Les transformations géométriques sont un theme majeur du CRPE. Symétrie axiale, symétrie centrale et translation sont les trois transformations au programme de l ecole primaire. Dans cet article, tu vas etudier chaque transformation en detail : définition, propriétés conservees, méthodes de construction a la regle et au compas, et approche didactique pour les cycles 2 et 3. Chaque notion est illustree par des exercices corriges pour que tu puisses t entrainer efficacement.
La symétrie axiale
Définition
La symétrie axiale d axe (d) est la transformation qui associe a tout point M du plan le point M’ tel que la droite (d) est la médiatrice du segment [MM’]. Si M est sur la droite (d), alors M’ = M (le point est invariant).
Concretement, le symétrique M’ de M par rapport a la droite (d) vérifié deux conditions :
- Le segment [MM’] est perpendiculaire a la droite (d)
- Le milieu de [MM’] appartient a la droite (d)
À retenir
La symétrie axiale d axe (d) est le « pliage » le long de la droite (d). Si tu plies la feuille le long de l axe, le point M se superpose exactement a son symétrique M’. La droite (d) est la médiatrice de [MM’].
Construction a la regle et au compas
Pour construire le symétrique M’ d un point M par rapport a une droite (d) :
- Trace la perpendiculaire a (d) passant par M. Pour cela, place la pointe du compas en M, trace un arc qui coupe (d) en deux points A et B.
- Avec le meme ecartement, place la pointe en A puis en B, et trace deux arcs du cote oppose a M. Les arcs se coupent en M’.
- M’ est le symétrique de M par rapport a (d).
Pour vérifier : le milieu de [MM’] est sur (d) et (MM’) est perpendiculaire a (d).
Pour construire le symétrique d un segment [AB], tu construis les symétriques A’ et B’ de A et B, puis tu traces le segment [A’B’]. Pour une figure complexe (triangle, quadrilatere), tu construis le symétrique de chaque sommet puis tu relies les points images.
Symétrie axiale sur quadrillage
Sur un quadrillage, la construction du symétrique est simplifiee quand l axe est une ligne horizontale, verticale ou une diagonale. Tu comptes les carreaux entre le point et l axe, puis tu reportes le meme nombre de carreaux de l autre cote, perpendiculairement a l axe.
Quand l axe est oblique (diagonale du quadrillage), la méthode reste la meme : tu traces mentalement la perpendiculaire a l axe passant par le point, tu comptes la distance, et tu la reportes de l autre cote.
Astuce
Sur un quadrillage avec un axe diagonal (a 45°), pour trouver le symétrique d un point, tu inverses les deplacements horizontal et vertical. Si le point est a 3 carreaux a droite et 1 carreau au-dessus de l axe, son symétrique sera a 1 carreau a droite et 3 carreaux au-dessus (tu echanges les coordonnees relatives a l axe).
Symétrie axiale en coordonnees
Dans un repère orthonorme, les formules du symétrique dependent de la position de l axe :
- Par rapport a l axe des abscisses (y = 0) : M(x ; y) → M'(x ; -y)
- Par rapport a l axe des ordonnees (x = 0) : M(x ; y) → M'(-x ; y)
- Par rapport a la droite y = x : M(x ; y) → M'(y ; x)
- Par rapport a la droite y = k : M(x ; y) → M'(x ; 2k – y)
- Par rapport a la droite x = h : M(x ; y) → M'(2h – x ; y)
️ Exercice
Dans un repère orthonorme, determine le symétrique du point A(3 ; 5) par rapport a :
- L axe des abscisses (droite y = 0)
- L axe des ordonnees (droite x = 0)
- La droite y = x
- La droite y = 2
Voir la correction
Par rapport a l axe des abscisses (y = 0) : on garde x et on change le signe de y. A'(3 ; -5).
Par rapport a l axe des ordonnees (x = 0) : on change le signe de x et on garde y. A'(-3 ; 5).
Par rapport a la droite y = x : on echange x et y. A'(5 ; 3).
