Nombres et calculs : calculs avec les entiers naturels – Cours de Maths CRPE

Les calculs avec les entiers naturels forment le socle de l’epreuve de mathematiques du CRPE. Que tu prepares le concours pour la première fois ou que tu revises tes fondamentaux, ce chapitre te permettra de maitriser les quatre opérations, les regles de priorite, la divisibilite et la division euclidienne. Au-dela du calcul pur, tu trouveras également l’angle didactique indispensable au CRPE : comment enseigner ces notions aux eleves de cycle 2 et cycle 3. Chaque concept est illustre par des exercices types concours avec leur correction détaillée.

Les opérations sur les entiers naturels

L’addition

L’addition est l’opération qui associe a deux entiers naturels a et b un troisieme entier naturel, appele leur somme, note a + b. Les nombres a et b sont les termes de l’addition.

En posant une addition en colonnes, on additionne chiffre par chiffre de droite a gauche, en reportant les retenues. Par exemple, pour 2 847 + 1 365 : 7 + 5 = 12, on ecrit 2 et on retient 1 ; 4 + 6 + 1 = 11, on ecrit 1 et on retient 1 ; 8 + 3 + 1 = 12, on ecrit 2 et on retient 1 ; 2 + 1 + 1 = 4. Le résultat est 4 212.

La soustraction

La soustraction de b a a (notee a – b) n’est definie dans les entiers naturels que si a ≥ b. Le résultat s’appelle la difference. La soustraction est l’opération inverse de l’addition : a – b = c signifie a = b + c.

En posant une soustraction, on procede de droite a gauche. Si un chiffre du haut est inferieur au chiffre du bas, on emprunte 1 dizaine au chiffre suivant (ce qui revient a ajouter 10 au chiffre du haut et a diminuer de 1 le chiffre suivant).

La multiplication

La multiplication de a par b (notee a × b) donne le produit. Les nombres a et b sont les facteurs. La multiplication peut etre vue comme une addition repetee : 4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.

Pour poser une multiplication en colonnes (par exemple 347 × 26), on multiplie 347 par 6 (ligne des unites), puis 347 par 20 (on decale d’un rang), et on additionne les deux résultats partiels.

La division euclidienne

La division euclidienne de a par b (avec b ≠ 0) est l’opération qui determine l’unique couple (q, r) tel que a = b × q + r avec 0 ≤ r < b. Le nombre a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

Exemple : 157 divise par 12. On cherche combien de fois 12 entre dans 157. 12 × 13 = 156, donc q = 13 et r = 157 – 156 = 1. Vérification : 12 × 13 + 1 = 156 + 1 = 157.

Propriétés des opérations

Les propriétés des opérations sont au coeur du raisonnement mathematique et de la didactique de l’enseignement primaire.

Commutativite

L’addition et la multiplication sont commutatives : l’ordre des termes ne change pas le résultat.

• a + b = b + a (par exemple, 3 + 7 = 7 + 3 = 10)
• a × b = b × a (par exemple, 4 × 5 = 5 × 4 = 20)

La soustraction et la division ne sont pas commutatives : 7 – 3 ≠ 3 – 7 et 12 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 12.

Associativite

L’addition et la multiplication sont associatives : on peut grouper les termes comme on veut sans changer le résultat.

• (a + b) + c = a + (b + c) (par exemple, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9)
• (a × b) × c = a × (b × c) (par exemple, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24)

Cette propriété permet de calculer dans l’ordre le plus pratique. Pour 37 + 48 + 63, on peut calculer (37 + 63) + 48 = 100 + 48 = 148.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les racines carrées et calculs.

Distributivite

La multiplication est distributive par rapport a l’addition et a la soustraction :

• a × (b + c) = a × b + a × c
• a × (b – c) = a × b – a × c

Exemple : 7 × 98 = 7 × (100 – 2) = 700 – 14 = 686. Cette technique de calcul mental repose directement sur la distributivite.

Propriété	Addition	Soustraction	Multiplication	Division
Commutativite	Oui	Non	Oui	Non
Associativite	Oui	Non	Oui	Non
Element neutre	0	0 (a droite)	1	1 (a droite)
Element absorbant	—	—	0	—

Ordre des opérations et priorites

L’ordre dans lequel on effectue les opérations dans un calcul n’est pas laisse au hasard. Des regles precises existent et tu dois les connaitre parfaitement.

Exemple détaillé : 5 + 3 × (7 – 2) – 8 ÷ 4

• Parentheses : 7 – 2 = 5, donc 5 + 3 × 5 – 8 ÷ 4
• Multiplications et divisions : 3 × 5 = 15 et 8 ÷ 4 = 2, donc 5 + 15 – 2
• Additions et soustractions : 5 + 15 – 2 = 18

Divisibilite et critères

Un entier naturel a est divisible par un entier naturel b (non nul) si la division euclidienne de a par b donne un reste nul. On dit aussi que b divise a, que b est un diviseur de a, ou que a est un multiple de b.

Les critères de divisibilite permettent de vérifier rapidement si un nombre est divisible par un autre, sans poser la division.

