Les propriétés des nombres premiers – Cours de Maths CRPE

Les nombres premiers constituent un pilier fondamental de l’arithmetique. Au CRPE, ils reviennent dans les exercices de decomposition, de PGCD, de PPCM et de divisibilite. Maitriser leurs propriétés, c’est gagner des points sur des questions qui tombent quasiment chaque annee. Dans cet article, tu vas apprendre ce qu’est un nombre premier, comment les identifier avec le crible d’Eratosthene, comment les utiliser pour decomposer un entier, et comment aborder sereinement les exercices du concours. Tu trouveras aussi un angle didactique pour enseigner cette notion en cycle 3.

Définition d’un nombre premier

Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou egal a 2 qui possede exactement deux diviseurs : 1 et lui-meme. Le nombre 1 n’est pas premier car il ne possede qu’un seul diviseur.

Quelques propriétés immediates :

• 2 est le seul nombre premier pair. Tout autre nombre pair est divisible par 2, donc il a au moins trois diviseurs (1, 2 et lui-meme).
• Tout nombre premier supérieur a 2 est impair.
• Un nombre premier supérieur a 3 est forcement de la forme 6k − 1 ou 6k + 1. En effet, parmi six entiers consecutifs, l’un est divisible par 2 et l’un par 3, ce qui elimine quatre des six formes possibles.

Pour vérifier si un nombre n est premier, il suffit de tester s’il est divisible par un nombre premier p tel que p² ≤ n. Si aucun de ces nombres premiers ne divise n, alors n est premier.

Liste des nombres premiers jusqu’a 100

Il y a exactement 25 nombres premiers inferieurs ou egaux a 100. Les connaitre par coeur est un atout serieux au CRPE.

Dizaine	Nombres premiers	Nombre
0 – 9	2, 3, 5, 7	4
10 – 19	11, 13, 17, 19	4
20 – 29	23, 29	2
30 – 39	31, 37	2
40 – 49	41, 43, 47	3
50 – 59	53, 59	2
60 – 69	61, 67	2
70 – 79	71, 73, 79	3
80 – 89	83, 89	2
90 – 99	97	1

Total : 25 nombres premiers entre 2 et 100.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les racines carrées et calculs.

Le crible d’Eratosthene

Le crible d’Eratosthene est une méthode systematique pour trouver tous les nombres premiers jusqu’a un certain entier N. Voici comment il fonctionne :

1. Ecris tous les entiers de 2 a N.
2. Le premier nombre non raye est 2. Entoure-le (il est premier), puis raye tous ses multiples : 4, 6, 8, 10, 12…
3. Le nombre suivant non raye est 3. Entoure-le, puis raye tous ses multiples : 6, 9, 12, 15, 18…
4. Le nombre suivant non raye est 5. Entoure-le, puis raye tous ses multiples : 10, 15, 20, 25…
5. Continue avec 7, puis arrete-toi quand le prochain nombre premier a considerer depasse √N.
6. Tous les nombres non rayes sont premiers.

Ce crible est un excellent outil pedagogique. Il permet de visualiser la rarefaction progressive des nombres premiers : ils deviennent de plus en plus espaces a mesure qu’on avance dans les entiers.

Decomposition en facteurs premiers

Le théorème fondamental de l’arithmetique affirme que tout entier naturel supérieur ou egal a 2 se decompose de maniere unique en un produit de facteurs premiers (a l’ordre pres).

Méthode de decomposition

Pour decomposer un nombre, on divise successivement par les nombres premiers en commencant par le plus petit :

Exemple : decomposer 360

Dividende	Diviseur premier	Quotient
360	2	180
180	2	90
90	2	45
45	3	15
15	3	5
5	5	1

Résultat : 360 = 2³ × 3² × 5

Exemple : decomposer 252

252 = 2 × 126 = 2 × 2 × 63 = 2² × 63 = 2² × 9 × 7 = 2² × 3² × 7

Application au PGCD et PPCM

La decomposition en facteurs premiers permet de calculer rapidement le PGCD (plus grand commun diviseur) et le PPCM (plus petit commun multiple) de deux nombres.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur le calcul mental au CRPE.

