Nombres et calculs : calculs avec les racines carrées - Cours de Maths CRPE

Les racines carrées sont un passage oblige du CRPE. Elles interviennent dans les calculs de distances, les problèmes de géométrie avec le théorème de Pythagore, les démonstrations et les questions de didactique. Pourtant, beaucoup de candidats commettent des erreurs de calcul ou de simplification faute d’avoir revu les fondamentaux. Dans cet article, tu vas reprendre la définition de la racine carrée, maitriser les carrés parfaits, apprendre a simplifier et a effectuer toutes les opérations (addition, soustraction, multiplication, division), rationaliser un denominateur et decouvrir les enjeux didactiques pour l’enseignement a l’ecole primaire et au college.

Sommaire :

Définition de la racine carrée

La racine carrée d’un nombre positif a, notee racine(a), est le nombre positif dont le carré vaut a. Autrement dit, racine(a) est le nombre positif b tel que b x b = a, c’est-a-dire b^2 = a.

Quelques propriétés fondamentales a graver dans ta memoire :

racine(a) n’existe dans les reels que si a est supérieur ou egal a zero.
racine(a) est toujours positif ou nul.
racine(0) = 0 et racine(1) = 1.
(racine(a))^2 = a pour tout a supérieur ou egal a zero.
racine(a^2) = |a| (valeur absolue de a). Si a est positif, racine(a^2) = a. Si a est negatif, racine(a^2) = -a.

📐 A retenir

racine(a) est le nombre positif dont le carré vaut a. La racine carrée n’existe que pour a ≥ 0 et son résultat est toujours positif ou nul. La formule racine(a^2) = |a| est fondamentale : elle rappelle que la racine carrée « avale » le signe negatif.

⚠️ Erreur frequente

racine((-3)^2) = racine(9) = 3, et non -3. La racine carrée donne toujours un résultat positif. Ecrire racine(9) = -3 est une faute. L’équation x^2 = 9 admet deux solutions (3 et -3), mais racine(9) designe uniquement la solution positive.

Les carrés parfaits a connaitre

Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d’un autre nombre entier. Connaitre les carrés parfaits par coeur te fait gagner un temps considerable au CRPE, car tu n’as plus besoin de decomposer pour simplifier.

n	n^2	n	n^2
1	1	11	121
2	4	12	144
3	9	13	169
4	16	14	196
5	25	15	225
6	36	16	256
7	49	17	289
8	64	18	324
9	81	19	361
10	100	20	400

💡 Astuce

Pour retrouver rapidement les carrés au-dela de 10, utilise l’identite remarquable. Par exemple, 13^2 = (10+3)^2 = 100 + 60 + 9 = 169. Ou bien 15^2 : tout nombre finissant par 5 se calcule ainsi : 1 x 2 = 2, on ecrit 225. Pour 25^2 : 2 x 3 = 6, on ecrit 625.

Simplification d’une racine carrée

Simplifier une racine carrée, c’est l’ecrire sous la forme a x racine(b) ou b est le plus petit entier positif possible, c’est-a-dire un entier sans facteur carré. Le principe repose sur la propriété multiplicative.

La propriété fondamentale

Pour tous nombres positifs a et b :

racine(a x b) = racine(a) x racine(b)

Cette propriété fonctionne dans les deux sens : on peut « casser » une racine en produit de racines, ou regrouper deux racines en une seule.

Méthode de simplification pas a pas

Decompose le nombre sous la racine en produit de facteurs premiers.
Regroupe les facteurs par paires identiques.
Chaque paire de facteurs identiques sort de la racine sous la forme d’un seul facteur.
Les facteurs qui restent sans paire demeurent sous la racine.

Exemple 1 : racine(72)

72 = 2^3 x 3^2 = 2^2 x 3^2 x 2. On sort 2 et 3 : racine(72) = 2 x 3 x racine(2) = 6 x racine(2).

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les racines carrées et calculs.

Exemple 2 : racine(200)

200 = 2^3 x 5^2 = 2^2 x 5^2 x 2. On sort 2 et 5 : racine(200) = 2 x 5 x racine(2) = 10 x racine(2).