Par rapport a la droite y = 2 : le point A est a une distance de 5 – 2 = 3 au-dessus de la droite. Son symétrique est a 3 en dessous, soit y = 2 – 3 = -1. A'(3 ; -1).
La symétrie centrale
Définition
La symétrie centrale de centre O est la transformation qui associe a tout point M le point M’ tel que O est le milieu du segment [MM’]. Si M = O, alors M’ = O.
Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur la symétrie et les transformations.
En coordonnees, si O a pour coordonnees (a ; b) et M a pour coordonnees (x ; y), alors M’ a pour coordonnees (2a – x ; 2b – y).
À retenir
La symétrie centrale de centre O est un « demi-tour » autour du point O. C est equivalent a une rotation de 180° autour de O. Le point O est le milieu de [MM’] pour tout point M et son image M’.
Construction a la regle et au compas
Pour construire le symétrique M’ d un point M par rapport a un point O :
- Trace la droite (OM).
- Reporte la distance OM de l autre cote de O sur cette droite. Tu obtiens M’.
La construction est plus simple que pour la symétrie axiale : il suffit de tracer une demi-droite et de reporter une longueur.
Avec le compas : place la pointe en O avec un ecartement egal a OM, trace un arc du cote oppose a M sur la droite (OM). Le point d intersection est M’.
Symétrie centrale sur quadrillage
Sur un quadrillage, pour trouver le symétrique de M par rapport a O, tu comptes les carreaux de M a O (horizontalement et verticalement), puis tu reportes le meme deplacement de O dans le sens oppose.
Par exemple, si M est a 3 carreaux a droite et 2 carreaux au-dessus de O, alors M’ est a 3 carreaux a gauche et 2 carreaux en dessous de O.
Lien entre symétrie centrale et symétrie axiale
La symétrie centrale de centre O est la composee de deux symétries axiales dont les axes passent par O et sont perpendiculaires. Autrement dit, si tu effectues une symétrie par rapport a un axe horizontal passant par O, puis une symétrie par rapport a un axe vertical passant par O, le résultat est la symétrie centrale de centre O.
L ordre des deux symétries axiales n a pas d importance : le résultat est le meme.
️ Exercice
1) Determine le symétrique du point A(4 ; -3) par rapport au point O(1 ; 2).
2) Determine le symétrique du point B(-2 ; 5) par rapport a l origine O(0 ; 0).
3) Le symétrique de C par rapport a O(3 ; 1) est C'(7 ; -5). Determine les coordonnees de C.
Voir la correction
1) A’ = (2 x 1 – 4 ; 2 x 2 – (-3)) = (2 – 4 ; 4 + 3) = A'(-2 ; 7).
2) B’ = (2 x 0 – (-2) ; 2 x 0 – 5) = (2 ; -5). Donc B'(2 ; -5).
3) O est le milieu de [CC’], donc : x_O = (x_C + x_C’)/2, soit 3 = (x_C + 7)/2, d ou x_C = 6 – 7 = -1. Et y_O = (y_C + y_C’)/2, soit 1 = (y_C + (-5))/2, d ou y_C = 2 + 5 = 7. Donc C(-1 ; 7).
La translation
Définition
La translation de vecteur u est la transformation qui associe a tout point M le point M’ tel que MM’ = u. Autrement dit, M’ est le point obtenu en « glissant » M dans la direction, le sens et de la longueur du vecteur u.
En coordonnees, si u(a ; b) et M(x ; y), alors M'(x + a ; y + b).
À retenir
La translation de vecteur u est un « glissement » : tous les points du plan sont deplaces dans la meme direction, le meme sens et de la meme distance. Si MM’ = u, alors M’ = M + u en coordonnees.
Construction de l image par translation
Pour construire l image M’ d un point M par la translation de vecteur AB :
Retrouvez les détails dans notre fiche sur les propriétés des triangles.
- Trace la parallèle a (AB) passant par M.
