Les transformations géométriques : rotation, symétrie – Cours de Maths CRPE

Les transformations géométriques sont un thème incontournable du CRPE. Symétrie axiale, symétrie centrale, translation, rotation et homothétie : tu dois savoir les définir, les construire, identifier ce qu’elles conservent et les enseigner aux élèves de cycle 2 et cycle 3. Cette page reprend chaque transformation avec sa définition, ses propriétés, ses constructions, puis propose un tableau comparatif, les compositions utiles, l’angle didactique pour le concours, les erreurs fréquentes et cinq exercices corrigés de type CRPE.

La symétrie axiale

Définition

La symétrie axiale d’axe (d) est la transformation qui, à tout point M, associe le point M’ tel que la droite (d) est la médiatrice du segment [MM’]. Si M appartient à (d), alors M’ = M.

Autrement dit, M et M’ sont situés de part et d’autre de l’axe, à la même distance, et le segment [MM’] est perpendiculaire à (d).

Construction

1. Depuis le point M, trace la perpendiculaire à (d).
2. Mesure la distance de M à l’axe (d). Appelle ce point d’intersection H.
3. Reporte cette même distance de l’autre côté de (d) sur la perpendiculaire : HM’ = HM.
4. Le point M’ est l’image de M par la symétrie d’axe (d).

Propriétés

• La symétrie axiale conserve les distances, les angles et les aires.
• Elle inverse l’orientation : un triangle parcouru dans le sens horaire aura son image parcourue dans le sens antihoraire.
• C’est une isométrie (transformation qui conserve les distances).
• C’est une involution : appliquer deux fois la même symétrie axiale ramène au point de départ (s ∘ s = identité).

La symétrie centrale

Définition

La symétrie centrale de centre O est la transformation qui, à tout point M, associe le point M’ tel que O est le milieu du segment [MM’]. Si M = O, alors M’ = O.

Construction

1. Trace la droite passant par M et O.
2. Mesure la distance MO.
3. Reporte cette distance de l’autre côté de O sur la même droite : OM’ = OM.
4. Le point M’ est l’image de M par la symétrie de centre O.

Propriétés

• La symétrie centrale conserve les distances, les angles et les aires.
• Elle conserve l’orientation (contrairement à la symétrie axiale).
• C’est une isométrie.
• C’est aussi une involution : appliquer deux fois la même symétrie centrale ramène au point de départ.
• C’est un cas particulier de rotation : une rotation de 180° de centre O.

La translation

Définition

La translation de vecteur u est la transformation qui, à tout point M, associe le point M’ tel que le vecteur MM’ est égal au vecteur u. Tous les points se déplacent dans la même direction, le même sens et la même distance.

Construction

1. Depuis le point M, trace une parallèle à la direction du vecteur u.
2. Reporte la longueur du vecteur u dans le bon sens.
3. Le point obtenu est M’.

En pratique, on utilise souvent la méthode du parallélogramme : si le vecteur u est défini par deux points A et B (vecteur AB), alors pour tout point M, le quadrilatère MABM’ (dans le bon ordre) forme un parallélogramme.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur la symétrie et les transformations.

Propriétés

• La translation conserve les distances, les angles, les aires et l’orientation.
• C’est une isométrie directe (elle conserve l’orientation).
• L’image d’une droite est une droite parallèle.
• L’image d’un segment est un segment de même longueur et parallèle.
• La translation n’a pas de point fixe (sauf le vecteur nul, qui donne l’identité).

La rotation

Définition

La rotation de centre O et d’angle α est la transformation qui, à tout point M, associe le point M’ tel que OM’ = OM et l’angle orienté (OM, OM’) = α. Le centre O est le seul point fixe.

Construction

1. Place le centre de ton rapporteur sur O, aligné avec la demi-droite [OM).
2. Mesure l’angle α à partir de [OM) dans le sens indiqué (horaire ou antihoraire).
3. Trace la demi-droite [OM’) faisant l’angle α avec [OM).
4. Reporte la distance OM sur cette demi-droite : OM’ = OM.

Propriétés

• La rotation conserve les distances, les angles, les aires et l’orientation.
• C’est une isométrie directe.
• Le centre O est le seul point fixe.
• La rotation de 180° est la symétrie centrale de centre O.
• La rotation de 360° (ou 0°) est l’identité.

L’homothétie

Définition

L’homothétie de centre O et de rapport k (k ≠ 0) est la transformation qui, à tout point M, associe le point M’ tel que le vecteur OM’ = k × vecteur OM. Le centre O est le seul point fixe.

