Les solides de l espace sont au programme du CRPE et demandent une bonne maitrise du vocabulaire, des propriétés et des représentations. Ce cours complet couvre les polyedres (cube, pave, prismes, pyramides), les solides de revolution (cylindre, cone, sphere), la construction de patrons, la formule d Euler, les sections planes et la perspective cavaliere. Tu trouveras des exercices corriges et des conseils de didactique pour le cycle 3 tout au long de la page.
Classification des solides
Polyedres et solides a surface courbe
Les solides se repartissent en deux grandes familles : les polyedres (dont toutes les faces sont des polygones plans) et les solides a surface courbe (qui possedent au moins une face non plane).
Les polyedres comprennent les cubes, les paves droits, les prismes droits, les pyramides et les polyedres réguliers (solides de Platon). Les solides a surface courbe comprennent les cylindres, les cones et les spheres. Cette classification est la première connaissance a maitriser pour le CRPE.
Un polyedre est caracterise par trois elements : ses faces (les polygones qui le composent), ses aretes (les segments communs a deux faces) et ses sommets (les points communs a au moins trois faces).
À retenir
Un polyedre n a que des faces planes (polygones). Un solide a surface courbe possede au moins une face non plane. Le cylindre a deux faces planes et une face courbe. Le cone a une face plane et une face courbe. La sphere n a aucune face plane.
Vocabulaire des solides
Chaque solide possede un vocabulaire specifique que tu dois maitriser :
- Face : surface plane ou courbe qui delimite le solide.
- Arete : segment d intersection de deux faces.
- Sommet : point de concours d au moins trois aretes (pour les polyedres).
- Base : face sur laquelle repose le solide (ou les deux faces parallèles d un prisme/cylindre).
- Hauteur : distance perpendiculaire entre la base et le sommet oppose (pyramide/cone) ou entre les deux bases (prisme/cylindre).
- Apex : sommet d une pyramide ou d un cone, oppose a la base.
- Arete laterale : arete qui relie un sommet de la base au sommet oppose (pyramide) ou qui relie les deux bases (prisme).
Les polyedres en detail
Le cube
Le cube possede 6 faces carrées identiques, 12 aretes de meme longueur et 8 sommets. Chaque sommet est le point de rencontre de 3 aretes perpendiculaires entre elles. Le cube est a la fois un pave droit particulier (toutes les dimensions egales) et un polyedre régulier (toutes les faces sont des polygones réguliers identiques).
Les diagonales d un cube de cote a ont des longueurs specifiques : la diagonale d une face mesure a x racine(2), et la diagonale de l espace (qui traverse le cube d un sommet au sommet oppose) mesure a x racine(3).
Le pave droit (parallelepipede rectangle)
Le pave droit possede 6 faces rectangulaires (les faces opposees sont identiques), 12 aretes (groupees en trois longueurs differentes) et 8 sommets. Il est entierement determine par ses trois dimensions L, l et h.
La diagonale de l espace du pave droit mesure racine(L² + l² + h²). Cette formule s obtient par deux applications successives du théorème de Pythagore.
Le prisme droit
Le prisme droit est un solide dont les deux bases sont des polygones identiques et parallèles, et dont les faces laterales sont des rectangles perpendiculaires aux bases. Le nombre de faces, d aretes et de sommets depend du polygone de base :
- Prisme triangulaire : 5 faces, 9 aretes, 6 sommets.
- Prisme quadrangulaire (pave) : 6 faces, 12 aretes, 8 sommets.
- Prisme pentagonal : 7 faces, 15 aretes, 10 sommets.
- Prisme hexagonal : 8 faces, 18 aretes, 12 sommets.
Regle générale : si la base est un polygone a n cotes, le prisme possede (n + 2) faces, 3n aretes et 2n sommets.
La pyramide
La pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont les faces laterales sont des triangles qui convergent vers un sommet unique (l apex). La pyramide régulière a une base qui est un polygone régulier et un apex situe a la verticale du centre de la base.
- Pyramide a base triangulaire (tetraedre) : 4 faces, 6 aretes, 4 sommets.
- Pyramide a base carrée : 5 faces, 8 aretes, 5 sommets.
- Pyramide a base pentagonale : 6 faces, 10 aretes, 6 sommets.
- Pyramide a base hexagonale : 7 faces, 12 aretes, 7 sommets.
Regle générale : si la base est un polygone a n cotes, la pyramide possede (n + 1) faces, 2n aretes et (n + 1) sommets.
Astuce
Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur la symétrie et les transformations.
