Nombres et calculs : calculs avec les fractions - Cours de Maths CRPE

Tu maîtrises les bases du calcul fractionnaire et tu veux monter en puissance pour le CRPE ? Ce deuxième volet est exactement ce qu’il te faut. On aborde ici les fractions complexes (fractions de fractions), les calculs enchaînés avec plusieurs opérations, les problèmes concrets tirés d’annales réelles et les pièges que les correcteurs adorent placer dans les sujets. Chaque exercice est accompagné d’une correction détaillée, étape par étape, pour que tu comprennes précisément la démarche attendue le jour de l’épreuve.

Sommaire :

Les fractions de fractions

Une fraction de fraction est une expression où le numérateur, le dénominateur, ou les deux, sont eux-mêmes des fractions. On parle aussi de fractions complexes ou de fractions composées. Ce type de calcul revient très régulièrement dans les sujets de CRPE.

Le principe fondamental

Une fraction de fraction se ramène toujours à une division de fractions. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

📐 À retenir

Pour calculer une fraction de fraction du type (a/b) ÷ (c/d), on multiplie par l’inverse du dénominateur : (a/b) × (d/c) = (a × d) / (b × c). Autrement dit, on « retourne » la fraction du bas et on multiplie.

Prenons un exemple concret. Calcule :

(3/4) ÷ (5/7)

On retourne la fraction 5/7 et on multiplie : (3/4) × (7/5) = (3 × 7) / (4 × 5) = 21/20.

Le résultat 21/20 est une fraction supérieure à 1. On peut l’écrire sous forme de nombre mixte : 1 + 1/20.

Fractions complexes à plusieurs étages

Parfois, le numérateur et le dénominateur contiennent eux-mêmes des additions ou soustractions de fractions. Dans ce cas, tu dois d’abord simplifier le numérateur et le dénominateur séparément avant de diviser.

Exemple : Calcule (1/2 + 1/3) ÷ (1/4 – 1/6).

Numérateur : 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
Dénominateur : 1/4 – 1/6 = 3/12 – 2/12 = 1/12
Division : (5/6) ÷ (1/12) = (5/6) × (12/1) = (5 × 12) / (6 × 1) = 60/6 = 10

💡 Astuce

Avant de multiplier les grands nombres, cherche toujours à simplifier en croix. Dans l’exemple ci-dessus, 12 et 6 sont simplifiables par 6 : (5/6) × (12/1) = (5/1) × (2/1) = 10. Tu gagnes du temps et tu limites les erreurs de calcul.

Calculs enchaînés avec fractions

Au CRPE, les calculs mélangent souvent additions, soustractions, multiplications et divisions de fractions dans une même expression. Tu dois respecter scrupuleusement les priorités opératoires.

Rappel des priorités

Les parenthèses d’abord (du plus intérieur au plus extérieur)
Les multiplications et divisions ensuite (de gauche à droite)
Les additions et soustractions en dernier (de gauche à droite)

Exemple détaillé

Calcule : 2/3 + 1/4 × 8/5 – 1/2

Multiplication d’abord : 1/4 × 8/5 = 8/20 = 2/5
Remplacement : 2/3 + 2/5 – 1/2
Dénominateur commun : le PPCM de 3, 5 et 2 est 30
Conversion : 20/30 + 12/30 – 15/30
Calcul : (20 + 12 – 15) / 30 = 17/30

⚠️ Erreur fréquente

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les racines carrées et calculs.

Ne calcule jamais de gauche à droite sans tenir compte des priorités. Si tu fais 2/3 + 1/4 = 11/12 d’abord, puis × 8/5, tu obtiens un résultat complètement faux. La multiplication est toujours prioritaire sur l’addition.

Fractions et problèmes de proportions

Les problèmes de proportions avec des fractions sont un grand classique du CRPE. On te demande de calculer une fraction d’une quantité, puis une fraction de ce résultat, et ainsi de suite.

