer une figure dans le plan sans la tourner ni la déformer. Chaque point de la figure est déplacé de la même distance dans la même direction.
🚀 Exemple : Si tu translades un triangle de 5 cm vers la droite, tous ses sommets se déplacent de 5 cm dans cette direction.
Techniques de construction des transformations
🛠️ Technique : Pour réaliser une symétrie axiale, trace une droite de symétrie, puis reporte chaque point de la figure de l’autre côté de cette droite en gardant la même distance.
Pour une translation, définis un vecteur de déplacement et ajoute-le à chaque coordonnée des points de la figure.
Astuces pour mieux visualiser
🔍 Astuces : Utilise du papier quadrillé pour dessiner tes transformations. Cela facilite le repérage des points et des axes de symétrie.
Colorie les figures transformées avec des couleurs différentes pour mieux les distinguer.
Exemples pratiques et exercices
📝 Exemple : Construis l’image d’un carré par une symétrie axiale par rapport à une droite passant par son centre.
Pour t’entraîner, visite les exercices de mathématiques disponibles en ligne.
Approfondir les concepts
Si tu souhaites en savoir plus sur les angles et leurs bissectrices, consulte ce cours détaillé. De même, pour comprendre les fonctions du second degré, tu peux te référer à ce module spécifique.
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Transformation Géométrique : Symétrie et Translation
Énoncé de l’exercice
Considérez le triangle ABC avec les points A(1, 2), B(4, 2) et C(2, 5). 📝 Appliquez une symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses suivi d’une translation de vecteur v = (3, -1). Déterminez les nouvelles coordonnées des points A’, B’ et C’ après ces transformations.
Instructions
- 🔄 Effectuez la symétrie axiale de chaque point par rapport à l’axe des abscisses.
- ➡️ Appliquez la translation de vecteur v = (3, -1) aux points obtenus après la symétrie.
- 📝 Calculez les coordonnées finales des points A’, B’ et C’.
Correction
🔄 Symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses : Pour effectuer une symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses, on change le signe de la coordonnée en y de chaque point.
A(1, 2) devient A₁(1, -2).
B(4, 2) devient B₁(4, -2).
C(2, 5) devient C₁(2, -5).
➡️ Application de la translation de vecteur v = (3, -1) : On ajoute les composantes du vecteur à chacune des coordonnées des points obtenus après la symétrie.
A₁(1, -2) + (3, -1) = A'(4, -3).
B₁(4, -2) + (3, -1) = B'(7, -3).
C₁(2, -5) + (3, -1) = C'(5, -6).
Exercice sur la Symétrie et la Translation
Énoncé de l’exercice
Soit la figure ABC située dans un repère. Appliquez une symétrie axiale par rapport à la droite (d) 🪞, puis une translation de vecteur $vec{v} = (3, -2)$ ➡️. Déterminez les coordonnées des points image.
Instructions
- 🔍 Identifier la droite de symétrie (d).
- 📝 Effectuer la symétrie axiale des points A, B, et C par rapport à (d). Assurez-vous de respecter la perpendicularité.
- ➡️ Appliquer la translation avec le vecteur $vec{v} = (3, -2)$ aux images obtenues.
- ✅ Noter les coordonnées finales des points transformés.
Correction
🔍 Identification de la droite de symétrie (d): Supposons que (d) soit la droite d’équation y = x.
🪞 Symétrie axiale des points A, B, et C: Pour chaque point, échanger les coordonnées par rapport à la droite y = x.
➡️ Translation avec le vecteur $vec{v} = (3, -2)$: Ajouter 3 à l’abscisse et soustraire 2 à l’ordonnée de chaque point image.
✅ Coordonnées finales:
- A »: (A’_x + 3, A’_y – 2)
- B »: (B’_x + 3, B’_y – 2)
- C »: (C’_x + 3, C’_y – 2)
Application des Symétries et Translations en Géométrie
Énoncé de l’exercice
Vous disposez d’un triangle ABC dont les points A(2, 3), B(4, 7) et C(6, 3).
Symétrisez ce triangle par rapport à l’axe y = 2 et effectuez une translation de ce triangle de vecteur (3, -2).
📐✏️ Quelle est la nouvelle position des points A’, B’ et C’ après ces transformations ?
Instructions
- 🔍 Identifier l’axe de symétrie et déterminer la formule pour la symétrie axiale par rapport à y = 2.
- ✏️ Calculer les coordonnées des points A’, B’ et C’ après la symétrie.
- ➡️ Appliquer la translation de vecteur (3, -2) aux points A’, B’ et C’.
- 📊 Déterminer les nouvelles coordonnées des points A », B » et C » après translation.
Correction
🔍 Pour commencer, nous identifions l’axe de symétrie qui est y = 2. La formule pour la symétrie axiale par rapport à cette droite consiste à inverser la coordonnée y par rapport à l’axe.
✏️ Calculons les nouvelles coordonnées après symétrie :
- A(2, 3) devient A'(2, 1) car 3 est à 1 unité au-dessus de y=2.
- B(4, 7) devient B'(4, -3) car 7 est à 5 unités au-dessus de y=2.
- C(6, 3) devient C'(6, 1) de la même manière que A.
➡️ Nous appliquons maintenant la translation de vecteur (3, -2) :
📊 Les nouvelles coordonnées après translation sont :
- A »(2 + 3, 1 – 2) = (5, -1)
- B »(4 + 3, -3 – 2) = (7, -5)
- C »(6 + 3, 1 – 2) = (9, -1)
Réponse Finale : Les points après transformation sont A »(5, -1), B »(7, -5) et C »(9, -1).
Tu as découvert les symétries et les translations, des outils précieux pour tes constructions géométriques. En t’exerçant régulièrement, tu renforces ta compréhension et ta maîtrise de ces concepts.
Pour approfondir tes compétences, n’hésite pas à suivre un cours particulier.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