Pour compter rapidement faces, aretes et sommets, utilise les formules generales. Prisme a base a n cotes : F = n + 2, A = 3n, S = 2n. Pyramide a base a n cotes : F = n + 1, A = 2n, S = n + 1. Ces formules te feront gagner du temps au CRPE.
️ Exercice
Determine le nombre de faces, d aretes et de sommets pour chacun des solides suivants :
- Un prisme a base octogonale
- Une pyramide a base heptagonale (7 cotes)
- Un tetraedre régulier
Voir la correction
Prisme a base octogonale (n = 8) : F = 8 + 2 = 10 faces, A = 3 x 8 = 24 aretes, S = 2 x 8 = 16 sommets.
Pyramide a base heptagonale (n = 7) : F = 7 + 1 = 8 faces, A = 2 x 7 = 14 aretes, S = 7 + 1 = 8 sommets.
Tetraedre régulier (pyramide a base triangulaire, n = 3) : F = 3 + 1 = 4 faces, A = 2 x 3 = 6 aretes, S = 3 + 1 = 4 sommets.
La formule d Euler
Enonce et vérification
La formule d Euler etablit une relation entre le nombre de faces (F), d aretes (A) et de sommets (S) d un polyedre convexe : S – A + F = 2. Cette formule remarquable fonctionne pour tous les polyedres convexes, quelle que soit leur forme.
Vérification sur le cube : S = 8, A = 12, F = 6. On calcule 8 – 12 + 6 = 2. La formule est verifiee.
Vérification sur la pyramide a base carrée : S = 5, A = 8, F = 5. On calcule 5 – 8 + 5 = 2. La formule est verifiee.
Vérification sur le prisme triangulaire : S = 6, A = 9, F = 5. On calcule 6 – 9 + 5 = 2. La formule est verifiee.
À retenir
Formule d Euler pour tout polyedre convexe : S – A + F = 2, ou S est le nombre de sommets, A le nombre d aretes et F le nombre de faces. Cette formule permet de retrouver un element manquant si tu connais les deux autres.
Application de la formule d Euler
La formule d Euler est tres utile pour vérifier qu on a correctement denombre les elements d un polyedre, ou pour trouver un element manquant.
Exemple : un polyedre a 20 faces et 12 sommets. Combien a-t-il d aretes ? On utilise S – A + F = 2 : 12 – A + 20 = 2, soit 32 – A = 2, donc A = 30 aretes.
️ Exercice
Un polyedre convexe possede 8 faces triangulaires et 6 faces carrées (c est un cuboctaedre).
- 1. Calcule le nombre total de faces.
- 2. Calcule le nombre total d aretes (chaque arete est partagee par exactement deux faces).
- 3. Utilise la formule d Euler pour trouver le nombre de sommets.
Voir la correction
1. F = 8 + 6 = 14 faces.
2. Les 8 triangles totalisent 8 x 3 = 24 cotes. Les 6 carrés totalisent 6 x 4 = 24 cotes. Nombre total de cotes = 24 + 24 = 48. Comme chaque arete est partagee par deux faces, A = 48 / 2 = 24 aretes.
3. S – A + F = 2, donc S – 24 + 14 = 2, soit S = 2 + 24 – 14 = 12 sommets.
Retrouvez les détails dans notre fiche sur les propriétés des triangles.
Les solides de Platon
Les solides de Platon sont les cinq polyedres réguliers convexes. Un polyedre régulier est un polyedre dont toutes les faces sont des polygones réguliers identiques et dont le meme nombre de faces se rencontrent a chaque sommet. Il en existe exactement cinq :
- Tetraedre régulier : 4 faces triangulaires equilaterales, 6 aretes, 4 sommets.
- Cube (hexaedre régulier) : 6 faces carrées, 12 aretes, 8 sommets.
- Octaedre régulier : 8 faces triangulaires equilaterales, 12 aretes, 6 sommets.
- Dodecaedre régulier : 12 faces pentagonales regulieres, 30 aretes, 20 sommets.
- Icosaedre régulier : 20 faces triangulaires equilaterales, 30 aretes, 12 sommets.
Tu peux vérifier la formule d Euler sur chacun de ces solides. Par exemple, pour l icosaedre : 12 – 30 + 20 = 2. Pour le dodecaedre : 20 – 30 + 12 = 2.
️ Erreur fréquente
Ne confonds pas « polyedre régulier » et « prisme régulier ». Un prisme a base hexagonale régulière n est pas un polyedre régulier car ses faces ne sont pas toutes identiques (il a des rectangles et des hexagones). Les seuls polyedres réguliers sont les cinq solides de Platon.