• Si k > 0, M’ est du même côté que M par rapport à O.
• Si k < 0, M' est de l’autre côté de O.
• Si |k| > 1, l’homothétie agrandit.
• Si |k| < 1, l’homothétie réduit.
• Si k = 1, c’est l’identité.
• Si k = -1, c’est la symétrie centrale de centre O.

Propriétés

• L’homothétie conserve les angles et l’alignement des points.
• Elle ne conserve pas les distances (sauf si |k| = 1) : les longueurs sont multipliées par |k|.
• Les aires sont multipliées par k².
• Les volumes sont multipliés par |k|³.
• L’image d’une droite passant par O est cette même droite. L’image d’une droite ne passant pas par O est une droite parallèle.

Tableau comparatif des 5 transformations

Transformation	Conserve les distances ?	Conserve les angles ?	Conserve l’orientation ?	Points fixes
Symétrie axiale	Oui	Oui	Non (inversée)	Tous les points de l’axe
Symétrie centrale	Oui	Oui	Oui	Le centre O
Translation	Oui	Oui	Oui	Aucun (sauf vecteur nul)
Rotation	Oui	Oui	Oui	Le centre O
Homothétie (k ≠ ±1)	Non (×|k|)	Oui	Oui si k > 0, Non si k < 0	Le centre O

Compositions de transformations

La composition consiste à appliquer deux transformations successivement. Les résultats suivants tombent régulièrement au CRPE.

Deux symétries axiales d’axes parallèles

La composée de deux symétries axiales dont les axes sont parallèles (distants de d) est une translation de vecteur perpendiculaire aux axes, de longueur 2d.

Deux symétries axiales d’axes sécants

La composée de deux symétries axiales dont les axes se coupent en un point O avec un angle α est une rotation de centre O et d’angle 2α.

Deux symétries centrales

La composée de deux symétries centrales de centres O₁ et O₂ est une translation de vecteur 2 × vecteur O₁O₂.

Deux translations

La composée de deux translations de vecteurs u et v est la translation de vecteur u + v.

Angle didactique : programme cycle 2-3

Le CRPE évalue aussi ta capacité à enseigner ces notions. Voici ce que disent les programmes.

Cycle 2 (CP-CE1-CE2)

Seule la symétrie axiale est travaillée. Les élèves :

• Reconnaissent des figures symétriques par rapport à un axe, par pliage ou sur papier quadrillé.
• Complètent une figure par symétrie axiale sur papier quadrillé.
• Identifient les axes de symétrie d’une figure simple (carré, rectangle, cercle, losange).

Les outils privilégiés sont le pliage, le papier calque et le papier quadrillé. Le compas et la règle graduée pour la construction précise arrivent plus tard.

Cycle 3 (CM1-CM2-6e)

En cycle 3, les élèves travaillent :

Ce thème est développé dans notre article sur la géométrie dans le plan et l’espace.

• La symétrie axiale de façon approfondie : construction au compas et à la règle, reconnaissance dans les figures usuelles.
• La symétrie centrale (introduite en 6e) : construction, lien avec la rotation de 180°.

La translation et la rotation ne sont pas explicitement au programme du cycle 3. Elles apparaissent au cycle 4 (collège). L’homothétie est abordée en 3e (agrandissement et réduction).

Erreurs fréquentes

Exercices CRPE corrigés

Voir la correction

L’axe est la droite verticale x = 2. Pour chaque point, l’ordonnée reste identique et l’abscisse se transforme par : x’ = 2 × 2 – x = 4 – x.

A(1 ; 3) → A'(4 – 1 ; 3) = A'(3 ; 3)
B(4 ; 3) → B'(4 – 4 ; 3) = B'(0 ; 3)
C(4 ; 1) → C'(4 – 4 ; 1) = C'(0 ; 1)

Voir aussi : l’échelle en géométrie pour compléter vos connaissances.

On peut vérifier : A est à 1 unité à gauche de l’axe, A’ est à 1 unité à droite. B est à 2 unités à droite, B’ est à 2 unités à gauche. Les distances à l’axe sont bien conservées.

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O est le milieu de [MM’]. On utilise les formules du milieu inversées :

x’ = 2 × x_O – x_M = 2 × 1 – 3 = -1
y’ = 2 × y_O – y_M = 2 × 2 – (-1) = 5

M'(-1 ; 5)

Vérification : le milieu de [MM’] est ((3 + (-1))/2 ; (-1 + 5)/2) = (1 ; 2) = O. C’est correct.

