Nombres et calculs : calculs avec les puissances - Cours de Maths CRPE

Les puissances sont un outil fondamental en mathématiques qui revient dans pratiquement tous les sujets de CRPE. Au-delà des calculs de base avec des exposants entiers positifs, tu dois maîtriser les puissances négatives, les racines carrées vues comme des puissances fractionnaires, la notation scientifique et les calculs complexes qui combinent plusieurs propriétés. Ce cours avancé reprend toutes ces notions avec rigueur, te donne des méthodes pour gagner du temps et te propose des exercices du niveau réel du concours.

Sommaire :

Rappels sur les puissances à exposant positif

Avant d’aborder les cas avancés, vérifions que les fondations sont solides. Une puissance est une écriture condensée d’une multiplication répétée.

À retenir

Pour tout nombre a et tout entier naturel n ≥ 2 : aⁿ = a × a × a × … × a (n facteurs). Par convention : a¹ = a et a⁰ = 1 (pour a ≠ 0).

Exemples fondamentaux :

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
10³ = 1 000
5⁰ = 1
(-2)³ = (-2) × (-2) × (-2) = -8

️ Erreur fréquente

Attention à la différence entre (-2)⁴ et -2⁴. Le premier vaut (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = +16. Le second vaut -(2 × 2 × 2 × 2) = -16. Les parenthèses changent tout.

Les propriétés des puissances

Ces propriétés sont les outils que tu utilises pour simplifier les calculs. Tu dois les connaître sur le bout des doigts pour le CRPE.

Produit de puissances de même base

À retenir

a^m × aⁿ = a^m+n. On garde la base et on additionne les exposants.

Exemple : 2³ × 2⁵ = 2⁸ = 256

Quotient de puissances de même base

À retenir

a^m ÷ aⁿ = a^m-n (pour a ≠ 0). On garde la base et on soustrait les exposants.

Exemple : 5⁷ ÷ 5³ = 5⁴ = 625

Puissance d’une puissance

À retenir

(a^m)ⁿ = a^m×n. On multiplie les exposants.

Exemple : (3²)⁴ = 3⁸ = 6 561

Puissance d’un produit et d’un quotient

(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ. Exemple : (2 × 3)⁴ = 2⁴ × 3⁴ = 16 × 81 = 1 296
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Exemple : (3/5)² = 9/25

️ Erreur fréquente

(a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ. La puissance ne se distribue PAS sur une somme. Par exemple, (2 + 3)² = 5² = 25, alors que 2² + 3² = 4 + 9 = 13. Cette erreur est un piège classique du CRPE.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les racines carrées et calculs.

Les puissances négatives

Les puissances à exposant négatif sont l’extension naturelle de la règle du quotient. Quand m – n donne un résultat négatif, on obtient un nombre inférieur à 1.

Définition

À retenir

Pour tout nombre a ≠ 0 et tout entier naturel n : a^-n = 1/aⁿ. Un exposant négatif signifie « passer au dénominateur ».

Exemples :

2^-3 = 1/2³ = 1/8 = 0,125
10^-2 = 1/10² = 1/100 = 0,01
5^-1 = 1/5 = 0,2
(3/4)^-2 = (4/3)² = 16/9

Propriété de l’inverse d’une fraction

Quand tu élèves une fraction à un exposant négatif, tu inverses la fraction et tu rends l’exposant positif :

(a/b)^-n = (b/a)ⁿ

Exemple : (2/3)^-3 = (3/2)³ = 27/8

Astuce

Retiens cette image : un exposant négatif fait « traverser la barre de fraction ». Ce qui est au numérateur passe au dénominateur, et inversement. Cela fonctionne dans tous les cas.

Les puissances de 10

Les puissances de 10 méritent une section à part entière car elles interviennent dans la notation scientifique, les conversions d’unités et de nombreux problèmes du CRPE.

Valeurs de référence

Puissance	Valeur	Nom
10⁶	1 000 000	million
10⁵	100 000	cent mille
10⁴	10 000	dix mille
10³	1 000	mille
10²	100	cent
10¹	10	dix
10⁰	1	un
10^-1	0,1	dixième
10^-2	0,01	centième
10^-3	0,001	millième

Multiplier et diviser par des puissances de 10

Multiplier par 10ⁿ revient à décaler la virgule de n positions vers la droite. Diviser par 10ⁿ (ou multiplier par 10^-n) revient à décaler la virgule de n positions vers la gauche.

Exemples :

3,47 × 10³ = 3 470
56 200 × 10^-4 = 5,62
0,0025 × 10⁵ = 250

La notation scientifique

La notation scientifique est un outil incontournable pour écrire les très grands nombres et les très petits nombres de manière lisible et normalisée.