Les solides de revolution
Le cylindre de revolution
Le cylindre de revolution est engendre par la rotation d un rectangle autour d un de ses cotes. Il possede deux bases circulaires parallèles de rayon r et une surface laterale rectangulaire de hauteur h. Quand on « deroule » la surface laterale, on obtient un rectangle de longueur 2 pi r (le périmètre du cercle de base) et de hauteur h.
Aire laterale du cylindre : 2 pi r h. Aire totale du cylindre : 2 pi r h + 2 pi r² = 2 pi r (h + r).
Le cone de revolution
Le cone de revolution est engendre par la rotation d un triangle rectangle autour d un de ses cotes de l angle droit. Il possede une base circulaire de rayon r, une hauteur h (distance de l apex a la base) et une generatrice g (distance de l apex a un point du cercle de base). La relation entre ces trois grandeurs est g² = r² + h² (théorème de Pythagore).
Aire laterale du cone : pi r g. Aire totale du cone : pi r g + pi r² = pi r (g + r).
La sphere
La sphere est l ensemble des points situes a une distance r (le rayon) d un point central. Elle est engendree par la rotation d un demi-cercle autour de son diametre. La sphere n a ni face plane, ni arete, ni sommet. Son aire est 4 pi r².
À retenir
Les trois solides de revolution au programme sont le cylindre (rotation d un rectangle), le cone (rotation d un triangle rectangle) et la sphere (rotation d un demi-cercle). Chacun est engendre par la rotation d une figure plane autour d un axe.
️ Exercice
Un cone de revolution a un rayon de base de 5 cm et une hauteur de 12 cm.
- 1. Calcule la longueur de la generatrice.
- 2. Calcule l aire laterale du cone.
- 3. Calcule l aire totale du cone.
(On prendra pi ≈ 3,14.)
Voir la correction
1. g² = r² + h² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Donc g = racine(169) = 13 cm. (On reconnait le triplet pythagoricien 5-12-13.)
2. Aire laterale = pi x r x g = 3,14 x 5 x 13 = 204,1 cm².
3. Aire totale = pi x r x (g + r) = 3,14 x 5 x (13 + 5) = 3,14 x 5 x 18 = 282,6 cm².
Les patrons de solides
Principe du patron
Le patron d un solide est une figure plane obtenue en « depliant » toutes les faces du solide sur un meme plan, sans superposition ni trou. En repliant le patron le long des aretes, on reconstitue le solide. Un meme solide peut avoir plusieurs patrons differents.
Ce thème est développé dans notre article sur la géométrie dans le plan et l’espace.
Le patron du cube est le plus classique : il existe 11 patrons differents pour le cube. Le plus connu est la forme en croix (quatre carrés en colonne et un carré de chaque cote du deuxieme).
Patrons des solides courants
Le patron du pave droit est compose de 6 rectangles disposes de maniere a ce que les faces opposees soient identiques. Tu dois vérifier que chaque face est adjacente a au moins une autre et que le repliage produit bien le pave.
Le patron du cylindre est compose de deux disques (les bases) et d un rectangle (la face laterale). La longueur du rectangle doit etre egale au périmètre du disque (2 pi r) et sa largeur egale a la hauteur h du cylindre.
Le patron du cone est compose d un disque (la base) et d un secteur de disque (la face laterale). Le rayon du secteur est egal a la generatrice g du cone, et la longueur de l arc du secteur est egale au périmètre du cercle de base (2 pi r). L angle du secteur est (r/g) x 360 degrés.
Le patron de la pyramide a base carrée est compose d un carré (la base) et de quatre triangles isoceles (les faces laterales).
Astuce
Pour vérifier si un patron est correct, vérifié trois choses : le nombre de faces correspond au solide, les dimensions sont coherentes (les aretes qui doivent se coller ont la meme longueur), et il n y a ni superposition ni trou quand tu replies mentalement.
️ Exercice
On veut construire le patron d un cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 10 cm.
- 1. Quelles sont les dimensions du rectangle de la face laterale ?
- 2. Quel est le diametre des deux disques de base ?
- 3. Calcule l aire totale du patron (prends pi ≈ 3,14).
Voir la correction
1. La longueur du rectangle = périmètre du cercle de base = 2 x 3,14 x 4 = 25,12 cm. La largeur = hauteur du cylindre = 10 cm. Le rectangle mesure 25,12 cm x 10 cm.
