Les transformations géométriques forment un pilier du programme de mathematiques aux cycles 2 et 3, et occupent une place de choix dans les epreuves du CRPE. Symétrie axiale, symétrie centrale, translation, rotation : chaque transformation possede ses propriétés, ses regles de construction et ses pieges. Dans cet article, tu vas revoir chacune de ces transformations en profondeur, comprendre ce qu’elles conservent, maitriser les constructions a la regle et au compas, et t’entrainer sur des exercices types corriges. L’objectif est clair : que tu sois parfaitement a l’aise le jour du concours.
Qu’est-ce qu’une transformation géométrique ?
Une transformation géométrique est une application du plan dans lui-meme qui associe a chaque point M un unique point M’, appele image de M. Quand on applique une transformation a une figure, on obtient une nouvelle figure dont on etudie les propriétés par rapport a la figure de depart.
Au programme du CRPE, quatre transformations sont incontournables :
- La symétrie axiale (par rapport a une droite)
- La symétrie centrale (par rapport a un point)
- La translation (definie par un vecteur)
- La rotation (definie par un centre et un angle)
Ces quatre transformations partagent un point commun fondamental : ce sont des isometries. Elles conservent les distances entre les points. Une figure et son image sont toujours superposables, meme s’il faut parfois retourner la figure.
📐 A retenir
Une isometrie est une transformation qui conserve les distances. Les quatre isometries du plan etudiees au CRPE sont la symétrie axiale, la symétrie centrale, la translation et la rotation. Toutes conservent les longueurs, les angles, les aires et le parallelisme.
La symétrie axiale
La symétrie axiale est la première transformation abordee a l’ecole primaire, des le cycle 2. Elle est definie par une droite appelee axe de symétrie. Le symétrique d’un point M par rapport a une droite (d) est le point M’ tel que (d) est la médiatrice du segment [MM’].
Construction du symétrique d’un point
Pour construire le symétrique d’un point M par rapport a une droite (d), suis ces etapes :
- Trace la perpendiculaire a (d) passant par M. Le pied de cette perpendiculaire sur (d) est le point H.
- Mesure la distance MH avec ton compas.
- Reporte cette meme distance de l’autre cote de (d) sur la perpendiculaire, a partir de H.
- Le point obtenu est M’, le symétrique de M par rapport a (d).
Le point H est donc le milieu de [MM’], et la droite (d) est perpendiculaire a (MM’). Ces deux conditions reunies caracterisent la symétrie axiale : (d) est la médiatrice de [MM’].
Propriétés de la symétrie axiale
- La symétrie axiale conserve les longueurs : si AB = 5 cm, alors A’B’ = 5 cm.
- Elle conserve les angles : un angle de 60 degrés donne un angle de 60 degrés.
- Elle conserve les aires : un triangle de 12 cm carré a pour image un triangle de 12 cm carré.
- Elle conserve le parallelisme : si deux droites sont parallèles, leurs images sont parallèles.
- Elle inverse l’orientation : un triangle ABC parcouru dans le sens direct donne un triangle A’B’C’ parcouru dans le sens indirect.
- L’image d’une droite est une droite. L’image d’un cercle est un cercle de meme rayon.
- Tout point situe sur l’axe (d) est invariant : il est son propre symétrique.
⚠️ Erreur frequente
Beaucoup de candidats oublient que la symétrie axiale inverse l’orientation. Si tu traces un triangle ABC dans le sens des aiguilles d’une montre, son image A’B’C’ sera dans le sens contraire. C’est la difference majeure avec la translation et la rotation, qui conservent l’orientation. Au CRPE, on peut te demander de distinguer les isometries directes (translation, rotation) des isometries indirectes (symétrie axiale).
Figures possedant un axe de symétrie
Certaines figures sont globalement invariantes par symétrie axiale : la figure et son image sont confondues. On dit que la figure possede un axe de symétrie.
| Figure | Nombre d’axes de symétrie |
|---|---|
| Segment | 2 (médiatrice et droite support) |
| Triangle isocele (non équilatéral) | 1 |
| Triangle équilatéral | 3 |
| Rectangle (non carré) | 2 |
| Losange (non carré) | 2 |
| Carré | 4 |
| Polygone régulier a n cotes | n |
| Cercle | Infini (chaque diametre) |
💡 Astuce
Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les propriétés des triangles.
Pour retenir les axes de symétrie du carré : 2 axes passent par les milieux des cotes opposes (médiatrices des cotes), et 2 axes passent par les sommets opposes (diagonales). Total : 4 axes. Pour un hexagone régulier, c’est 6 axes. Le nombre d’axes d’un polygone régulier est egal a son nombre de cotes.