Exemple complet

Calculons le PGCD et le PPCM de 360 et 252.

360 = 2³ × 3² × 5

252 = 2² × 3² × 7

PGCD(360, 252) : facteurs premiers communs avec exposant minimum.

• 2 : min(3, 2) = 2
• 3 : min(2, 2) = 2

PGCD = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

PPCM(360, 252) : tous les facteurs premiers avec exposant maximum.

• 2 : max(3, 2) = 3
• 3 : max(2, 2) = 2
• 5 : max(1, 0) = 1
• 7 : max(0, 1) = 1

PPCM = 2³ × 3² × 5 × 7 = 8 × 9 × 5 × 7 = 2520

Vérification : 36 × 2520 = 90 720 et 360 × 252 = 90 720. La relation fondamentale est bien verifiee.

Il existe une infinite de nombres premiers : la preuve d’Euclide

Cette démonstration, vieille de plus de 2300 ans, reste l’une des plus elegantes de l’histoire des mathematiques. Elle figure parmi les grands classiques du CRPE.

Théorème : il existe une infinite de nombres premiers.

Démonstration par l’absurde :

Supposons qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers : p₁, p₂, …, p_n.

Considerons le nombre N = p₁ × p₂ × … × p_n + 1.

Ce nombre N est strictement supérieur a chacun des p_i. Deux cas se presentent :

• Cas 1 : N est premier. Mais N ne figure pas dans notre liste, ce qui contredit l’hypothèse que la liste est complete.
• Cas 2 : N n’est pas premier. Alors N admet un diviseur premier q. Mais q ne peut etre aucun des p_i, car diviser N par p_i donne un reste de 1. Donc q est un nombre premier qui ne figure pas dans la liste. Contradiction.

Dans les deux cas, on aboutit a une contradiction. L’hypothèse de depart est donc fausse : il existe bien une infinite de nombres premiers.

Angle didactique : enseigner les nombres premiers en CM1-CM2

Les programmes de cycle 3 n’exigent pas formellement la decomposition en facteurs premiers, mais la notion de nombre premier est abordee dans le cadre de la divisibilite et de la recherche de diviseurs.

Progression suggeree

1. CM1 : recherche de tous les diviseurs d’un nombre (avec la multiplication). Les eleves decouvrent que certains nombres n’ont que deux diviseurs. On introduit le vocabulaire « nombre premier ».
2. CM1-CM2 : le crible d’Eratosthene sur une grille de 100. Activite manipulatoire ou l’on colorie les multiples de 2, puis de 3, etc. Les nombres non colories sont les nombres premiers.
3. CM2 : decomposition en arbre de facteurs. On represente la decomposition sous forme d’arbre ou chaque branche est une division par un nombre premier.

Points de vigilance pour l’enseignant

• Le statut de 1 : beaucoup d’eleves pensent que 1 est premier. Il faut expliquer clairement que 1 n’a qu’un seul diviseur, alors qu’un nombre premier en possede exactement deux.
• Le statut de 2 : des eleves affirment parfois que 2 n’est pas premier « parce qu’il est pair ». Il faut rappeler la définition : 2 a exactement deux diviseurs (1 et 2), donc il est premier.
• La confusion premier / impair : certains eleves retiennent que « les nombres premiers sont impairs », ce qui est faux a cause de 2.
• L’activite de crible : elle fonctionne tres bien en groupe. Chaque equipe prend un nombre premier et colorie ses multiples. Le résultat visuel est parlant.

Variables didactiques

Pour differencier, tu peux jouer sur la taille de la grille (50 au lieu de 100 pour les eleves en difficulte), le support (grille papier, logiciel, tableur), ou la forme de la trace ecrite (liste, arbre, tableau).