2. Le diametre des disques = 2 x 4 = 8 cm.
3. Aire laterale = 25,12 x 10 = 251,2 cm². Aire de chaque disque = 3,14 x 4² = 50,24 cm². Aire totale = 251,2 + 2 x 50,24 = 251,2 + 100,48 = 351,68 cm².
Sections planes de solides
Principe de la section
La section d un solide par un plan est l intersection du solide avec ce plan. C est la figure plane que tu obtiens quand tu « coupes » le solide. La forme de la section depend de l orientation du plan de coupe par rapport au solide.
Sections du cube
Un plan peut couper un cube en produisant des sections tres variees : triangle, carré, rectangle, pentagone ou hexagone. La section la plus inattendue est l hexagone régulier, obtenu quand le plan passe par les milieux de six aretes du cube.
Si le plan est parallèle a une face du cube, la section est un carré. Si le plan passe par une diagonale d une face et l arete parallèle opposee, la section est un rectangle. Si le plan coupe trois aretes concourantes a un sommet, la section est un triangle.
Sections du cylindre et du cone
Les sections d un cylindre par un plan perpendiculaire a l axe sont des cercles. Les sections par un plan parallèle a l axe sont des rectangles. Les sections par un plan oblique sont des ellipses.
Voir aussi : l’échelle en géométrie pour compléter vos connaissances.
Les sections d un cone par un plan perpendiculaire a l axe sont des cercles (plus petits a mesure qu on monte vers l apex). Les sections par un plan parallèle a une generatrice sont des paraboles. Les sections par un plan oblique coupant les deux cotes du cone sont des ellipses. Les sections par un plan parallèle a l axe sont des hyperboles. Ces quatre courbes (cercle, ellipse, parabole, hyperbole) sont les coniques.
À retenir
La section d un solide depend de l orientation du plan de coupe. Un cube peut produire des triangles, des carrés, des rectangles, des pentagones ou des hexagones. Un cylindre coupe perpendiculairement a son axe donne un cercle. Un cone coupe perpendiculairement a son axe donne aussi un cercle.
️ Exercice
Une pyramide régulière a base carrée ABCDS (S est l apex) a un cote de base de 10 cm et une hauteur de 15 cm. On la coupe par un plan parallèle a la base, a une distance de 5 cm de la base.
- 1. Quelle est la forme de la section ?
- 2. A quelle distance de l apex se situe le plan de coupe ?
- 3. Calcule les dimensions de la section en utilisant le théorème de Thales.
Voir la correction
1. Une section parallèle a la base d une pyramide est un polygone de meme nature que la base. Ici, c est un carré.
2. La hauteur totale est 15 cm et le plan est a 5 cm de la base, donc a 15 – 5 = 10 cm de l apex.
3. Par le théorème de Thales, le rapport de reduction est 10/15 = 2/3 (distance de l apex au plan de coupe / hauteur totale). Le cote de la section est 10 x 2/3 = 20/3 ≈ 6,67 cm.
Perspective cavaliere
Regles de représentation
La perspective cavaliere est la méthode standard pour representer les solides en 2D sur une feuille. Ses regles sont les suivantes :
- Les aretes parallèles dans l espace restent parallèles sur le dessin.
- Les aretes situees dans le plan frontal (face avant) sont representees en vraie grandeur.
- Les aretes de profondeur (fuyantes) sont representees avec un coefficient de reduction (generalement 0,5 ou 0,7) et un angle d inclinaison (generalement 30 ou 45 degrés).
- Les aretes visibles sont en trait plein, les aretes cachees en pointilles.
Pour dessiner un pave droit en perspective cavaliere, tu traces d abord la face avant (rectangle en vraie grandeur), puis tu traces les fuyantes a 45 degrés avec le coefficient de reduction choisi, et tu completes les aretes arriere. Les aretes cachees sont en pointilles.
Limites de la perspective cavaliere
La perspective cavaliere ne conserve pas les angles ni les proportions reelles des faces fuyantes. Un cercle situe dans un plan fuyant apparait comme une ellipse. Un carré situe dans un plan fuyant apparait comme un parallelogramme. Ces deformations sont normales et inherentes a la méthode.
️ Erreur fréquente
En perspective cavaliere, les fuyantes doivent etre parallèles entre elles et avoir le meme coefficient de reduction. Une erreur classique est de faire converger les fuyantes vers un point de fuite : c est la perspective conique, pas la perspective cavaliere. Au CRPE, c est la perspective cavaliere qui est attendue.