La symétrie centrale
La symétrie centrale est definie par un point O appele centre de symétrie. Le symétrique d’un point M par rapport a O est le point M’ tel que O est le milieu du segment [MM’]. Geometriquement, cela revient a effectuer un demi-tour autour de O.
Construction du symétrique d’un point
- Trace la demi-droite [MO).
- Mesure la distance MO avec le compas.
- Prolonge la demi-droite au-dela de O et reporte la meme distance a partir de O.
- Le point obtenu est M’, le symétrique de M par rapport a O.
La vérification est simple : O doit etre le milieu exact de [MM’].
Propriétés de la symétrie centrale
- Elle conserve les longueurs, les angles, les aires et le parallelisme.
- Elle conserve l’orientation : c’est une isometrie directe.
- L’image d’une droite est une droite parallèle (ou confondue si elle passe par O).
- L’image d’un segment est un segment parallèle et de meme longueur.
- L’image d’un cercle est un cercle de meme rayon dont le centre est le symétrique du centre initial.
- Le seul point invariant est le centre O lui-meme.
Lien avec la rotation
La symétrie centrale de centre O est equivalente a la rotation de centre O et d’angle 180 degrés. C’est pourquoi elle conserve l’orientation : un demi-tour complet ne change pas le sens de parcours d’une figure.
📐 A retenir
La symétrie centrale de centre O est la rotation de 180 degrés autour de O. C’est une isometrie directe : elle conserve les distances et l’orientation. Le seul point fixe est le centre O.
Figures possedant un centre de symétrie
- Le parallelogramme possede un centre de symétrie : l’intersection de ses diagonales.
- Le rectangle, le losange et le carré possedent aussi un centre de symétrie (ce sont des parallelogrammes particuliers).
- Le cercle possede un centre de symétrie : son centre.
- Un triangle ne possede jamais de centre de symétrie.
✏️ Exercice
Sur un quadrillage, place un point O et un triangle ABC. Construis le symétrique de chaque sommet par rapport a O, puis trace le triangle A’B’C’. Vérifié que O est bien le milieu de [AA’], de [BB’] et de [CC’]. Compare les aires des deux triangles.
✅ Voir la correction
Pour chaque sommet, tu prolonges le segment [sommet-O] au-dela de O d’une longueur egale a la distance sommet-O. Par exemple, si A est a 3 carreaux a droite et 2 carreaux au-dessus de O, alors A’ est a 3 carreaux a gauche et 2 carreaux en dessous de O. On procede de meme pour B et C. Les deux triangles ont la meme aire puisque la symétrie centrale est une isometrie. On peut le vérifier en comptant les carreaux.
Retrouvez les détails dans notre fiche sur la géométrie dans le plan et l’espace.
La translation
La translation est definie par un vecteur. Translater une figure selon un vecteur u, c’est faire glisser chaque point de la figure dans la meme direction, le meme sens et la meme distance, sans tourner ni retourner la figure.
Définition formelle
L’image d’un point M par la translation de vecteur u est le point M’ tel que le vecteur MM’ = u. Cela signifie que le quadrilatere MM’ (avec les deux autres points definissant le vecteur) est un parallelogramme.
Construction de l’image d’un point
Pour construire l’image de M par la translation de vecteur AB :
- A partir de M, trace une parallèle a (AB).
- Sur cette parallèle, reporte la distance AB dans le meme sens que de A vers B.
- Le point obtenu est M’.
Sur un quadrillage, c’est encore plus simple : si le vecteur AB se decompose en « 3 carreaux a droite et 2 carreaux vers le haut », tu deplacaces chaque point de 3 carreaux a droite et 2 vers le haut.
Propriétés de la translation
- La translation conserve les longueurs, les angles, les aires et le parallelisme.
- Elle conserve l’orientation : c’est une isometrie directe.
- L’image d’un segment est un segment parallèle et de meme longueur.
- L’image d’une droite est une droite parallèle (ou confondue si la droite est parallèle au vecteur).
- L’image d’un cercle est un cercle de meme rayon.
- La translation n’a aucun point fixe (sauf si le vecteur est nul).
💡 Astuce
Pour vérifier ta construction, vérifié que les segments [AA’], [BB’], [CC’] sont tous parallèles entre eux et de meme longueur. Si c’est le cas, ta translation est correcte. Si un seul segment n’est pas parallèle aux autres, il y a une erreur.