- Reporte la distance AB a partir de M, dans le sens de A vers B, sur cette parallèle.
- Le point obtenu est M’.
Avec la regle et le compas : trace un parallelogramme ABM’M (ou ABM’M a ses cotes opposes parallèles et de meme longueur). M’ est le quatrieme sommet du parallelogramme.
Translation sur quadrillage
Sur un quadrillage, la translation est la plus simple des transformations. Tu identifies le deplacement horizontal et le deplacement vertical indiques par le vecteur, puis tu appliques ce meme deplacement a chaque point.
Par exemple, si le vecteur de translation deplace de 4 carreaux vers la droite et 2 carreaux vers le haut, tu ajoutes 4 a l abscisse et 2 a l ordonnee de chaque point.
Astuce
Pour construire l image d un triangle par translation sur un quadrillage, tu n as pas besoin de tracer de parallèles : il suffit d appliquer le meme deplacement (meme nombre de carreaux a droite/gauche et en haut/bas) a chaque sommet. C est la méthode la plus rapide et la moins sujette aux erreurs.
Propriété fondamentale : le parallelogramme
Si M’ est l image de M par la translation de vecteur AB, alors le quadrilatere ABM’M est un parallelogramme (ses cotes opposes sont parallèles et de meme longueur).
Reciproquement, si ABCD est un parallelogramme, alors D est l image de A par la translation de vecteur BC, ou encore C est l image de B par la translation de vecteur AD.
️ Exercice
1) Determine l image du point A(3 ; -1) par la translation de vecteur u(2 ; 5).
2) L image du point B par la translation de vecteur v(-3 ; 4) est B'(1 ; 7). Quelles sont les coordonnees de B ?
3) Le triangle ABC a pour sommets A(1 ; 2), B(4 ; 6) et C(6 ; 1). Determine les coordonnees de l image A’B’C’ par la translation de vecteur w(-2 ; 3).
Voir la correction
1) A'(3 + 2 ; -1 + 5) = A'(5 ; 4).
2) B'(1 ; 7) = B + v, donc B = B’ – v = (1 – (-3) ; 7 – 4) = B(4 ; 3).
3) A'(1 + (-2) ; 2 + 3) = A'(-1 ; 5). B'(4 + (-2) ; 6 + 3) = B'(2 ; 9). C'(6 + (-2) ; 1 + 3) = C'(4 ; 4). L image est A'(-1 ; 5), B'(2 ; 9), C'(4 ; 4).
Propriétés conservees par les transformations
Propriétés communes aux trois transformations
La symétrie axiale, la symétrie centrale et la translation sont des isometries : elles conservent les distances. Cela signifie que si A’ et B’ sont les images respectives de A et B, alors A’B’ = AB.
De cette propriété fondamentale decoulent toutes les autres propriétés conservees :
- Les longueurs : la longueur d un segment est conservee.
- Les angles : la mesure d un angle est conservee.
- Les aires : l aire d une figure est conservee.
- Le parallelisme : si deux droites sont parallèles, leurs images sont parallèles.
- La perpendicularite : si deux droites sont perpendiculaires, leurs images sont perpendiculaires.
- L alignement : si trois points sont alignes, leurs images sont alignees.
- Le milieu : l image du milieu de [AB] est le milieu de [A’B’].
À retenir
Les symétries (axiale et centrale) et la translation conservent les distances, les angles, les aires, le parallelisme, la perpendicularite et l alignement. Ce sont des isometries du plan.
Difference entre symétries et translation
La difference principale entre les symétries et la translation concerne l orientation :
- La symétrie axiale inverse l orientation des figures. Si tu lis les sommets d un triangle dans le sens des aiguilles d une montre, les sommets du triangle image se lisent dans le sens contraire. C est le « retournement ».
- La symétrie centrale conserve l orientation. Les sommets gardent le meme sens de lecture.
- La translation conserve l orientation. La figure image est une copie conforme de la figure originale.
️ Erreur frequente
Ce thème est développé dans notre article sur la géométrie dans le plan et l’espace.