Diviseur	Critère	Exemple
2	Le chiffre des unites est pair (0, 2, 4, 6, 8)	3 456 est divisible par 2 (chiffre des unites : 6)
3	La somme des chiffres est divisible par 3	2 571 : 2 + 5 + 7 + 1 = 15, divisible par 3
4	Le nombre forme par les deux derniers chiffres est divisible par 4	3 724 : 24 est divisible par 4
5	Le chiffre des unites est 0 ou 5	1 235 est divisible par 5
9	La somme des chiffres est divisible par 9	7 281 : 7 + 2 + 8 + 1 = 18, divisible par 9
10	Le chiffre des unites est 0	4 530 est divisible par 10
25	Le nombre forme par les deux derniers chiffres est 00, 25, 50 ou 75	1 875 est divisible par 25

Division euclidienne : approfondissement

La division euclidienne est l’opération la plus riche du programme sur les entiers naturels. Elle intervient dans de nombreuses situations au CRPE.

La division euclidienne repond a des questions concretes du type : « On a 157 billes a repartir dans 12 boites de maniere equitable. Combien de billes par boite, et combien en reste-t-il ? » Réponse : 13 billes par boite, et il en reste 1.

Quelques propriétés utiles :

• Si r = 0, alors a est un multiple de b (a est divisible par b).
• Le reste r est toujours compris entre 0 et b – 1 inclus. Donc dans une division par 7, les restes possibles sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
• Le quotient de a par b est l’entier q = (a – r) / b. C’est aussi la partie entiere de a / b.

Au CRPE, on te demandera souvent de poser des divisions longues avec des grands nombres, ou d’expliquer les differentes etapes de l’algorithme. La maitrise parfaite de cette technique est indispensable.

Angle didactique : enseigner les opérations en cycle 2-3

Le CRPE ne te demande pas seulement de savoir calculer : tu dois aussi savoir comment enseigner les opérations aux eleves. Voici les points essentiels.

Cycle 2 (CP-CE1-CE2)

En cycle 2, l’apprentissage des opérations passe par la manipulation et le sens. Les eleves doivent d’abord comprendre le sens de l’opération avant d’apprendre la technique operatoire.

• Addition : on commence par des situations de reunion (j’ai 3 bonbons et on m’en donne 4) et de cumul (j’avais 5 images, j’en gagne 3). La technique posee avec retenue s’apprend progressivement.
• Soustraction : on distingue deux sens : l’ecart (j’ai 7 ans, mon frere en a 12, quelle est la difference ?) et le complément (j’ai 5 euros, j’en veux 8, combien me manque-t-il ?). La technique posee avec emprunt est abordee en CE1-CE2.
• Multiplication : elle apparait comme addition iteree. Les tables de multiplication se construisent progressivement. L’accent est mis sur la comprehension (4 × 3 = 4 paquets de 3) avant la memorisation.

Cycle 3 (CM1-CM2-6eme)

En cycle 3, les eleves consolident les techniques operatoires et decouvrent la division.

Ce thème est développé dans notre article sur les fractions et leurs règles.

• Division : on commence par le sens (partage equitable et regroupement), puis on introduit progressivement la technique de la division posee, d’abord par un diviseur a un chiffre, puis a deux chiffres.
• Propriétés : les eleves decouvrent la commutativite et l’associativite de facon implicite, a travers des exercices de calcul mental (reorganiser les termes pour calculer plus facilement).
• Calcul mental : il est travaille quotidiennement. Les stratégies de calcul (decomposer, compenser, utiliser les doubles) s’appuient sur les propriétés des opérations.

Les erreurs typiques des eleves

Les erreurs les plus frequentes des eleves en calcul pose sont :

• Oublier la retenue dans l’addition (456 + 378 = 724 au lieu de 834).
• Se tromper dans le sens de l’emprunt pour la soustraction.
• Mal aligner les produits partiels dans la multiplication posee.
• Dans la division, ne pas abaisser le chiffre suivant ou confondre dividende et diviseur.

Ces erreurs ne sont pas des « fautes » mais des indicateurs de comprehension partielle. L’enseignant doit les analyser pour adapter sa remediation.

Erreurs frequentes au CRPE

Exercices corriges type CRPE

Exercice 1 : Division euclidienne

Voir la correction

On effectue la division euclidienne de 2 347 par 23.

23 × 100 = 2 300, donc le quotient est au moins 100.

2 347 – 2 300 = 47. On divise 47 par 23 : 23 × 2 = 46, reste 1.

Donc 2 347 = 23 × 102 + 1.

Chaque classe recevra 102 cahiers et il en restera 1.

Vérification : 23 × 102 + 1 = 2 346 + 1 = 2 347. Le reste 1 est bien inferieur a 23.

Exercice 2 : Priorites operatoires

Voir la correction

Etape 1 : Parentheses. A l’interieur, on respecte les priorites : 4 × 2 = 8, puis 12 – 8 = 4.

A = 15 + 3 × 4 – 6 ÷ 3

Etape 2 : Multiplications et divisions. 3 × 4 = 12 et 6 ÷ 3 = 2.

