Calculs sur les fractions et les pourcentages – Cours de Maths CRPE

Fractions et pourcentages sont partout dans le quotidien et tombent chaque annee au CRPE. Calculer les trois quarts d une quantite, convertir 35 % en fraction, trouver quel pourcentage represente 18 sur 45… Ce cours complet te donne toutes les méthodes, des exemples detailles et des exercices corriges pour maitriser ces notions sur le bout des doigts. Tu verras aussi les conversions entre fractions, pourcentages et décimaux, indispensables pour resoudre les problèmes concrets du concours.

Fraction d une quantite

Principe fondamental

Prendre une fraction d une quantite, c est diviser cette quantite en parts egales puis en prendre un certain nombre. Concretement, calculer a/b d une quantite Q revient a effectuer le calcul (a x Q) / b ou, de maniere equivalente, (Q / b) x a.

Exemple : calculer les 3/4 de 120. Tu divises d abord 120 par 4 : 120 / 4 = 30. Puis tu multiplies par 3 : 30 x 3 = 90. Donc 3/4 de 120 = 90. Ou bien : (3 x 120) / 4 = 360 / 4 = 90. Les deux chemins menent au meme résultat.

Ce calcul intervient dans de tres nombreux problèmes du CRPE : fractions de durees, fractions de prix, fractions de populations, fractions d aires ou de volumes.

Méthode quand la division ne tombe pas juste

Parfois, la quantite n est pas divisible par le denominateur. Dans ce cas, tu dois passer par la multiplication d abord. Pour calculer 2/3 de 50, la division 50 / 3 donne un résultat non entier (16,666…). Il vaut mieux ecrire directement : 2/3 de 50 = (2 x 50) / 3 = 100/3 = 33,33… (ou 33 et 1/3 en fraction).

Au CRPE, les enonces sont generalement conçus pour que les résultats tombent juste. Si tu trouves un résultat non entier inattendu, relis l enonce pour vérifier que tu n as pas fait d erreur.

✅ Voir la correction

3/5 de 200 = 200 / 5 x 3 = 40 x 3 = 120.

5/8 de 480 = 480 / 8 x 5 = 60 x 5 = 300.

7/12 de 360 = 360 / 12 x 7 = 30 x 7 = 210.

2/9 de 270 = 270 / 9 x 2 = 30 x 2 = 60.

Opérations sur les fractions

Addition et soustraction de fractions

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut qu elles aient le meme denominateur. Si c est le cas, on additionne (ou soustrait) les numerateurs et on garde le denominateur commun. Sinon, on reduit d abord au meme denominateur.

Exemple avec meme denominateur : 3/7 + 2/7 = (3 + 2)/7 = 5/7.

Exemple avec denominateurs differents : 1/3 + 1/4. Le PPCM de 3 et 4 est 12. On ecrit 1/3 = 4/12 et 1/4 = 3/12. Donc 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les racines carrées et calculs.

Pour la soustraction : 5/6 – 1/4. Le PPCM de 6 et 4 est 12. On ecrit 5/6 = 10/12 et 1/4 = 3/12. Donc 5/6 – 1/4 = 10/12 – 3/12 = 7/12.

Multiplication de fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numerateurs entre eux et les denominateurs entre eux. Formule : a/b x c/d = (a x c) / (b x d). Pas besoin de reduire au meme denominateur.

Exemple : 3/4 x 2/5 = (3 x 2) / (4 x 5) = 6/20 = 3/10 (apres simplification par 2).

Quand un des facteurs est un entier, tu l ecris sous forme de fraction avec le denominateur 1. Exemple : 5 x 3/7 = 5/1 x 3/7 = 15/7.

Division de fractions

Diviser par une fraction, c est multiplier par son inverse. L inverse de a/b est b/a (a condition que a soit different de 0). Formule : (a/b) / (c/d) = a/b x d/c = (a x d) / (b x c).

Exemple : (3/4) / (2/5) = 3/4 x 5/2 = 15/8.

✅ Voir la correction

2/3 + 5/6 : PPCM de 3 et 6 = 6. On ecrit 2/3 = 4/6. Donc 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2.

7/8 – 1/3 : PPCM de 8 et 3 = 24. On ecrit 7/8 = 21/24 et 1/3 = 8/24. Donc 21/24 – 8/24 = 13/24.

4/5 x 15/8 : (4 x 15) / (5 x 8) = 60/40 = 3/2 (simplification par 20).

(9/10) / (3/5) = 9/10 x 5/3 = 45/30 = 3/2 (simplification par 15).