Définition

À retenir

Retrouvez les détails dans notre fiche sur le calcul mental au CRPE.

Un nombre est en notation scientifique quand il s’écrit sous la forme a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif. Le nombre a est la mantisse et n est l’exposant.

Exemples :

354 000 = 3,54 × 10⁵
0,00072 = 7,2 × 10^-4
6 371 000 = 6,371 × 10⁶
0,125 = 1,25 × 10^-1

Méthode pour écrire en notation scientifique

Place la virgule juste après le premier chiffre significatif (non nul)
Compte le nombre de positions dont tu as décalé la virgule
Si tu as décalé vers la gauche, l’exposant est positif ; vers la droite, il est négatif

Astuce

Pour les grands nombres, l’exposant est positif. Pour les nombres entre 0 et 1, l’exposant est négatif. Plus le nombre est grand, plus l’exposant est grand. Plus le nombre est petit (proche de 0), plus l’exposant est négatif.

Calculs en notation scientifique

Pour multiplier deux nombres en notation scientifique, on multiplie les mantisses et on additionne les exposants :

(a × 10^m) × (b × 10ⁿ) = (a × b) × 10^m+n

Si le produit a × b n’est pas entre 1 et 10, on ajuste.

Exemple : (3,5 × 10⁴) × (2 × 10³) = 7 × 10⁷

Exemple avec ajustement : (4 × 10⁵) × (8 × 10³) = 32 × 10⁸ = 3,2 × 10⁹

Les racines carrées

La racine carrée est l’opération inverse de l’élévation au carré. Elle intervient souvent dans les problèmes de géométrie (théorème de Pythagore) et dans les calculs numériques du CRPE.

Définition

À retenir

Pour tout nombre positif a, la racine carrée de a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a. Autrement dit : (√a)² = a et √(a²) = a (pour a ≥ 0).

Valeurs à connaître par coeur :

Ce thème est développé dans notre article sur les fractions et leurs règles.

√1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5
√36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10
√121 = 11, √144 = 12, √169 = 13

Propriétés des racines carrées

√(a × b) = √a × √b. Exemple : √12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3
√(a/b) = √a / √b. Exemple : √(9/16) = 3/4

️ Erreur fréquente

√(a + b) ≠ √a + √b. Par exemple, √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. La racine carrée ne se distribue PAS sur une somme, exactement comme la puissance.

Simplification de racines carrées

Simplifier √n, c’est extraire le plus grand carré parfait possible de sous la racine.

Méthode : décompose n en facteurs premiers, puis sors les facteurs qui apparaissent en paires.

√72 = √(36 × 2) = 6√2
√200 = √(100 × 2) = 10√2
√48 = √(16 × 3) = 4√3
√180 = √(36 × 5) = 6√5

Calculs combinés avancés

Au CRPE, les exercices combinent souvent puissances, racines et fractions dans une même expression. Voici la méthodologie à suivre.

Méthode générale

Respecte les priorités opératoires (parenthèses, puissances, multiplications/divisions, additions/soustractions)
Applique les propriétés des puissances pour simplifier les expressions
Factorise ou décompose quand c’est possible
Simplifie les fractions au fur et à mesure

Exemple détaillé

Calcule : (2³ × 3²) / (6² × 2^-1)

Numérateur : 2³ × 3² = 8 × 9 = 72
Dénominateur : 6² × 2^-1 = 36 × 1/2 = 18
Résultat : 72/18 = 4

Méthode plus rapide en décomposant 6 = 2 × 3 :

(2³ × 3²) / (2² × 3² × 2^-1) = (2³ × 3²) / (2¹ × 3²) = 2^3-1 × 3^2-2 = 2² × 1 = 4

Exercices avancés niveau CRPE

Ces exercices sont calibrés sur le niveau du concours. Traite-les dans l’ordre et prends le temps de rédiger ta solution avant de consulter la correction.

️ Exercice 1

Voir aussi : les calculs avec les puissances pour compléter vos connaissances.

Simplifie et donne le résultat sous forme de fraction irréductible : (3⁴ × 2^-2) / (6² × 3^-1)

Voir la correction

Décomposons 6 = 2 × 3 : 6² = 2² × 3²

Numérateur : 3⁴ × 2^-2

Dénominateur : 2² × 3² × 3^-1 = 2² × 3¹

Résultat : 3^4-1 × 2^-2-2 = 3³ × 2^-4 = 27/16

PGCD(27, 16) = 1, donc 27/16 est irréductible.