Exemple 3 : racine(180)

180 = 2^2 x 3^2 x 5. On sort 2 et 3 : racine(180) = 2 x 3 x racine(5) = 6 x racine(5).

Exemple 4 : racine(450)

450 = 2 x 3^2 x 5^2. On sort 3 et 5 : racine(450) = 3 x 5 x racine(2) = 15 x racine(2).

📐 A retenir

Pour simplifier racine(n) : decompose n en facteurs premiers, regroupe les facteurs par paires, sors chaque paire. Le résultat est le produit des facteurs extraits multiplie par la racine de ce qui reste. Une racine est completement simplifiee quand le nombre sous la racine n’a plus aucun facteur carré.

✏️ Exercice

Simplifie les racines carrées suivantes : racine(48), racine(98), racine(300), racine(128), racine(245), racine(588), racine(1 008).

✅ Voir la correction

racine(48) : 48 = 16 x 3 = 4^2 x 3. Donc racine(48) = 4 x racine(3).

racine(98) : 98 = 49 x 2 = 7^2 x 2. Donc racine(98) = 7 x racine(2).

racine(300) : 300 = 100 x 3 = 10^2 x 3. Donc racine(300) = 10 x racine(3).

racine(128) : 128 = 64 x 2 = 8^2 x 2. Donc racine(128) = 8 x racine(2).

racine(245) : 245 = 49 x 5 = 7^2 x 5. Donc racine(245) = 7 x racine(5).

racine(588) : 588 = 4 x 147 = 4 x 49 x 3 = 2^2 x 7^2 x 3. Donc racine(588) = 2 x 7 x racine(3) = 14 x racine(3).

racine(1 008) : 1 008 = 16 x 63 = 16 x 9 x 7 = 4^2 x 3^2 x 7. Donc racine(1 008) = 4 x 3 x racine(7) = 12 x racine(7).

Opérations avec les racines carrées

Multiplication

La multiplication repose sur la propriété multiplicative :

racine(a) x racine(b) = racine(a x b)

Exemples :

racine(2) x racine(3) = racine(6)
racine(5) x racine(5) = racine(25) = 5
3 x racine(2) x 2 x racine(7) = 6 x racine(14)
racine(12) x racine(3) = racine(36) = 6

Division

De meme, la division utilise la propriété :

racine(a) / racine(b) = racine(a / b) (avec b different de zero)

Exemples :

racine(50) / racine(2) = racine(25) = 5
racine(72) / racine(8) = racine(9) = 3
racine(180) / racine(5) = racine(36) = 6

Addition et soustraction

On ne peut additionner ou soustraire que des racines carrées de meme radicande (le nombre sous la racine). C’est le meme principe que pour les termes semblables en algèbre.

a x racine(n) + b x racine(n) = (a + b) x racine(n)

Retrouvez les détails dans notre fiche sur le calcul mental au CRPE.

Exemples :

3 x racine(5) + 7 x racine(5) = 10 x racine(5)
5 x racine(2) – 2 x racine(2) = 3 x racine(2)
racine(3) + 4 x racine(3) = 5 x racine(3)

⚠️ Erreur frequente

racine(a + b) n’est PAS egal a racine(a) + racine(b). Par exemple, racine(9 + 16) = racine(25) = 5, alors que racine(9) + racine(16) = 3 + 4 = 7. Les deux résultats sont differents. Cette erreur est l’une des plus penalisees au CRPE.

Parfois, il faut d’abord simplifier les racines pour pouvoir les additionner :

Exemple : racine(12) + racine(27)

racine(12) = 2 x racine(3) et racine(27) = 3 x racine(3).

Donc racine(12) + racine(27) = 2 x racine(3) + 3 x racine(3) = 5 x racine(3).

Exemple : racine(50) – racine(18) + racine(8)

racine(50) = 5 x racine(2), racine(18) = 3 x racine(2), racine(8) = 2 x racine(2).