Les pourcentages

Calculer un pourcentage d une quantite

Calculer t % d une quantite Q revient a faire Q x t / 100. C est exactement le meme principe que la fraction d une quantite, avec un denominateur qui vaut toujours 100.

Exemple : 25 % de 480 = 480 x 25 / 100 = 480 / 4 = 120. Ici, on reconnait que 25 % = 1/4, ce qui simplifie le calcul.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur le calcul mental au CRPE.

Autre exemple : 15 % de 260 = 260 x 15 / 100 = 260 x 0,15 = 39. Tu peux aussi decomposer : 10 % de 260 = 26 et 5 % de 260 = 13, donc 15 % de 260 = 26 + 13 = 39.

Trouver quel pourcentage une quantite represente

Pour trouver quel pourcentage a represente par rapport a b, tu calcules (a / b) x 100.

Exemple : dans une classe de 30 eleves, 12 sont des filles. Le pourcentage de filles est (12 / 30) x 100 = 0,4 x 100 = 40 %.

Exemple : un article passe de 80 euros a 68 euros. La reduction est de 80 – 68 = 12 euros. Le pourcentage de reduction est (12 / 80) x 100 = 15 %.

Trouver la quantite totale a partir d un pourcentage

Si t % de Q vaut une valeur connue V, alors Q = V x 100 / t. C est la formule inverse.

Exemple : 30 % d un nombre vaut 45. Le nombre est 45 x 100 / 30 = 4 500 / 30 = 150.

Autre exemple : lors d une election, un candidat obtient 35 % des voix, soit 2 100 voix. Le nombre total de votants est 2 100 x 100 / 35 = 6 000 votants.

✅ Voir la correction

1. 45 % de 320 = 320 x 45 / 100 = 320 x 0,45 = 144. (Decomposition : 40 % = 128 et 5 % = 16, total = 144.)

2. (162 / 450) x 100 = 0,36 x 100 = 36 %.

3. Apres 20 % de reduction, le prix paye represente 80 % du prix initial. Donc 80 % de P = 72, soit P = 72 x 100 / 80 = 72 / 0,8 = 90 euros.

Ce thème est développé dans notre article sur les fractions et leurs règles.

Conversions fraction – pourcentage – décimal

De la fraction au décimal

Pour convertir une fraction en décimal, tu divises le numerateur par le denominateur. C est la méthode directe et universelle.

Exemples : 3/4 = 3 / 4 = 0,75. 1/3 = 1 / 3 = 0,333… (nombre décimal periodique). 7/8 = 7 / 8 = 0,875.

Du décimal a la fraction

Pour convertir un décimal en fraction, tu ecris le nombre sans virgule au numerateur et la puissance de 10 correspondante au denominateur, puis tu simplifies.

Exemples : 0,75 = 75/100 = 3/4 (simplification par 25). 0,6 = 6/10 = 3/5 (simplification par 2). 1,25 = 125/100 = 5/4 (simplification par 25).

Pour les décimaux periodiques, la méthode est differente. Soit x = 0,333… Alors 10x = 3,333… et 10x – x = 3, donc 9x = 3, soit x = 3/9 = 1/3.

De la fraction au pourcentage

Pour convertir une fraction en pourcentage, tu la multiplies par 100. Formule : a/b en pourcentage = (a/b) x 100 %.

Exemples : 3/4 = (3/4) x 100 = 75 %. 2/5 = (2/5) x 100 = 40 %. 1/8 = (1/8) x 100 = 12,5 %. 1/3 = (1/3) x 100 = 33,33… %.

Du pourcentage a la fraction

Pour convertir un pourcentage en fraction, tu divises par 100 et tu simplifies. Formule : t % = t/100.

Exemples : 60 % = 60/100 = 3/5. 12,5 % = 12,5/100 = 125/1000 = 1/8. 33,33… % = 1/3.

✅ Voir la correction

5/8 = 5 / 8 = 0,625 = 62,5 %.

7/20 = 0,35 = 35 %. (Car 0,35 = 35/100 = 7/20.)

5/8 = 0,625 = 62,5 %. (Car 62,5 / 100 = 625/1000 = 5/8.)

4/9 = 4 / 9 = 0,444… = 44,44… % (ou 44,4 % en valeur approchee).

Augmentations et reductions en pourcentage

Augmentation de t %

Augmenter une quantite Q de t %, c est ajouter t % de Q a Q. Le nouveau montant est Q + Q x t/100 = Q x (1 + t/100). Le nombre (1 + t/100) est appele coefficient multiplicateur d augmentation.

Voir aussi : les calculs avec les puissances pour compléter vos connaissances.