A = 15 + 12 – 2

Etape 3 : Additions et soustractions de gauche a droite. 15 + 12 = 27, puis 27 – 2 = 25.

A = 25.

Exercice 3 : Criteres de divisibilite

Voir la correction

Pour etre divisible par 12, un nombre doit etre divisible par 3 ET par 4.

1 260 : somme des chiffres = 1 + 2 + 6 + 0 = 9 (divisible par 3). Deux derniers chiffres : 60 (60 ÷ 4 = 15, divisible par 4). Divisible par 12.

2 345 : somme des chiffres = 2 + 3 + 4 + 5 = 14 (non divisible par 3). Pas besoin de tester par 4. Non divisible par 12.

3 672 : somme des chiffres = 3 + 6 + 7 + 2 = 18 (divisible par 3). Deux derniers chiffres : 72 (72 ÷ 4 = 18, divisible par 4). Divisible par 12.

5 148 : somme des chiffres = 5 + 1 + 4 + 8 = 18 (divisible par 3). Deux derniers chiffres : 48 (48 ÷ 4 = 12, divisible par 4). Divisible par 12.

Les nombres divisibles par 12 sont 1 260, 3 672 et 5 148.

Exercice 4 : Problème concret

Voir la correction

Le nombre de bouquets doit diviser a la fois 85 et 119. Le nombre maximal de bouquets est le PGCD de 85 et 119.

Algorithme d’Euclide :

119 = 85 × 1 + 34

85 = 34 × 2 + 17

34 = 17 × 2 + 0

Nous vous conseillons également notre cours sur les nombres premiers.

Le dernier reste non nul est 17, donc PGCD(85, 119) = 17.

Le fleuriste peut realiser 17 bouquets.

Nombre de roses par bouquet : 85 ÷ 17 = 5 roses.

Nombre de tulipes par bouquet : 119 ÷ 17 = 7 tulipes.

Chaque bouquet contient 5 roses et 7 tulipes.

Exercice 5 : Question didactique

Voir la correction

Analyse de l’erreur : l’eleve soustrait chiffre par chiffre sans respecter la technique de l’emprunt. Quand le chiffre du haut est inferieur au chiffre du bas (5 < 7 et 6 < 8), il inverse la soustraction au lieu d’emprunter. Il ne maitrise pas le mecanisme de la retenue dans la soustraction.

Le résultat correct est 456 – 278 = 178.

Remediation proposee :

1) Reprendre le sens de la soustraction avec du materiel de numeration (centaines, dizaines, unites). Montrer que pour enlever 8 unites quand on n’en a que 6, il faut « casser » une dizaine en 10 unites.

2) Travailler d’abord la soustraction avec emprunt sur des nombres a deux chiffres (ex : 42 – 17) avant de passer a trois chiffres.

3) Utiliser la vérification par l’addition : le résultat additionne au nombre soustrait doit redonner le nombre de depart (178 + 278 = 456).

4) Proposer des situations concretes (monnaie, longueurs) pour ancrer le sens de l’opération.

FAQ

Quelle est la difference entre division euclidienne et division décimale ?

La division euclidienne donne un quotient entier et un reste entier. Elle s’arrete quand le reste est inferieur au diviseur. La division décimale poursuit le calcul au-dela en ajoutant des zeros au dividende, donnant un quotient décimal (avec une virgule). Par exemple, 7 divise par 2 donne q = 3 et r = 1 en division euclidienne, mais 3,5 en division décimale.

Zero est-il un entier naturel ?

Oui, en France, l’ensemble des entiers naturels inclut zero : ℕ = {0, 1, 2, 3, …}. Zero est l’element neutre de l’addition (a + 0 = a) et l’element absorbant de la multiplication (a × 0 = 0). Attention : la division par zero n’est pas definie.

Pourquoi la division par zero est-elle interdite ?

Si on cherche a diviser a par 0, on cherche un nombre q tel que 0 × q = a. Or 0 × q = 0 pour tout q. Si a ≠ 0, il n’existe aucun q solution. Si a = 0, tout nombre q est solution (il n’y a pas d’unicite). Dans les deux cas, la division euclidienne (qui exige existence et unicite) est impossible.

Quelle difference entre « pair » et « divisible par 2 » ?

Aucune. Un entier naturel est pair si et seulement s’il est divisible par 2. Les deux formulations sont equivalentes. La formule générale d’un nombre pair est 2n (avec n entier naturel), et celle d’un nombre impair est 2n + 1. Au CRPE, tu peux utiliser l’une ou l’autre formulation selon le contexte.

Comment justifier un critère de divisibilite ?

Les critères reposent sur la decomposition décimale du nombre. Par exemple, pour le critère par 9 : le nombre N = a × 1000 + b × 100 + c × 10 + d. Or 1000 = 999 + 1, 100 = 99 + 1, 10 = 9 + 1. Donc N = a × 999 + b × 99 + c × 9 + (a + b + c + d). Comme 999, 99 et 9 sont tous divisibles par 9, N est divisible par 9 si et seulement si (a + b + c + d) l’est. C’est une démonstration classique au CRPE.