Translation et programme scolaire
La translation est introduite au cycle 3 dans les programmes de l’ecole primaire. Les eleves manipulent la notion de « glissement » avant de formaliser avec le vecteur. Au college (5e), on definit la translation a l’aide du vecteur et on travaille les constructions au compas et a la regle.
Au CRPE, tu dois savoir construire l’image d’une figure par translation, identifier une translation a partir d’une figure et de son image, et reconnaitre les frises et pavages construits par translation.
✏️ Exercice
Le triangle DEF a pour sommets D(1 ; 3), E(4 ; 3) et F(2 ; 6). Determine les coordonnees de l’image de DEF par la translation de vecteur u(3 ; -2).
✅ Voir la correction
On ajoute les coordonnees du vecteur u(3 ; -2) a chaque sommet.
D'(1+3 ; 3-2) = D'(4 ; 1).
E'(4+3 ; 3-2) = E'(7 ; 1).
F'(2+3 ; 6-2) = F'(5 ; 4).
Le triangle D’E’F’ a pour sommets D'(4 ; 1), E'(7 ; 1) et F'(5 ; 4). On peut vérifier que D’E’ = DE = 3, et que les deux triangles ont la meme aire.
La rotation
La rotation est definie par un centre et un angle oriente. Elle fait tourner chaque point du plan autour du centre, d’un angle donne, dans un sens donne (sens direct = sens inverse des aiguilles d’une montre, par convention).
Ce thème est développé dans notre article sur l’échelle en géométrie.
Définition formelle
L’image d’un point M par la rotation de centre O et d’angle alpha est le point M’ tel que :
- OM’ = OM (le point reste a la meme distance du centre).
- L’angle oriente (OM, OM’) = alpha.
Construction de l’image d’un point
Pour construire l’image de M par la rotation de centre O et d’angle 90 degrés dans le sens direct :
- Trace le segment [OM].
- Au point O, construis un angle de 90 degrés dans le sens direct a l’aide du rapporteur.
- Sur le deuxieme cote de l’angle, reporte la distance OM a l’aide du compas.
- Le point obtenu est M’.
Propriétés de la rotation
- La rotation conserve les longueurs, les angles, les aires et le parallelisme.
- Elle conserve l’orientation : c’est une isometrie directe.
- Le seul point fixe est le centre O (sauf si l’angle est un multiple de 360 degrés, auquel cas tous les points sont fixes).
- L’image d’une droite est une droite. L’image d’un cercle est un cercle de meme rayon.
- L’image d’un segment est un segment de meme longueur (mais pas forcement parallèle, contrairement a la translation).
📐 A retenir
La rotation de centre O et d’angle alpha conserve les distances (OM’ = OM), l’orientation et tous les invariants metriques. Elle ne conserve pas forcement le parallelisme des segments (sauf la rotation de 180 degrés). Le seul point fixe est le centre O.
Angles de rotation remarquables
Certains angles de rotation sont particulierement frequents au CRPE :
| Angle | Fraction de tour | Figure invariante |
|---|---|---|
| 60 degrés | 1/6 de tour | Hexagone régulier |
| 90 degrés | 1/4 de tour | Carré |
| 120 degrés | 1/3 de tour | Triangle équilatéral |
| 180 degrés | 1/2 tour | Parallelogramme |
⚠️ Erreur frequente
Attention au sens de la rotation. Par convention, le sens direct (ou sens positif) est le sens inverse des aiguilles d’une montre. Un angle de +90 degrés tourne vers la gauche, un angle de -90 degrés tourne vers la droite. Beaucoup de candidats confondent les deux sens et obtiennent l’image du mauvais cote.
Tableau comparatif des quatre transformations
Pour ne plus confondre les propriétés, voici un recapitulatif complet :
| Propriété | Sym. axiale | Sym. centrale | Translation | Rotation |
|---|---|---|---|---|
| Conserve les longueurs | Oui | Oui | Oui | Oui |
| Conserve les angles | Oui | Oui | Oui | Oui |
| Conserve les aires | Oui | Oui | Oui | Oui |
| Conserve le parallelisme | Oui | Oui | Oui | Oui |
| Conserve l’orientation | Non | Oui | Oui | Oui |
| Point(s) fixe(s) | Points de l’axe | Le centre O | Aucun | Le centre O |
| Type d’isometrie | Indirecte | Directe | Directe | Directe |
💡 Astuce
La seule isometrie indirecte du programme est la symétrie axiale. Les trois autres (symétrie centrale, translation, rotation) sont directes. Si on te demande « quelle transformation inverse l’orientation ? », la réponse est la symétrie axiale.