Au CRPE, on confond souvent symétrie axiale et symétrie centrale. Retiens : la symétrie axiale est un pliage (on retourne la figure), la symétrie centrale est un demi-tour (on ne retourne pas la figure). La symétrie axiale change l orientation, la symétrie centrale la conserve.
Points invariants et figures invariantes
Un point invariant est un point dont l image est lui-meme.
- Symétrie axiale : les points invariants sont exactement les points de l axe de symétrie.
- Symétrie centrale : le seul point invariant est le centre.
- Translation : si le vecteur de translation est non nul, il n y a aucun point invariant. Si le vecteur est nul, tous les points sont invariants (c est l identite).
Une figure est globalement invariante par une transformation si son image coincide avec elle-meme (pas necessairement point par point). Par exemple, un carré est globalement invariant par les symétries par rapport a ses axes de symétrie et par la symétrie centrale par rapport a son centre.
️ Exercice
1) Cite toutes les symétries axiales qui laissent un rectangle globalement invariant. Combien y en a-t-il ?
2) Un triangle équilatéral possede-t-il un centre de symétrie ? Justifie.
3) Un parallelogramme possede-t-il un axe de symétrie ? un centre de symétrie ?
Voir la correction
1) Un rectangle possede deux axes de symétrie : les médiatrices de chaque paire de cotes opposes (un axe horizontal et un axe vertical passant par les milieux des cotes). La symétrie par rapport a chaque diagonale ne laisse pas le rectangle invariant (sauf si c est un carré).
2) Un triangle équilatéral ne possede pas de centre de symétrie. En effet, la symétrie centrale par rapport a n importe quel point ne transforme pas le triangle en lui-meme (un triangle a un nombre impair de sommets, 3, et la symétrie centrale echange des paires de points).
3) Un parallelogramme ne possede pas d axe de symétrie en général (sauf cas particuliers : rectangle, losange). En revanche, il possede un centre de symétrie : c est le point d intersection de ses diagonales.
Constructions détaillées
Construction du symétrique d une figure par rapport a un axe oblique
Quand l axe de symétrie est oblique, la construction demande plus de soin. Pour chaque sommet de la figure :
- Place la pointe du compas sur le sommet et trace un arc coupant l axe en deux points.
- A partir de ces deux points, trace deux arcs de meme rayon de l autre cote de l axe.
- L intersection de ces arcs est le symétrique du sommet.
- Repete pour chaque sommet, puis relie les sommets images.
La cle est de toujours vérifier que le segment reliant un point a son image est perpendiculaire a l axe et que l axe passe par le milieu de ce segment.
Construction de l image d un cercle
Pour construire l image d un cercle par une symétrie ou une translation :
- Construis l image du centre du cercle.
- Le rayon est conserve (c est une isometrie).
- Trace le cercle image avec le meme rayon et le centre image.
Tu n as pas besoin de construire l image de chaque point du cercle : il suffit du centre et du rayon.
Astuce
Pour construire l image d une figure complexe (triangle, quadrilatere, cercle), identifie d abord les elements essentiels : les sommets pour un polygone, le centre et le rayon pour un cercle. Construis les images de ces elements, puis reconstitue la figure image. Tu gagnes du temps et tu limites les erreurs.
Construction d une frise par translation
Une frise est obtenue en repetant un motif par translation. Le vecteur de translation determine l espacement entre deux repetitions du motif. Pour construire une frise :
Voir aussi : l’échelle en géométrie pour compléter vos connaissances.
- Dessine le motif de base.
- Determine le vecteur de translation (direction et longueur).
- Applique la translation au motif pour obtenir la première repetition.
- Repete autant de fois que nécessaire.
Les frises sont un objet d etude important en cycle 2 et cycle 3. Elles permettent de travailler la translation de maniere concrete et visuelle.
