Nombres et calculs : calculs avec les puissances – Cours de Maths CRPE

Les puissances sont partout en mathématiques : notation scientifique, ordres de grandeur, conversions d’unités, formules de physique… Au CRPE, tu dois non seulement maîtriser les calculs avec les puissances, mais aussi comprendre comment les enseigner en cycle 3. Ce cours complet reprend toutes les règles de calcul, les puissances de 10, la notation scientifique et les aspects didactiques pour que tu sois parfaitement armé le jour de l’épreuve.

Définition d’une puissance

Puissance d’un nombre à exposant entier positif

Élever un nombre à une puissance, c’est le multiplier par lui-même un certain nombre de fois. La notation est compacte et précise :

Quelques cas particuliers qu’il faut connaître par coeur :

• a¹ = a : tout nombre élevé à la puissance 1 vaut lui-même.
• a⁰ = 1 : tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1. Par convention, 0⁰ n’est pas défini au niveau du CRPE.
• 1ⁿ = 1 : 1 élevé à n’importe quelle puissance vaut toujours 1.
• 0ⁿ = 0 pour tout n ≥ 1 : 0 élevé à n’importe quelle puissance strictement positive vaut 0.

Puissance d’un nombre à exposant négatif

Quand l’exposant est négatif, la puissance exprime l’inverse :

L’exposant négatif « retourne » la fraction. C’est une notion qui déroute souvent, mais elle est parfaitement logique : si a³ signifie « multiplier trois fois par a », alors a⁻³ signifie « diviser trois fois par a ».

Les règles de calcul avec les puissances

Produit de puissances de même base

Quand tu multiplies deux puissances qui ont la même base, tu additionnes les exposants.

La justification est simple : 5³ × 5⁴ = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5) = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁷. On a bien 3 + 4 = 7 facteurs.

Quotient de puissances de même base

Quand tu divises deux puissances de même base, tu soustrais les exposants.

Puissance d’une puissance

Quand tu élèves une puissance à une autre puissance, tu multiplies les exposants.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les racines carrées et calculs.

Justification : (2³)⁴ = 2³ × 2³ × 2³ × 2³ = 2^3+3+3+3 = 2¹².

Puissance d’un produit et d’un quotient

L’exposant « se distribue » sur chaque facteur d’un produit ou d’un quotient :

Puissance d’un nombre négatif

Quand la base est négative, le signe du résultat dépend de la parité de l’exposant :

• Si l’exposant est pair, le résultat est positif. Exemple : (−3)⁴ = 81.
• Si l’exposant est impair, le résultat est négatif. Exemple : (−3)³ = −27.

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a) 3⁵ × 3⁻² = 3⁵⁺⁽⁻²⁾ = 3³ = 27

b) (2⁴)³ / 2¹⁰ = 2^4×3 / 2¹⁰ = 2¹² / 2¹⁰ = 2¹²⁻¹⁰ = 2² = 4

c) (5 × 10³)² = 5² × (10³)² = 25 × 10⁶ = 25 000 000

d) (−2)⁶ / (−2)⁴ = (−2)⁶⁻⁴ = (−2)² = 4

Retrouvez les détails dans notre fiche sur le calcul mental au CRPE.

Les puissances de 10

Valeurs courantes

Les puissances de 10 servent à exprimer les très grands et les très petits nombres. Tu dois connaître ces valeurs et savoir naviguer entre elles avec fluidité :

• 10⁰ = 1
• 10¹ = 10
• 10² = 100
• 10³ = 1 000 (mille)
• 10⁶ = 1 000 000 (un million)
• 10⁹ = 1 000 000 000 (un milliard)
• 10⁻¹ = 0,1
• 10⁻² = 0,01
• 10⁻³ = 0,001

Multiplier et diviser par une puissance de 10

Multiplier par 10ⁿ revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite. Diviser par 10ⁿ revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche.