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L’homothétie de rapport k = 1,5 multiplie les longueurs par |k| = 1,5.

Longueur : 6 × 1,5 = 9 cm
Largeur : 4 × 1,5 = 6 cm

L’aire est multipliée par k² = 1,5² = 2,25.

Aire initiale : 6 × 4 = 24 cm²
Aire de l’image : 24 × 2,25 = 54 cm²

On peut vérifier : 9 × 6 = 54 cm². C’est cohérent.

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La composée de deux symétries axiales d’axes parallèles est une translation.

Le vecteur de cette translation est :

• Perpendiculaire aux deux axes
• De longueur égale à 2 fois la distance entre les axes : 2 × 3 = 6 cm
• Dirigé de (d₁) vers (d₂)

C’est donc la translation de vecteur perpendiculaire aux axes, de norme 6 cm, orienté de (d₁) vers (d₂).

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Analyse de l’erreur : L’élève n’a pas intégré que la symétrie axiale se fait perpendiculairement à l’axe. Sur papier quadrillé avec un axe vertical ou horizontal, compter les carreaux horizontalement ou verticalement fonctionne. Mais dès que l’axe est oblique, cette méthode échoue. L’élève applique une procédure automatique sans comprendre la propriété géométrique sous-jacente.

Nous vous conseillons également notre cours sur les aires et périmètres.

Remédiation proposée :

• Revenir au pliage : faire plier la feuille le long de l’axe oblique et vérifier que les points se superposent. L’élève constate physiquement que le déplacement n’est ni horizontal ni vertical.
• Proposer l’utilisation de papier calque : l’élève décalque la figure, retourne le calque selon l’axe et voit la position correcte du symétrique.
• Faire travailler d’abord avec des axes obliques à 45° sur papier quadrillé (les carreaux en diagonale) avant de passer à des axes d’inclinaison quelconque.
• Verbaliser la règle : « Le symétrique d’un point est toujours à la même distance de l’axe, mesuré perpendiculairement. »

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre symétrie axiale et symétrie centrale ?

La symétrie axiale se fait par rapport à une droite (un axe) : on « retourne » la figure de l’autre côté de l’axe, ce qui inverse l’orientation. La symétrie centrale se fait par rapport à un point (un centre) : on « tourne » la figure de 180° autour de ce point, ce qui conserve l’orientation. Pour la symétrie axiale, chaque point et son image sont reliés par un segment perpendiculaire à l’axe. Pour la symétrie centrale, chaque point et son image sont reliés par un segment dont le centre est le milieu.

Pourquoi l’homothétie n’est-elle pas une isométrie ?

Une isométrie conserve les distances. L’homothétie multiplie toutes les distances par |k|. Dès que |k| ≠ 1, les distances changent, donc ce n’est pas une isométrie. C’est toutefois une « similitude » : elle conserve les angles et les rapports de longueurs.

Comment reconnaître la transformation utilisée dans un exercice ?

Observe la figure initiale et son image. Si les dimensions sont identiques et l’orientation inversée, c’est une symétrie axiale. Si les dimensions sont identiques et l’orientation conservée, c’est une symétrie centrale, une translation ou une rotation. Pour distinguer : la translation déplace sans tourner (les segments correspondants sont parallèles), la rotation tourne autour d’un centre fixe, la symétrie centrale est une rotation de 180°. Si les dimensions changent proportionnellement, c’est une homothétie.

Quelles transformations tombent le plus souvent au CRPE ?

La symétrie axiale est de loin la plus fréquente, car elle est au programme dès le cycle 2. Les questions portent sur la construction, la reconnaissance d’axes de symétrie dans les figures usuelles et l’analyse d’erreurs d’élèves. La symétrie centrale arrive en seconde position (programme de 6e). La translation et la rotation apparaissent dans les exercices mathématiques purs du CRPE, pas dans les questions didactiques. L’homothétie peut apparaître dans des problèmes d’agrandissement-réduction.

Faut-il connaître les compositions de transformations pour le CRPE ?

Oui. La composée de deux symétries axiales (axes parallèles → translation, axes sécants → rotation) est un classique du CRPE. Elle permet de faire le lien entre les différentes transformations et de justifier des propriétés de figures (par exemple, les médiatrices d’un triangle et les axes de symétrie d’un polygone régulier). Retiens au minimum les quatre résultats de composition présentés dans cette page.