La fraction d’une quantité

Prendre les 3/5 de 240, c’est calculer : (3/5) × 240 = (3 × 240) / 5 = 720/5 = 144.

📐 À retenir

Prendre a/b d’une quantité Q, c’est calculer (a × Q) ÷ b. Tu multiplies par le numérateur puis tu divises par le dénominateur (ou l’inverse, selon ce qui est plus pratique).

Problème type annales

Dans une classe de 30 élèves, les 2/5 sont des filles. Parmi les filles, les 3/4 pratiquent un sport. Combien de filles pratiquent un sport ?

Nombre de filles : 2/5 × 30 = 60/5 = 12 filles
Filles qui font du sport : 3/4 × 12 = 36/4 = 9 filles

On peut aussi faire le calcul en une seule étape : (2/5) × (3/4) × 30 = (2 × 3 × 30) / (5 × 4) = 180/20 = 9.

Comparaison de fractions avancée

Pour le CRPE, tu dois savoir comparer rapidement des fractions, même quand les dénominateurs sont très différents.

Méthode du produit en croix

Pour comparer a/b et c/d (avec b et d positifs), on compare a × d et c × b :

Si a × d > c × b, alors a/b > c/d
Si a × d = c × b, alors a/b = c/d
Si a × d < c × b, alors a/b < c/d

Exemple : compare 7/11 et 5/8.

7 × 8 = 56 et 5 × 11 = 55. Comme 56 > 55, on a 7/11 > 5/8.

Comparaison à une valeur de référence

Parfois, il est plus rapide de comparer chaque fraction à 1/2 ou à 1 :

3/7 est inférieur à 1/2 (car 3 × 2 = 6 < 7)
5/9 est supérieur à 1/2 (car 5 × 2 = 10 > 9)
Donc 3/7 < 5/9 sans même calculer le dénominateur commun

💡 Astuce

Retrouvez les détails dans notre fiche sur le calcul mental au CRPE.

Avant de te lancer dans un calcul de dénominateur commun, regarde si tu peux comparer les fractions à 1/2 ou à 1. Cela permet souvent de conclure instantanément et de gagner un temps précieux au concours.

Fractions irréductibles et simplification

Au CRPE, on te demande systématiquement de donner le résultat sous forme de fraction irréductible. Tu dois savoir simplifier efficacement.

Méthode du PGCD

Pour rendre une fraction irréductible, divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (plus grand commun diviseur).

Exemple : simplifie 84/126.

Décomposition : 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7
PGCD(84, 126) = 2 × 3 × 7 = 42
84/126 = (84 ÷ 42) / (126 ÷ 42) = 2/3

Simplification par étapes

Si tu ne vois pas immédiatement le PGCD, simplifie par étapes successives :

84/126 : les deux sont pairs, on divise par 2 → 42/63. Les deux sont divisibles par 3 → 14/21. Les deux sont divisibles par 7 → 2/3. Terminé.

📐 À retenir

Une fraction a/b est irréductible quand PGCD(a, b) = 1, c’est-à-dire quand a et b n’ont aucun diviseur commun autre que 1. Au CRPE, le résultat final doit toujours être sous cette forme.

Écriture fractionnaire et décimale

Certains exercices de CRPE demandent de passer de l’écriture fractionnaire à l’écriture décimale et inversement. Tu dois être parfaitement à l’aise avec ces conversions.

De la fraction au décimal

On effectue la division du numérateur par le dénominateur.

3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75
7/8 = 7 ÷ 8 = 0,875
1/3 = 0,333… (développement décimal infini périodique)

Du décimal à la fraction

Le nombre de chiffres après la virgule donne la puissance de 10 au dénominateur.

0,6 = 6/10 = 3/5
0,45 = 45/100 = 9/20
1,375 = 1375/1000 = 11/8

⚠️ Erreur fréquente

Toutes les fractions ne donnent pas un nombre décimal exact. 1/3, 1/7, 2/9 produisent des développements décimaux infinis. Ne tronque pas arbitrairement : si la question demande une fraction, reste en écriture fractionnaire.