️ Exercice
Un triangle ABC a pour sommets A(0 ; 0), B(3 ; 0) et C(1 ; 2). On effectue successivement :
- La symétrie axiale par rapport a l axe des ordonnees pour obtenir A₁B₁C₁.
- La translation de vecteur u(5 ; 0) pour obtenir A₂B₂C₂ a partir de A₁B₁C₁.
Determine les coordonnees de A₂, B₂ et C₂.
Voir la correction
Symétrie par rapport a l axe des ordonnees (x = 0) : on change le signe de x.
A₁(0 ; 0), B₁(-3 ; 0), C₁(-1 ; 2).
Translation de vecteur u(5 ; 0) : on ajoute 5 a l abscisse.
A₂(0 + 5 ; 0) = A₂(5 ; 0). B₂(-3 + 5 ; 0) = B₂(2 ; 0). C₂(-1 + 5 ; 2) = C₂(4 ; 2).
Didactique des transformations aux cycles 2 et 3
La symétrie axiale au cycle 2
La symétrie axiale est la première transformation etudiee a l ecole. Elle est introduite des le CP par le pliage : l eleve plie une feuille en deux et decoupe une forme pour obtenir une figure symétrique. Cette approche concrete ancre la notion de « figure reflet ».
Au CE1 et CE2, l eleve progresse vers la construction sur quadrillage : il repère l axe de symétrie (horizontal ou vertical), compte les carreaux et place les points images. Les programmes insistent sur l utilisation du papier calque comme outil de vérification.
Les situations de référence pour la symétrie au cycle 2 :
- Pliage et decoupage (CP) : decouverte de la symétrie par la manipulation.
- Papier calque (CE1) : vérification de la symétrie en reproduisant la figure et en retournant le calque.
- Quadrillage avec axe horizontal ou vertical (CE1-CE2) : construction pas a pas.
- Reconnaissance de figures symétriques dans l environnement : lettres de l alphabet, panneaux, batiments.
La symétrie au cycle 3
Au cycle 3, l eleve approfondit la symétrie axiale et decouvre la symétrie centrale. Au CM1, la construction sur quadrillage avec un axe diagonal est abordee. Au CM2, l eleve commence a utiliser la regle et le compas pour construire le symétrique d un point.
La symétrie centrale est introduite en 6e a travers les parallelogrammes : le centre du parallelogramme est le centre de symétrie de la figure. Cette approche par les figures permet de donner du sens a la transformation avant de la formaliser.
À retenir
La progression didactique des transformations va du concret a l abstrait : pliage (CP) → papier calque (CE1) → quadrillage axe simple (CE1-CE2) → quadrillage axe diagonal (CM1) → regle et compas (CM2) → coordonnees (6e). Chaque etape s appuie sur la précédente.
La translation au cycle 3
La translation est etudiee principalement a partir du CM1, a travers les frises et les pavages. L eleve reproduit un motif en le « glissant » dans une direction donnee. Le terme « translation » est formalise en CM2-6e.
Les situations de référence :
- Frises sur quadrillage : repeter un motif par glissement.
- Pavages : couvrir le plan par translation d un motif dans deux directions.
- Quadrillage : deplacer une figure de n carreaux a droite et m carreaux vers le haut.
Erreurs des eleves et remediations
Les erreurs les plus frequentes sur les transformations :
Nous vous conseillons également notre cours sur les aires et périmètres.
- Symétrie axiale : l eleve « translate » au lieu de « symetriser » (il deplace la figure sans la retourner par rapport a l axe). Remediation : utiliser le pliage ou le papier calque pour montrer le retournement.
- Axe diagonal : l eleve reporte les distances horizontalement au lieu de perpendiculairement a l axe. Remediation : tracer explicitement la perpendiculaire a l axe.
- Symétrie centrale : l eleve confond avec la symétrie axiale et cherche un axe. Remediation : insister sur la notion de demi-tour et faire manipuler la figure en la retournant autour du centre.
- Translation : l eleve ne deplace pas tous les points du meme vecteur (il change de direction ou de longueur en cours de construction). Remediation : materialiser le vecteur par une fleche et vérifier que chaque point est deplace de la meme fleche.