Erreurs frequentes

Exercices CRPE corriges

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1 260 = 2 × 630 = 2 × 2 × 315 = 2² × 315

315 = 3 × 105 = 3 × 3 × 35 = 3² × 35

35 = 5 × 7

Donc : 1 260 = 2² × 3² × 5 × 7

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180 = 2² × 3² × 5

126 = 2 × 3² × 7

PGCD : facteurs communs, exposant minimum.

2 : min(2, 1) = 1 ; 3 : min(2, 2) = 2

PGCD = 2 × 3² = 2 × 9 = 18

PPCM : tous les facteurs, exposant maximum.

2 : max(2, 1) = 2 ; 3 : max(2, 2) = 2 ; 5 : max(1, 0) = 1 ; 7 : max(0, 1) = 1

PPCM = 2² × 3² × 5 × 7 = 4 × 9 × 5 × 7 = 1 260

Vérification : 18 × 1 260 = 22 680 et 180 × 126 = 22 680. Correct.

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Le nombre de bouquets doit diviser 84 et 60. Le nombre maximal est le PGCD(84, 60).

84 = 2² × 3 × 7

60 = 2² × 3 × 5

PGCD = 2² × 3 = 12

Le fleuriste peut faire 12 bouquets.

Roses par bouquet : 84 / 12 = 7

Tulipes par bouquet : 60 / 12 = 5

Nous vous conseillons également notre cours sur les pourcentages et taux.

Chaque bouquet contient 7 roses et 5 tulipes.

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On calcule √391 ≈ 19,8. Il faut tester la divisibilite par les nombres premiers jusqu’a 19 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

391 est impair : pas divisible par 2.

3 + 9 + 1 = 13, non divisible par 3.

Ne finit pas par 0 ou 5 : pas divisible par 5.

391 / 7 = 55,86… : pas divisible par 7.

391 / 11 = 35,5… : pas divisible par 11.

391 / 13 = 30,07… : pas divisible par 13.

391 / 17 = 23 : divisible par 17.

391 = 17 × 23. Donc 391 n’est pas premier.

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On cherche le PPCM de 18 et 24.

18 = 2 × 3²

24 = 2³ × 3

PPCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 secondes

Les deux signaux clignotent a nouveau ensemble au bout de 72 secondes, soit 1 minute et 12 secondes.

FAQ

Pourquoi 1 n’est-il pas un nombre premier ?

Par convention mathematique, un nombre premier possede exactement deux diviseurs. Le nombre 1 n’en a qu’un seul (lui-meme). Cette convention garantit l’unicite de la decomposition en facteurs premiers. Si 1 etait premier, on pourrait ecrire 12 = 2² × 3, mais aussi 12 = 1 × 2² × 3, ou 12 = 1² × 2² × 3, ce qui detruirait l’unicite.

Existe-t-il une formule pour trouver les nombres premiers ?

Non, il n’existe aucune formule simple qui genere tous les nombres premiers. Des mathematiciens ont propose des formules partielles (polynomes, fonctions recursives), mais aucune n’est pratique pour les calculer. Le crible d’Eratosthene reste la méthode la plus efficace pour les lister jusqu’a une borne donnee.

Quel est le plus grand nombre premier connu ?

Les plus grands nombres premiers connus sont des nombres de Mersenne, de la forme 2^p − 1. En 2024, le record est detenu par 2^{136 279 841} − 1, un nombre a plus de 41 millions de chiffres. Ces records sont battus grace a la puissance des ordinateurs et au projet collaboratif GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

Quelle difference entre « premier » et « premier entre eux » ?

Un nombre est « premier » s’il n’a que deux diviseurs. Deux nombres sont « premiers entre eux » si leur PGCD vaut 1 (ils n’ont aucun facteur premier commun). Par exemple, 8 et 15 sont premiers entre eux (PGCD = 1), mais ni 8 ni 15 ne sont des nombres premiers.

La decomposition en facteurs premiers tombe-t-elle souvent au CRPE ?

Oui, tres regulierement. Soit directement (decomposer un nombre), soit indirectement dans un problème de PGCD/PPCM (bouquets, carrelage, engrenages, signaux periodiques). Maitriser cette technique est indispensable pour le concours.