Ce thème est développé dans notre article sur les fractions et leurs règles.

Exercices avancés niveau CRPE

Ces exercices sont du niveau réel du concours. Prends le temps de chercher chaque solution avant de regarder la correction.

✏️ Exercice 1

Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible : (2/3 – 1/6) × (5/4 + 3/8)

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Première parenthèse : 2/3 – 1/6 = 4/6 – 1/6 = 3/6 = 1/2

Deuxième parenthèse : 5/4 + 3/8 = 10/8 + 3/8 = 13/8

Multiplication : 1/2 × 13/8 = 13/16

PGCD(13, 16) = 1, donc 13/16 est déjà irréductible.

✏️ Exercice 2

Calcule : (7/12 + 5/18) ÷ (3/4 – 1/3)

✅ Voir la correction

Numérateur : 7/12 + 5/18. PPCM(12, 18) = 36. Donc 21/36 + 10/36 = 31/36.

Dénominateur : 3/4 – 1/3. PPCM(4, 3) = 12. Donc 9/12 – 4/12 = 5/12.

Division : (31/36) ÷ (5/12) = (31/36) × (12/5) = (31 × 12) / (36 × 5)

Simplifions : 12 et 36 sont simplifiables par 12 : 12/36 = 1/3.

Donc (31 × 1) / (3 × 5) = 31/15

PGCD(31, 15) = 1 (31 est premier), donc 31/15 est irréductible. Sous forme mixte : 2 + 1/15.

✏️ Exercice 3

Un réservoir contient 240 litres d’eau. On en utilise les 3/8 le matin, puis les 2/5 du reste l’après-midi. Combien de litres reste-t-il dans le réservoir le soir ?

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Le matin : on utilise 3/8 × 240 = 720/8 = 90 litres.

Reste après le matin : 240 – 90 = 150 litres.

L’après-midi : on utilise 2/5 × 150 = 300/5 = 60 litres.

Reste le soir : 150 – 60 = 90 litres.

On peut vérifier avec les fractions : il reste (1 – 3/8) × 240 = 5/8 × 240 = 150 litres le matin. Puis il reste (1 – 2/5) × 150 = 3/5 × 150 = 90 litres le soir. La fraction totale restante est 5/8 × 3/5 = 15/40 = 3/8 de 240, soit 90 litres.

✏️ Exercice 4

Simplifie l’expression suivante et donne le résultat sous forme irréductible : 5/6 × 9/25 + 1/10 – 2/15

Voir aussi : les calculs avec les puissances pour compléter vos connaissances.

✅ Voir la correction

Multiplication d’abord : 5/6 × 9/25. Simplifions avant de multiplier : 5 et 25 se simplifient par 5 (→ 1 et 5), 9 et 6 se simplifient par 3 (→ 3 et 2). Donc 1/2 × 3/5 = 3/10.

Remplacement : 3/10 + 1/10 – 2/15

Dénominateur commun : PPCM(10, 10, 15) = 30

Conversion : 9/30 + 3/30 – 4/30 = 8/30 = 4/15

✏️ Exercice 5

Dans une école de 450 élèves, les 2/9 sont en CP, les 5/18 sont en CE1 et le reste se répartit entre les 4 autres niveaux. Combien d’élèves ne sont ni en CP ni en CE1 ?

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Fraction en CP et CE1 : 2/9 + 5/18 = 4/18 + 5/18 = 9/18 = 1/2.

Fraction restante : 1 – 1/2 = 1/2.

Nombre d’élèves : 1/2 × 450 = 225 élèves.

Vérification : CP = 2/9 × 450 = 100 élèves. CE1 = 5/18 × 450 = 125 élèves. Total CP + CE1 = 225 élèves. Reste = 450 – 225 = 225 élèves.

✏️ Exercice 6

Calcule : 1/(1 + 1/(1 + 1/2))

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On part de l’intérieur vers l’extérieur.