Exemples :

• 3,45 × 10³ = 3 450 (virgule décalée de 3 rangs vers la droite)
• 726 × 10⁻² = 7,26 (virgule décalée de 2 rangs vers la gauche)
• 0,08 × 10⁴ = 800

La notation scientifique

Définition

La notation scientifique est la manière normalisée d’écrire un nombre sous forme de puissance de 10. Elle est indispensable pour exprimer les très grands nombres (distance Terre-Soleil, nombre d’Avogadro) ou les très petits (taille d’un atome, charge d’un électron).

Convertir un nombre en notation scientifique

La méthode est toujours la même : place la virgule juste après le premier chiffre significatif (non nul) et compte le nombre de rangs de déplacement pour déterminer l’exposant.

Pour un grand nombre : 45 200 000 → 4,52 × 10⁷ (la virgule recule de 7 rangs vers la gauche, l’exposant est positif).

Pour un petit nombre : 0,000 038 → 3,8 × 10⁻⁵ (la virgule avance de 5 rangs vers la droite, l’exposant est négatif).

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a) 372 000 = 3,72 × 10⁵ (la virgule recule de 5 rangs)

b) 0,000 045 6 = 4,56 × 10⁻⁵ (la virgule avance de 5 rangs)

c) 89 130 000 000 = 8,913 × 10¹⁰ (la virgule recule de 10 rangs)

d) 0,007 1 = 7,1 × 10⁻³ (la virgule avance de 3 rangs)

Opérations en notation scientifique

Pour multiplier deux nombres en notation scientifique, tu multiplies les parties décimales entre elles et tu additionnes les exposants de 10 :

(3 × 10⁴) × (2 × 10⁵) = (3 × 2) × 10⁴⁺⁵ = 6 × 10⁹

Attention : si le résultat n’est pas en notation scientifique (partie décimale ≥ 10 ou < 1), il faut réajuster.

(4 × 10³) × (5 × 10⁶) = 20 × 10⁹ = 2 × 10¹⁰ (car 20 = 2 × 10¹).

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a) (3,5 × 10⁴) × (2 × 10⁻⁷) = (3,5 × 2) × 10⁴⁺⁽⁻⁷⁾ = 7 × 10⁻³ = 7 × 10⁻³

b) (8,4 × 10⁶) / (2,1 × 10³) = (8,4 / 2,1) × 10⁶⁻³ = 4 × 10³ = 4 × 10³

c) (6 × 10⁵) × (5 × 10⁸) = 30 × 10¹³ = 3 × 10¹ × 10¹³ = 3 × 10¹⁴

Les ordres de grandeur

Un ordre de grandeur est une puissance de 10 qui donne une idée approximative de la taille d’un nombre. Pour le trouver, tu écris le nombre en notation scientifique, puis tu arrondis la partie décimale :

• Si la partie décimale est < 5, l’ordre de grandeur est 10ⁿ.
• Si la partie décimale est ≥ 5, l’ordre de grandeur est 10ⁿ⁺¹.

Exemples : l’ordre de grandeur de 3 200 (= 3,2 × 10³) est 10³. L’ordre de grandeur de 7 800 000 (= 7,8 × 10⁶) est 10⁷ (car 7,8 ≥ 5).

Aspects didactiques : enseigner les puissances en cycle 3

Ce que disent les programmes

En cycle 3 (CM1-CM2-6ème), les puissances ne sont pas enseignées en tant que telles, mais les bases sont posées à travers :

• La connaissance des puissances de 10 (dizaines, centaines, milliers…).
• La multiplication par 10, 100, 1 000 et les conversions d’unités.
• La compréhension de la numération décimale positionnelle.

La notation aⁿ est officiellement introduite au cycle 4 (5ème-4ème-3ème), mais le travail préparatoire en cycle 3 est fondamental.