️ Exercice 2

Écris en notation scientifique : (4,5 × 10³) × (2 × 10^-7) / (3 × 10^-2)

Voir la correction

Numérateur : 4,5 × 2 = 9 et 10³ × 10^-7 = 10^-4. Donc numérateur = 9 × 10^-4.

Division par 3 × 10^-2 : (9/3) × 10^-4-(-2) = 3 × 10^-4+2 = 3 × 10^-2

La mantisse 3 est bien entre 1 et 10. Résultat : 3 × 10^-2 (soit 0,03).

️ Exercice 3

Simplifie : √75 + 2√27 – √48

Voir la correction

√75 = √(25 × 3) = 5√3

2√27 = 2 × √(9 × 3) = 2 × 3√3 = 6√3

√48 = √(16 × 3) = 4√3

Donc : 5√3 + 6√3 – 4√3 = (5 + 6 – 4)√3 = 7√3

️ Exercice 4

Calcule : 2¹⁰ × 5¹⁰. Donne le résultat en écriture décimale.

Voir la correction

On utilise la propriété : aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ

2¹⁰ × 5¹⁰ = (2 × 5)¹⁰ = 10¹⁰ = 10 000 000 000 (dix milliards)

️ Exercice 5

Montre que 4ⁿ × 9ⁿ = 36ⁿ pour tout entier n. Puis calcule 4³ × 9³ de deux façons.

Voir la correction

Démonstration : 4ⁿ × 9ⁿ = (4 × 9)ⁿ = 36ⁿ (propriété (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ).

Nous vous conseillons également notre cours sur les nombres premiers.

Première méthode : 4³ × 9³ = 64 × 729 = 46 656

Deuxième méthode : 36³ = 36 × 36 × 36 = 1 296 × 36 = 46 656

Les deux méthodes donnent bien 46 656.

️ Exercice 6

Le rayon de la Terre est d’environ 6,4 × 10³ km. La distance Terre-Soleil est d’environ 1,5 × 10⁸ km. Combien de fois le rayon terrestre faut-il pour parcourir la distance Terre-Soleil ? Donne une réponse arrondie.

Voir la correction

On divise la distance par le rayon :

(1,5 × 10⁸) ÷ (6,4 × 10³) = (1,5/6,4) × 10^8-3 = 0,234… × 10⁵

En notation scientifique : 2,34… × 10⁴

Soit environ 23 400 fois le rayon de la Terre.

️ Exercice 7

Simplifie : (√2 + √3)² – (√2 – √3)²

Voir la correction

Développons chaque carré :

(√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6

(√2 – √3)² = 2 – 2√6 + 3 = 5 – 2√6

Différence : (5 + 2√6) – (5 – 2√6) = 5 + 2√6 – 5 + 2√6 = 4√6

On pouvait aussi utiliser l’identité remarquable a² – b² = (a+b)(a-b) avec a = √2 + √3 et b = √2 – √3 : (2√2)(2√3) = 4√6.

FAQ sur les puissances au CRPE

Que vaut 0 puissance 0 ?

Par convention, 0⁰ = 1 dans la plupart des contextes mathématiques (combinatoire, séries, polynômes). Au CRPE, tu ne rencontreras probablement pas cette situation, mais si elle se présente, retiens que la convention la plus courante est 0⁰ = 1.

Pourquoi un exposant négatif donne un nombre inférieur à 1 ?

Parce que a^-n = 1/aⁿ. Si a > 1, alors aⁿ > 1, donc 1/aⁿ < 1. C’est la logique de l’inverse : plus la puissance positive est grande, plus la puissance négative correspondante est petite (et proche de zéro).

Faut-il connaître les carrés parfaits par coeur ?

Oui, connaître les carrés de 1 à 20 est un gain de temps considérable au CRPE. Les plus importants : 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289, 18² = 324, 19² = 361, 20² = 400. Tu les reconnaîtras instantanément dans les exercices sur les racines carrées et le théorème de Pythagore.

Comment gérer les puissances dans les QCM du CRPE ?

Dans les QCM, commence par éliminer les réponses impossibles grâce aux ordres de grandeur. Si tu dois calculer 3⁸, tu sais que 3⁶ = 729 et 3¹⁰ = 59 049, donc le résultat est entre ces deux valeurs. Cela suffit souvent à trouver la bonne réponse sans calcul complet.

Articles du même niveau (CRPE)

Cardia Anthony

Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.

Nombres et calculs : calculs avec les puissances – Cours de Maths CRPE

Rappels sur les puissances à exposant positif