Didactique de la géométrie des solides au cycle 3
Progression de l enseignement
Au cycle 2, les eleves manipulent des objets en 3D pour apprendre a reconnaitre et nommer les solides courants : cube, pave, cylindre, sphere, cone, pyramide. La manipulation est essentielle : les eleves touchent, empilent, roulent et classent les solides selon leurs propriétés (roule / ne roule pas, a des faces planes / courbes).
Nous vous conseillons également notre cours sur les aires et périmètres.
Au cycle 3, l enseignement s approfondit. Les eleves apprennent a decrire les solides par leur nombre de faces, d aretes et de sommets. Ils construisent des patrons et verifient en les repliant. La perspective cavaliere est introduite en CM2, avec les premières représentations de cubes et de paves droits.
En 6eme, les sections de solides apparaissent au programme, ainsi que les formules de volume (prisme, cylindre). Les eleves doivent aussi savoir identifier un solide a partir de sa représentation en perspective.
Erreurs typiques des eleves
Les difficultes les plus frequentes sont la confusion entre aretes et faces (les eleves disent « cote » pour les deux), la difficulte a replier mentalement un patron (passage 2D → 3D), et la confusion entre la perspective cavaliere et les dessins en perspective conique vus dans la vie quotidienne (photos, films).
️ Exercice
Un eleve de CM2 affirme qu un cylindre a trois faces. Un autre eleve dit qu il en a deux. Qui a raison ? Redige une explication pour la classe en distinguant faces planes et face courbe.
Voir la correction
Le premier eleve a raison. Le cylindre possede trois faces : deux faces planes circulaires (les bases, en haut et en bas) et une face courbe (la surface laterale, comme un tube). Le deuxieme eleve n a compte que les deux faces planes et a oublie la face courbe.
Explication pour la classe : « Quand tu deroules la surface laterale d un rouleau de papier toilette, tu obtiens un rectangle. Ce rectangle, une fois enroule, forme la face courbe du cylindre. Avec les deux ronds du haut et du bas, cela fait bien 3 faces en tout : 2 faces planes et 1 face courbe. »
Exercices de synthese
️ Exercice
Un solide possede 10 faces dont 2 bases pentagonales et 5 faces laterales rectangulaires.
- 1. De quel solide s agit-il ?
- 2. Calcule le nombre d aretes et de sommets en utilisant les formules generales.
- 3. Vérifié avec la formule d Euler.
- 4. Ce solide peut-il etre un polyedre régulier ? Justifie.
Voir la correction
1. Attention : l enonce dit 10 faces mais en les denombrant on trouve 2 + 5 = 7 faces. Le nombre correct de faces laterales d un prisme pentagonal est 5, et avec les 2 bases on obtient 7 faces au total, pas 10. Il s agit d un prisme droit a base pentagonale.
2. Base a n = 5 cotes. Aretes : A = 3n = 3 x 5 = 15 aretes. Sommets : S = 2n = 2 x 5 = 10 sommets.
3. Euler : S – A + F = 10 – 15 + 7 = 2. La formule est verifiee.
4. Non, ce solide n est pas un polyedre régulier. Ses faces ne sont pas toutes identiques (il a des pentagones et des rectangles). Les polyedres réguliers n ont qu un seul type de face.
️ Exercice
On decoupe un cone de revolution par un plan parallèle a la base, a mi-hauteur.
- 1. Quelle est la forme de la section ?
- 2. Si le rayon de base du cone est 8 cm, quel est le rayon de la section ?
- 3. Le petit cone coupe represente quelle fraction du volume du grand cone ?
Voir la correction
1. La section d un cone par un plan parallèle a la base est un cercle.
2. Par le théorème de Thales, le rapport de reduction a mi-hauteur est 1/2. Le rayon de la section est 8 x 1/2 = 4 cm.
3. Le petit cone est semblable au grand cone avec un rapport de reduction k = 1/2. Le rapport des volumes est k³ = (1/2)³ = 1/8. Le petit cone represente 1/8 du volume du grand cone.
La géométrie des solides mobilise a la fois le vocabulaire, les propriétés structurelles (formule d Euler, denombrement), les competences de représentation (patrons, perspective cavaliere) et le raisonnement spatial (sections planes). En maitrisant la classification des solides, les formules generales pour les faces, aretes et sommets, et les techniques de construction de patrons, tu seras capable de traiter tous les exercices du CRPE sur ce theme. Les aspects didactiques sont tout aussi importants : savoir expliquer la difference entre face plane et face courbe, ou guider un eleve dans la construction d un patron, fait partie des competences attendues au concours.
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Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