Donc 5 x racine(2) – 3 x racine(2) + 2 x racine(2) = 4 x racine(2).

✏️ Exercice

Simplifie les expressions suivantes :

a) racine(75) + racine(48) – racine(27)

b) 2 x racine(32) – racine(72) + racine(128)

c) racine(45) + racine(80) – racine(20)

✅ Voir la correction

a) racine(75) = 5 x racine(3), racine(48) = 4 x racine(3), racine(27) = 3 x racine(3).

5 x racine(3) + 4 x racine(3) – 3 x racine(3) = 6 x racine(3).

b) racine(32) = 4 x racine(2), racine(72) = 6 x racine(2), racine(128) = 8 x racine(2).

2 x 4 x racine(2) – 6 x racine(2) + 8 x racine(2) = 8 x racine(2) – 6 x racine(2) + 8 x racine(2) = 10 x racine(2).

c) racine(45) = 3 x racine(5), racine(80) = 4 x racine(5), racine(20) = 2 x racine(5).

3 x racine(5) + 4 x racine(5) – 2 x racine(5) = 5 x racine(5).

Developper avec des racines carrées

Les identites remarquables s’appliquent exactement de la meme facon avec les racines carrées qu’avec des expressions algébriques classiques.

Identites remarquables

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2
(a + b)(a – b) = a^2 – b^2

Exemple 1 : (racine(3) + 2)^2

= (racine(3))^2 + 2 x racine(3) x 2 + 2^2 = 3 + 4 x racine(3) + 4 = 7 + 4 x racine(3).

Exemple 2 : (racine(5) – racine(2))^2

= (racine(5))^2 – 2 x racine(5) x racine(2) + (racine(2))^2 = 5 – 2 x racine(10) + 2 = 7 – 2 x racine(10).

Exemple 3 : (racine(7) + racine(3))(racine(7) – racine(3))

= (racine(7))^2 – (racine(3))^2 = 7 – 3 = 4.

💡 Astuce

Ce thème est développé dans notre article sur les fractions et leurs règles.

La troisieme identite remarquable (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 est la cle de la rationalisation. Quand tu multiplies (racine(a) + racine(b)) par (racine(a) – racine(b)), les racines disparaissent et tu obtiens un nombre entier. C’est exactement le principe de la quantite conjuguee.

Rationalisation du denominateur

Rationaliser un denominateur, c’est transformer une fraction pour qu’il n’y ait plus de racine carrée au denominateur. C’est une exigence de mise en forme tres frequente au CRPE.

Cas 1 : denominateur de la forme racine(a)

On multiplie le numerateur et le denominateur par racine(a).

Exemple : 5 / racine(3) = (5 x racine(3)) / (racine(3) x racine(3)) = (5 x racine(3)) / 3.

Cas 2 : denominateur de la forme a + racine(b)

On multiplie par la quantite conjuguee a – racine(b).

Exemple : 1 / (2 + racine(3))

= (1 x (2 – racine(3))) / ((2 + racine(3))(2 – racine(3)))

= (2 – racine(3)) / (4 – 3)

= 2 – racine(3).

Cas 3 : denominateur de la forme racine(a) + racine(b)

On multiplie par racine(a) – racine(b).

Exemple : 6 / (racine(5) + racine(2))

= (6 x (racine(5) – racine(2))) / ((racine(5))^2 – (racine(2))^2)

= (6 x (racine(5) – racine(2))) / (5 – 2)

= (6 x (racine(5) – racine(2))) / 3

= 2 x (racine(5) – racine(2))

= 2 x racine(5) – 2 x racine(2).

📐 A retenir

Pour rationaliser un denominateur contenant une racine, multiplie numerateur et denominateur par la quantite conjuguee. Si le denominateur est racine(a), multiplie par racine(a). Si le denominateur est de la forme p + racine(q), multiplie par p – racine(q). Le denominateur devient alors un nombre entier.