Composition de transformations
Composer deux transformations, c’est appliquer l’une apres l’autre. Le résultat est une nouvelle transformation. Au CRPE, les compositions les plus classiques sont :
- Deux symétries axiales d’axes parallèles : le résultat est une translation. Le vecteur de la translation est perpendiculaire aux deux axes, et sa norme vaut le double de la distance entre les axes.
- Deux symétries axiales d’axes secants : le résultat est une rotation. Le centre est le point d’intersection des axes, et l’angle est le double de l’angle entre les axes.
- Deux symétries centrales : le résultat est une translation. Le vecteur est egal a 2 fois le vecteur O1O2 (de centre a centre).
- Deux translations : le résultat est une translation dont le vecteur est la somme des deux vecteurs.
📐 A retenir
Voir aussi : les aires et périmètres pour compléter vos connaissances.
Deux symétries axiales d’axes parallèles donnent une translation. Deux symétries axiales d’axes secants donnent une rotation dont l’angle est le double de l’angle entre les axes. Ces résultats tombent regulierement au CRPE.
Frises et pavages
Les transformations géométriques servent a construire des frises et des pavages, deux themes recurrents au CRPE et dans l’enseignement primaire.
Les frises
Une frise est un motif qui se repete a l’infini dans une direction. Elle est construite par translation (le motif glisse) et peut posseder d’autres symétries : symétrie axiale horizontale, symétrie axiale verticale, symétrie centrale, ou glissement (translation + symétrie axiale).
Il existe exactement 7 types de frises, classees selon les symétries qu’elles possedent. Au CRPE, tu dois savoir les reconnaitre et identifier les transformations qui les engendrent.
Les pavages
Un pavage est un recouvrement du plan par des figures géométriques sans trou ni chevauchement. Les pavages réguliers utilisent un seul type de polygone régulier : seuls le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone régulier permettent de paver le plan.
Les pavages semi-réguliers utilisent plusieurs types de polygones réguliers. Il en existe exactement 8.
Transformations et programmes scolaires
Cycle 2 (CP-CE1-CE2)
Au cycle 2, les eleves travaillent la symétrie axiale par le pliage, le decoupage et le papier calque. Ils apprennent a reconnaitre les figures symétriques, a trouver l’axe de symétrie d’une figure et a completer une figure par symétrie sur un quadrillage. La notion de transformation n’est pas formalisee : on parle de « reflet », de « miroir », de « moitie pareille ».
Cycle 3 (CM1-CM2-6e)
Au cycle 3, la symétrie axiale est approfondie avec les constructions a la regle et au compas. La symétrie centrale est introduite en 6e. Les eleves decouvrent aussi la notion de translation a travers les frises et les pavages. Les constructions sont plus rigoureuses : on utilise l’equerre, le compas, le rapporteur.
Les programmes insistent sur les propriétés conservees (longueurs, angles, aires) et sur la capacite a identifier la transformation qui permet de passer d’une figure a une autre.
⚠️ Erreur frequente
Au CRPE, certains candidats confondent les programmes du cycle 2 et du cycle 3. La symétrie centrale n’est pas au programme du cycle 2. La translation et la rotation ne sont pas formalisees en primaire. Vérifié toujours a quel cycle correspond la question posee.
Exercices types CRPE corriges
Exercice 1 : identifier une transformation
✏️ Exercice
Un triangle ABC a pour image un triangle A’B’C’. On constate que les segments [AA’], [BB’] et [CC’] sont tous parallèles entre eux et de meme longueur. Quelle transformation permet de passer de ABC a A’B’C’ ? Justifie.
✅ Voir la correction
Les segments [AA’], [BB’] et [CC’] sont parallèles et de meme longueur. Cela signifie que les vecteurs AA’, BB’ et CC’ sont egaux. C’est la définition meme de la translation : chaque point est deplace selon le meme vecteur. La transformation est donc la translation de vecteur AA’ (ou BB’ ou CC’, puisqu’ils sont egaux).
Nous vous conseillons également notre cours sur les périmètres et aires.
Exercice 2 : construire une image par rotation
✏️ Exercice
Soit O un point du plan et M un point tel que OM = 4 cm. Construis l’image M’ de M par la rotation de centre O et d’angle 90 degrés dans le sens direct. Quelle est la distance OM’ ? Quel est l’angle MOM’ ?