Exemple : augmenter 250 de 12 %. Coefficient : 1 + 12/100 = 1,12. Nouveau montant : 250 x 1,12 = 280.

Reduction de t %

Reduire une quantite Q de t %, c est retirer t % de Q. Le nouveau montant est Q – Q x t/100 = Q x (1 – t/100). Le coefficient multiplicateur de reduction est (1 – t/100).

Exemple : reduire 350 de 30 %. Coefficient : 1 – 30/100 = 0,7. Nouveau montant : 350 x 0,7 = 245.

Retrouver la valeur initiale

Pour retrouver la valeur initiale apres une augmentation de t %, tu divises par le coefficient multiplicateur. Si le prix apres augmentation est P, le prix initial est P / (1 + t/100).

Exemple : apres une augmentation de 15 %, un article coute 115 euros. Prix initial : 115 / 1,15 = 100 euros.

Pour retrouver la valeur initiale apres une reduction de t %, tu divises par (1 – t/100). Si le prix solde est P, le prix initial est P / (1 – t/100).

Pourcentages successifs

Quand tu enchaines deux variations en pourcentage, tu multiplies les coefficients multiplicateurs. Le coefficient global est le produit des coefficients individuels.

Exemple : une augmentation de 10 % suivie d une augmentation de 20 %. Coefficient global : 1,10 x 1,20 = 1,32. Cela correspond a une augmentation totale de 32 % (et non 30 %).

Exemple : une augmentation de 50 % suivie d une reduction de 50 %. Coefficient global : 1,50 x 0,50 = 0,75. Cela correspond a une baisse finale de 25 %.

✅ Voir la correction

1. Apres augmentation de 25 % : 200 x 1,25 = 250 euros. Apres reduction de 40 % : 250 x 0,60 = 150 euros.

Nous vous conseillons également notre cours sur les nombres premiers.

2. Coefficient global : 1,25 x 0,60 = 0,75.

3. Le coefficient 0,75 correspond a une reduction de 25 % par rapport au prix initial (car 1 – 0,75 = 0,25 = 25 %). On est passe de 200 a 150 euros, soit une baisse de 50 euros = 25 % de 200.

Fractions et pourcentages : problèmes types du CRPE

Problème de repartition

Ces problèmes demandent de repartir une quantite en plusieurs parts exprimees en fractions ou en pourcentages, puis de trouver la part restante.

Exemple : dans une classe de 30 eleves, 2/5 font du football, 1/3 font de la natation et le reste fait du tennis. Combien d eleves font du tennis ?

Football : 2/5 de 30 = 12 eleves. Natation : 1/3 de 30 = 10 eleves. Tennis : 30 – 12 – 10 = 8 eleves. En fraction : 1 – 2/5 – 1/3 = 15/15 – 6/15 – 5/15 = 4/15. Vérification : 4/15 de 30 = 8. C est coherent.

Problème de comparaison

Pour comparer des fractions et des pourcentages, convertis tout dans le meme format. Le plus pratique est souvent de tout convertir en décimaux ou en pourcentages.

Exemple : qui a la meilleure note ? Ali a reussi 17 questions sur 25, Baya a obtenu 65 %, et Celine a reussi 7/10 de l epreuve.

Ali : 17/25 = 68 %. Baya : 65 %. Celine : 7/10 = 70 %. Classement : Celine (70 %) > Ali (68 %) > Baya (65 %).

✅ Voir la correction

1. Femmes : 45 % de 240 = 240 x 0,45 = 108 femmes. Hommes : 240 – 108 = 132 hommes.

2. Femmes a temps partiel : 1/3 de 108 = 108 / 3 = 36 femmes.

3. Hommes a temps partiel : 10 % de 132 = 132 x 0,10 = 13,2. Comme on ne peut pas avoir 0,2 personne, on arrondit : environ 13 hommes (l enonce devrait donner un chiffre rond ; ici on prend la valeur la plus proche).

4. Total temps partiel : 36 + 13 = 49 personnes (en arrondissant). Pourcentage : (49 / 240) x 100 ≈ 20,4 %.

Fractions et pourcentages sont deux langages pour exprimer la meme realite : une proportion. En maitrisant les conversions entre fractions, décimaux et pourcentages, tu gagnes en souplesse pour choisir la forme la plus adaptee a chaque problème. Les coefficients multiplicateurs sont la cle des problèmes d augmentation et de reduction, et les enchainements de variations en pourcentage demandent de multiplier les coefficients plutot que d additionner les pourcentages. Entraine-toi avec les exercices proposes pour acquerir des automatismes solides avant le CRPE.