✏️ Exercice

Rationalise les denominateurs suivants :

a) 7 / racine(5)

b) 3 / (1 + racine(2))

c) 10 / (racine(7) – racine(3))

✅ Voir la correction

a) 7 / racine(5) = (7 x racine(5)) / (racine(5) x racine(5)) = (7 x racine(5)) / 5.

b) 3 / (1 + racine(2)) = (3 x (1 – racine(2))) / ((1)^2 – (racine(2))^2) = (3 – 3 x racine(2)) / (1 – 2) = (3 – 3 x racine(2)) / (-1) = -3 + 3 x racine(2) = 3 x racine(2) – 3.

c) 10 / (racine(7) – racine(3)) = (10 x (racine(7) + racine(3))) / (7 – 3) = (10 x (racine(7) + racine(3))) / 4 = (5 x (racine(7) + racine(3))) / 2 = (5 x racine(7) + 5 x racine(3)) / 2.

Racines carrées et équations

Les racines carrées apparaissent souvent dans la résolution d’équations, en particulier les équations du second degré.

Équation x^2 = a

Si a > 0 : deux solutions, x = racine(a) et x = -racine(a).
Si a = 0 : une seule solution, x = 0.
Si a < 0 : aucune solution dans les reels.

Exemple : x^2 = 7. Les solutions sont x = racine(7) et x = -racine(7).

Voir aussi : les calculs avec les puissances pour compléter vos connaissances.

Équation avec racine

Pour resoudre racine(x) = a :

Si a < 0, il n’y a aucune solution (la racine est toujours positive).
Si a ≥ 0, on eleve au carré les deux membres : x = a^2, a condition de vérifier que x ≥ 0.

Exemple : racine(x + 3) = 5. On eleve au carré : x + 3 = 25, donc x = 22. Vérification : racine(22 + 3) = racine(25) = 5. C’est correct.

⚠️ Erreur frequente

Quand tu eleves au carré les deux membres d’une équation contenant une racine, tu peux introduire des solutions parasites. Il faut toujours vérifier la solution dans l’équation initiale. Par exemple, si tu trouves x = -1 en résolution, il faut vérifier que racine(-1 + 3) donne bien le résultat attendu.

Racines carrées et géométrie

Les racines carrées sont omni-presentes en géométrie, principalement a travers le théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypotenuse est egal a la somme des carrés des deux autres cotes. Si le triangle ABC est rectangle en C :

AB^2 = AC^2 + BC^2

Pour trouver la longueur d’un cote, on prend la racine carrée.

Exemple : dans un triangle rectangle avec des cotes de 3 cm et 4 cm, l’hypotenuse mesure racine(3^2 + 4^2) = racine(9 + 16) = racine(25) = 5 cm.

Exemple : dans un triangle rectangle avec une hypotenuse de 10 cm et un cote de 6 cm, l’autre cote mesure racine(10^2 – 6^2) = racine(100 – 36) = racine(64) = 8 cm.

Exemple avec racine non simplifiable : dans un triangle rectangle isocele de cotes 1 cm, 1 cm, l’hypotenuse mesure racine(1 + 1) = racine(2) cm, soit environ 1,414 cm.

Diagonale d’un carré

La diagonale d’un carré de cote a mesure a x racine(2). En effet, la diagonale est l’hypotenuse d’un triangle rectangle isocele dont les deux cotes de l’angle droit mesurent a.

Hauteur d’un triangle équilatéral

La hauteur d’un triangle équilatéral de cote a mesure (a x racine(3)) / 2. On l’obtient en appliquant Pythagore dans la moitie du triangle.

✏️ Exercice

Un terrain rectangulaire mesure 12 m de long et 5 m de large. Calcule la longueur de la diagonale du terrain. Donne le résultat exact puis une valeur approchee au centieme.

✅ Voir la correction

La diagonale d’un rectangle se calcule avec le théorème de Pythagore.

d = racine(12^2 + 5^2) = racine(144 + 25) = racine(169) = 13 m.

Le résultat est exact : la diagonale mesure exactement 13 m. C’est le triplet pythagoricien (5 ; 12 ; 13).

Didactique des racines carrées

Au CRPE, les questions de didactique portent sur la facon dont les eleves decouvrent et comprennent la notion de racine carrée. Voici les points cles a maitriser.