Étape 1 : 1 + 1/2 = 3/2

Étape 2 : 1/(3/2) = 2/3

Étape 3 : 1 + 2/3 = 5/3

Étape 4 : 1/(5/3) = 3/5

Ce type de fraction continue revient parfois dans les annales du CRPE. La méthode est toujours la même : partir du « fond » et remonter étape par étape.

✏️ Exercice 7

Un terrain rectangulaire mesure 3/4 km de longueur et 2/5 km de largeur. Calcule son aire en km² puis en hectares (1 km² = 100 hectares).

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Aire : L × l = 3/4 × 2/5 = (3 × 2) / (4 × 5) = 6/20 = 3/10 km²

Conversion : 3/10 km² = 3/10 × 100 = 300/10 = 30 hectares

✏️ Exercice 8

Montre que 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 est un nombre simple. Calcule sa valeur.

✅ Voir la correction

On remarque que chaque fraction est de la forme 1/(n(n+1)) = 1/n – 1/(n+1) :

Nous vous conseillons également notre cours sur les nombres premiers.

1/2 = 1/1 – 1/2, non… Essayons une autre approche.

1/(1×2) = 1/2, 1/(2×3) = 1/6, 1/(3×4) = 1/12, 1/(4×5) = 1/20, 1/(5×6) = 1/30.

Or 1/(n(n+1)) = 1/n – 1/(n+1). Donc :

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 = (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + (1/5 – 1/6)

C’est une somme télescopique : la plupart des termes s’annulent deux à deux.

Il reste : 1 – 1/6 = 5/6

✏️ Exercice 9

Un artisan a peint les 2/7 d’un mur le lundi. Le mardi, il peint les 3/5 de ce qui restait. Quelle fraction du mur total a-t-il peinte en tout ?

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Lundi : 2/7 du mur est peint. Il reste 1 – 2/7 = 5/7 du mur.

Mardi : il peint 3/5 × 5/7 = 15/35 = 3/7 du mur.

Total peint : 2/7 + 3/7 = 5/7

Il reste donc 2/7 du mur à peindre.

✏️ Exercice 10

Calcule et simplifie : (11/14 – 3/7) ÷ (2/3 + 1/6) × 9/5

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Première parenthèse : 11/14 – 3/7 = 11/14 – 6/14 = 5/14

Deuxième parenthèse : 2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6

Division : (5/14) ÷ (5/6) = (5/14) × (6/5) = 30/70 = 3/7

Multiplication par 9/5 : 3/7 × 9/5 = 27/35

PGCD(27, 35) = 1, donc 27/35 est irréductible.

FAQ sur les fractions au CRPE

Faut-il toujours donner le résultat sous forme irréductible ?

Oui, sauf si l’énoncé précise une autre forme (décimale, pourcentage, fraction de dénominateur imposé). Par défaut, au CRPE, un résultat fractionnaire doit toujours être irréductible. Oublier de simplifier te coûte des points à chaque fois.

Comment trouver rapidement le PPCM de deux nombres ?

Décompose les deux nombres en produit de facteurs premiers. Le PPCM est le produit de chaque facteur premier pris avec son exposant le plus élevé. Par exemple, PPCM(12, 18) : 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3². PPCM = 2² × 3² = 36.

Quelle est la différence entre fraction et quotient ?

La fraction a/b est une écriture qui représente le quotient de a par b. Le quotient est le résultat de la division. Quand on écrit 3/4, on note à la fois la fraction et le quotient. Mais 0,75 est uniquement le quotient (l’écriture décimale), pas une fraction.

Comment gérer les fractions négatives au CRPE ?

Le signe négatif peut se placer au numérateur, au dénominateur ou devant la barre de fraction : -3/5 = (-3)/5 = 3/(-5). Les trois écritures sont équivalentes. Par convention, on place le signe devant la fraction ou au numérateur, jamais au dénominateur.

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Cardia Anthony

Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.

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