️ Erreur frequente
L erreur la plus classique au CRPE est de ne pas distinguer les propriétés de chaque transformation. Retiens ce tableau : la symétrie axiale retourne la figure (change l orientation), la symétrie centrale fait un demi-tour (conserve l orientation), la translation glisse la figure (conserve l orientation). Seule la symétrie axiale inverse l orientation.
Variables didactiques
Les variables didactiques que l enseignant peut modifier pour ajuster la difficulte :
- Position de l axe : horizontal (le plus simple), vertical, diagonal a 45°, diagonal quelconque (le plus difficile).
- Support : quadrillage (plus facile), papier uni (plus difficile).
- Instrument : pliage, papier calque, regle et compas.
- Nature de la figure : point isolé (plus simple), segment, triangle, figure quelconque, cercle.
- Taille des deplacements : petits (plus facile), grands (plus de risque d erreur).
Exercices de synthese type CRPE
️ Exercice
1) Soit le carré ABCD de centre O, avec A en haut a gauche et les sommets dans l ordre direct. Cite toutes les transformations (symétries axiales, symétrie centrale, translations) qui laissent le carré globalement invariant.
2) Soit un triangle équilatéral ABC. Cite ses axes de symétrie. Possede-t-il un centre de symétrie ?
3) Quelle est la composee de deux symétries axiales d axes parallèles ?
Voir la correction
1) Le carré possede 4 axes de symétrie : les deux médiatrices des cotes opposes et les deux diagonales. Il possede aussi une symétrie centrale de centre O. Au total : 4 symétries axiales + 1 symétrie centrale. Il n y a pas de translation non nulle laissant le carré invariant.
2) Le triangle équilatéral possede 3 axes de symétrie : les trois médiatrices des cotes (qui passent chacune par un sommet et le milieu du cote oppose). Il ne possede pas de centre de symétrie (un triangle a un nombre impair de sommets, ce qui empeche la symétrie centrale de le laisser invariant).
3) La composee de deux symétries axiales d axes parallèles est une translation. Le vecteur de cette translation est perpendiculaire aux deux axes et de longueur egale au double de la distance entre les deux axes.
️ Exercice
Problème didactique : un eleve de CM2 doit construire le symétrique d un triangle par rapport a un axe diagonal sur un quadrillage. Il produit une figure qui a la bonne forme mais qui est « du mauvais cote » de l axe. Analyse l erreur et propose une remediation.
Voir la correction
Analyse de l erreur : l eleve a correctement identifie les distances mais n a pas respecte la direction perpendiculaire a l axe. Avec un axe diagonal, la perpendiculaire n est ni horizontale ni verticale, ce qui desoriente l eleve. Il a probablement reporte les distances horizontalement ou verticalement au lieu de perpendiculairement a l axe. Le fait que la figure soit « du mauvais cote » suggere qu il a translate au lieu de symetriser, ou qu il a mal oriente la perpendiculaire.
Remediation : faire d abord travailler avec le papier calque. L eleve trace la figure et l axe, plie le calque le long de l axe et voit ou doit se trouver la figure image. Ensuite, revenir au quadrillage en tracant explicitement la perpendiculaire a l axe diagonal pour chaque sommet (en utilisant la propriété que la perpendiculaire a une diagonale a 45° est l autre diagonale a 45°). Faire vérifier que le milieu de chaque segment [MM’] est bien sur l axe.
Les transformations géométriques au CRPE s articulent autour de trois notions : la symétrie axiale (pliage, inversion de l orientation), la symétrie centrale (demi-tour, conservation de l orientation) et la translation (glissement, conservation de l orientation). Toutes trois conservent les distances, les angles et les aires. En didactique, la progression va du concret (pliage, papier calque) a l abstrait (coordonnees), et tu dois savoir identifier les erreurs des eleves et proposer des remediations adaptees a chaque type de difficulte.
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Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