Nous vous conseillons également notre cours sur les nombres premiers.

A quel niveau enseigne-t-on les racines carrées ?

La racine carrée est introduite en classe de 3e (cycle 4). Les eleves decouvrent la notion a travers le théorème de Pythagore, lorsqu’ils doivent calculer une longueur qui n’est pas un nombre entier. Avant la 3e, les eleves manipulent les carrés parfaits sans formaliser la notion de racine carrée.

Les difficultes des eleves

Confusion entre racine et division par 2 : certains eleves pensent que racine(16) = 8 (ils divisent par 2 au lieu de chercher le nombre dont le carré vaut 16).
Linearite abusive : les eleves ecrivent racine(a + b) = racine(a) + racine(b), par analogie avec la multiplication. C’est faux et c’est l’erreur la plus frequente.
Signe de la racine : les eleves confondent « les deux solutions de x^2 = a » avec « la valeur de racine(a) ». La racine carrée est unique et positive.
Nombre irrationnel : beaucoup d’eleves ont du mal a accepter qu’un nombre comme racine(2) n’a pas d’écriture décimale finie. Ils cherchent a « finir » le calcul.

Remediations possibles

Utiliser les carrés de nombres pour introduire la racine comme opération inverse : « quel nombre multiplie par lui-meme donne 25 ? »
Travailler avec la géométrie : construire un carré d’aire 2 cm^2 pour montrer que son cote mesure racine(2) cm.
Vérifier les calculs a la calculatrice : montrer que racine(9 + 16) = 5 mais racine(9) + racine(16) = 7.
Encadrer les racines carrées entre deux entiers consecutifs : racine(10) est entre 3 et 4 car 3^2 = 9 < 10 < 16 = 4^2.

💡 Astuce

Pour preparer une question de didactique au CRPE, prevois toujours un contre-exemple numerique. Par exemple, pour montrer que racine(a + b) est different de racine(a) + racine(b), choisis a = 9 et b = 16 : le contre-exemple est immediat et imparable.

Exercices de synthese

✏️ Exercice

Developpe et simplifie les expressions suivantes :

a) (3 + racine(2))^2

b) (racine(6) – racine(3))(racine(6) + racine(3))

c) (2 x racine(5) + 1)(racine(5) – 3)

✅ Voir la correction

a) (3 + racine(2))^2 = 9 + 2 x 3 x racine(2) + 2 = 11 + 6 x racine(2).

b) (racine(6) – racine(3))(racine(6) + racine(3)) = 6 – 3 = 3. C’est l’identite remarquable (a-b)(a+b) = a^2 – b^2.

c) (2 x racine(5) + 1)(racine(5) – 3) = 2 x racine(5) x racine(5) – 2 x racine(5) x 3 + 1 x racine(5) – 1 x 3 = 2 x 5 – 6 x racine(5) + racine(5) – 3 = 10 – 6 x racine(5) + racine(5) – 3 = 7 – 5 x racine(5).

✏️ Exercice

Montre que (racine(8) + racine(2))^2 = 18. Deduis-en la valeur de racine(8) + racine(2).

✅ Voir la correction

racine(8) = 2 x racine(2). Donc racine(8) + racine(2) = 2 x racine(2) + racine(2) = 3 x racine(2).

(3 x racine(2))^2 = 9 x 2 = 18. Donc (racine(8) + racine(2))^2 = 18.

Puisque racine(8) + racine(2) est positif (c’est une somme de nombres positifs), on a racine(8) + racine(2) = racine(18) = 3 x racine(2).

📐 A retenir

Les racines carrées obeissent a trois regles d’or : racine(a x b) = racine(a) x racine(b) (multiplication), racine(a/b) = racine(a) / racine(b) (division), et on ne peut additionner que des racines de meme radicande. racine(a + b) n’est jamais egal a racine(a) + racine(b). Pour rationaliser, on utilise la quantite conjuguee.

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Cardia Anthony

Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.

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Les carrés parfaits a connaitre