✅ Voir la correction
La rotation conserve les distances, donc OM’ = OM = 4 cm. L’angle MOM’ = 90 degrés (c’est l’angle de la rotation). Pour la construction : trace le segment [OM], puis a l’aide du rapporteur, construis un angle de 90 degrés dans le sens direct (vers la gauche, sens inverse des aiguilles d’une montre). Sur le deuxieme cote de l’angle, reporte 4 cm avec le compas. Le point obtenu est M’.
Exercice 3 : composition de symétries
✏️ Exercice
Deux droites parallèles (d1) et (d2) sont distantes de 3 cm. On applique d’abord la symétrie axiale d’axe (d1), puis la symétrie axiale d’axe (d2). Quelle est la transformation resultante ? Precise le vecteur.
✅ Voir la correction
La composition de deux symétries axiales d’axes parallèles est une translation. Le vecteur de cette translation est perpendiculaire aux deux axes et sa norme vaut le double de la distance entre les axes. Ici, la distance est 3 cm, donc la norme du vecteur est 2 x 3 = 6 cm. Le sens va de (d1) vers (d2) (dans l’ordre d’application des symétries). La transformation resultante est une translation de vecteur perpendiculaire aux axes, de norme 6 cm, dirige de (d1) vers (d2).
Exercice 4 : question didactique
✏️ Exercice
Un eleve de CE2 affirme que la lettre S possede un axe de symétrie. Analyse son erreur et propose une remediation.
✅ Voir la correction
La lettre S ne possede pas d’axe de symétrie, mais elle possede un centre de symétrie (le point central de la lettre). L’eleve confond probablement la symétrie axiale et la symétrie centrale. Si on plie le S en deux selon un axe vertical ou horizontal, les deux moities ne se superposent pas. En revanche, si on fait un demi-tour autour du centre, on retrouve la meme lettre.
Remediation : utiliser le pliage et le calque. Demander a l’eleve de plier la lettre S selon differents axes et de constater que les moities ne se superposent pas. Puis utiliser le calque : decalquer la lettre, retourner le calque de 180 degrés autour du centre, et constater que la lettre se superpose. L’eleve comprendra la difference entre les deux types de symétrie.
Synthese et méthode pour le CRPE
Pour reussir les questions sur les transformations au CRPE, retiens cette méthode en 4 etapes :
- Identifier la transformation : observe les indices. Segments parallèles et de meme longueur = translation. Milieu commun = symétrie centrale. Médiatrice commune = symétrie axiale. Meme distance au centre et angle constant = rotation.
- Appliquer les propriétés : toutes les isometries conservent longueurs, angles et aires. Vérifié que l’orientation est conservee (directe) ou inversee (indirecte).
- Construire avec precision : utilise la regle, le compas, l’equerre et le rapporteur. Vérifié chaque construction en mesurant.
- Repondre aux questions didactiques : connais les programmes (cycle 2 = symétrie axiale, cycle 3 = symétrie centrale et translation). Sais proposer des manipulations (pliage, calque, miroir) et identifier les erreurs d’eleves.
📐 A retenir
Les quatre isometries du plan sont la symétrie axiale (indirecte), la symétrie centrale (directe, equivalente a une rotation de 180 degrés), la translation (directe, aucun point fixe) et la rotation (directe, un point fixe). Elles conservent toutes les longueurs, les angles et les aires. La composition de deux symétries axiales donne une translation (axes parallèles) ou une rotation (axes secants).
Articles du même niveau (CRPE)
- les opérations et propriétés
- les fractions et décimaux
- les calculs posés et écrits
- les problèmes et stratégies de résolution
- les formes, grandeurs et repérage
- la géométrie dans le plan et l’espace
- les unités et conversions
- le périmètre, l’aire et le volume
- les grandeurs et instruments de mesure
- les calculs avec les entiers naturels
- les calculs avec les entiers relatifs
- les calculs avec les fractions
- les calculs avec les puissances
- les fractions décimales au CRPE
- les fractions ordinaires au CRPE
- les puissances au CRPE
- les racines carrées au CRPE
- les nombres décimaux au CRPE
- les pourcentages au CRPE
- les puissances et calculs
- l’addition, soustraction et multiplication
- les aires et périmètres
- le concept de volume
- la symétrie et la translation
- les fractions et pourcentages
- les solides et leurs propriétés
- les suites numériques au CRPE
- l’algèbre et les équations
- l’analyse des données statistiques
- les probabilités au CRPE
- les racines carrées et calculs
- les propriétés des triangles
- l’échelle en géométrie
- le calcul mental au CRPE
- les périmètres et aires
- les fractions et leurs règles
- les nombres premiers
- les transformations géométriques
- les pourcentages et taux
- les équations du premier degré
- les angles dans le cercle
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