Les difficultés des élèves

En tant que futur enseignant, tu dois anticiper les obstacles que rencontrent les élèves :

• Confusion entre puissance et multiplication : beaucoup d’élèves pensent que 2³ = 6 (au lieu de 8). Il faut insister sur le fait que l’exposant n’est pas un facteur mais un nombre de répétitions.
• Difficulté avec les grands nombres : les élèves peinent à se représenter les ordres de grandeur. Utilise des comparaisons concrètes (distance Terre-Lune, nombre de grains de sable sur une plage).
• La virgule qui « bouge » : la multiplication par 10 est souvent perçue comme « ajouter un zéro à droite », ce qui ne fonctionne pas avec les décimaux (3,5 × 10 ≠ 3,50). Il faut parler de déplacement de la virgule ou, mieux, de changement de position du chiffre dans le tableau de numération.

Activités concrètes pour le cycle 3

Voici des pistes que tu peux mentionner à l’épreuve de didactique :

• Le grain de riz sur l’échiquier : on place 1 grain sur la première case, 2 sur la deuxième, 4 sur la troisième… Les élèves découvrent la croissance exponentielle (2ⁿ) et la puissance de 10 s’impose naturellement pour exprimer les grands nombres.
• Les conversions d’unités : passer des km aux m, c’est multiplier par 1 000 = 10³. Le lien entre conversion et puissance de 10 se fait progressivement.
• Le zoom cosmique : partir de la salle de classe (10¹ m) et s’éloigner par paliers de 10 jusqu’à l’univers observable (10²⁶ m), puis plonger vers l’infiniment petit (10⁻¹⁵ m). Les élèves manipulent les ordres de grandeur de façon concrète.

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Analyse de l’erreur : L’élève applique la règle « multiplier par 100 = ajouter deux zéros à droite ». Cette règle fonctionne pour les entiers (35 × 100 = 3 500) mais pas pour les décimaux. Ajouter des zéros après la partie décimale ne change pas la valeur du nombre : 3,500 = 3,5.

Origine de l’erreur : L’élève n’a pas compris que multiplier par 100 modifie la position de chaque chiffre dans le système de numération. Il confond « ajouter des zéros » et « déplacer la virgule ».

Remédiation proposée :

1. Utiliser le tableau de numération : placer 3,5 dans le tableau (3 dans la colonne des unités, 5 dans celle des dixièmes). Multiplier par 100 = 10², chaque chiffre glisse de 2 colonnes vers la gauche. Le 3 passe dans les centaines, le 5 dans les dizaines. On lit 350.

2. Vérifier par la multiplication posée : 3,5 × 100 = 350,0 = 350.

3. Utiliser le sens : 3,5 × 100 signifie « 100 fois 3,5 ». Puisque 3,5 est proche de 4, le résultat doit être proche de 400, pas de 3,5. Cela montre que 3,500 est incohérent.

La bonne réponse est 3,5 × 100 = 350.

Exercice de synthèse

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a) Temps = distance / vitesse = (1,5 × 10⁸) / (3 × 10⁵)

= (1,5/3) × 10⁸⁻⁵ = 0,5 × 10³ = 5 × 10² secondes

En minutes : 500 / 60 ≈ 8,33 minutes. La lumière met environ 8 minutes et 20 secondes pour aller du Soleil à la Terre.

b) Rapport = (1,5 × 10⁸) / (5,5 × 10⁷) = (1,5/5,5) × 10⁸⁻⁷ ≈ 0,27 × 10¹ = 2,7

L’ordre de grandeur de ce rapport est 10⁰ = 1 (car 2,7 < 5). La Terre est environ 3 fois plus loin du Soleil que de Mars au plus proche.

Tu as maintenant toutes les armes pour affronter les questions de puissances au CRPE. Retiens surtout les cinq règles de calcul (produit, quotient, puissance de puissance, puissance d’un produit, puissance d’un quotient), la notation scientifique et les pièges classiques liés aux parenthèses et aux signes. Pour la partie didactique, garde en tête le tableau de numération comme outil central de remédiation.