Les nombres décimaux occupent une place centrale dans l epreuve de mathematiques du CRPE. Que ce soit pour poser une addition avec des virgules, convertir des unites ou estimer un ordre de grandeur, tu dois maitriser les quatre opérations sur les décimaux et savoir expliquer les procedures a des eleves de cycle 2 et cycle 3. Cet article reprend tout ce qu il faut connaitre : écriture décimale, placement de la virgule dans chaque opération, conversions entre fractions décimales et nombres a virgule, ordres de grandeur et erreurs classiques. Tu trouveras aussi des exercices corriges et des repères didactiques pour preparer la partie pedagogique du concours.
Comprendre l écriture décimale
Structure d un nombre décimal
Un nombre décimal est un nombre qui peut s ecrire sous la forme d une fraction dont le denominateur est une puissance de 10. Par exemple, 3,47 s ecrit aussi 347/100. La partie entiere est 3, la partie décimale est 47 centiemes. Chaque chiffre apres la virgule occupe une position bien precise : dixiemes, centiemes, milliemes.
Cette structure positionnelle est fondamentale. Le chiffre 4 dans 3,47 vaut 4 dixiemes, soit 0,4. Le chiffre 7 vaut 7 centiemes, soit 0,07. La somme donne bien 3 + 0,4 + 0,07 = 3,47. Au CRPE, tu dois pouvoir decomposer n importe quel décimal de cette maniere.
À retenir
Un nombre décimal est un nombre qui admet une écriture a virgule finie. Les nombres comme 1/3 = 0,333… ne sont pas des décimaux car leur écriture décimale est infinie. En revanche, 1/4 = 0,25 est un décimal car son écriture a virgule se termine.
Fraction décimale et nombre a virgule
Toute fraction décimale (denominateur 10, 100, 1000…) se transforme en nombre a virgule. Pour passer de la fraction au nombre : tu divises le numerateur par le denominateur. 347/100 = 3,47. Pour passer du nombre a la fraction : tu comptes les chiffres apres la virgule. 3,47 a deux chiffres apres la virgule, donc le denominateur est 100 et la fraction est 347/100.
Cette equivalence intervient dans de nombreuses situations au CRPE, notamment dans les conversions d unites et dans les problèmes de proportionnalite. Tu dois la maitriser dans les deux sens sans hesitation.
Comparaison de nombres décimaux
Pour comparer deux décimaux, tu compares d abord les parties entieres. Si elles sont egales, tu compares chiffre par chiffre en partant des dixiemes. Par exemple, 3,47 et 3,5 : les parties entieres sont egales (3), puis 4 dixiemes contre 5 dixiemes, donc 3,47 < 3,5.
️ Erreur fréquente
Beaucoup de candidats pensent que 3,47 > 3,5 parce que 47 > 5. C est faux. La comparaison se fait position par position. Si tu hesites, egalise le nombre de décimales : 3,47 et 3,50. La, tu vois bien que 47 centiemes < 50 centiemes.
Addition et soustraction de nombres décimaux
Principe de l alignement des virgules
Pour additionner ou soustraire des décimaux, la regle est simple : tu alignes les virgules. Les dixiemes sous les dixiemes, les centiemes sous les centiemes, les unites sous les unites. Ensuite, tu operes comme avec des entiers, en n oubliant pas de placer la virgule au résultat, exactement sous les virgules des operandes.
Prenons 12,345 + 7,8. Tu ecris 12,345 et en dessous 7,800 (on complete avec des zeros pour faciliter). L addition donne 20,145. La virgule du résultat est alignee sous celles des deux nombres.
Pour la soustraction, meme principe. 15,2 – 8,47 s ecrit : 15,20 – 8,47. Tu poses la soustraction colonne par colonne : 0 – 7, retenue, etc. Le résultat est 6,73.
Astuce
Completer avec des zeros a droite de la partie décimale ne change pas la valeur du nombre : 7,8 = 7,80 = 7,800. Cette propriété est tres utile pour poser proprement les opérations et eviter les erreurs d alignement.
Calcul mental avec des décimaux
En calcul mental, les stratégies vues pour les entiers s appliquent aux décimaux. Pour calculer 4,7 + 3,8, tu peux decomposer : 4,7 + 3 = 7,7 puis 7,7 + 0,8 = 8,5. Ou bien utiliser les complements : 4,7 + 0,3 = 5, puis 5 + 3,5 = 8,5.
Pour la soustraction mentale, la technique du complément est efficace. Pour 10 – 3,6, tu cherches le complément de 3,6 a 10 : de 3,6 a 4 il y a 0,4 et de 4 a 10 il y a 6, donc 10 – 3,6 = 6,4.
️ Exercice
Calcule en posant ou mentalement :
Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les racines carrées et calculs.
- 23,456 + 8,79
- 100 – 37,85
- 6,3 + 4,78 + 0,912
- 15,1 – 9,999
Voir la correction
23,456 + 8,79 = 23,456 + 8,790 = 32,246.
100 – 37,85 = 100,00 – 37,85 = 62,15.
6,3 + 4,78 + 0,912 = 6,300 + 4,780 + 0,912 = 11,992.
15,1 – 9,999 = 15,100 – 9,999 = 5,101.
Multiplication de nombres décimaux
La regle de la virgule dans la multiplication
Pour multiplier deux décimaux, tu multiplies d abord comme si c etaient des entiers, puis tu places la virgule dans le résultat. Le nombre de chiffres apres la virgule dans le produit est la somme des chiffres apres la virgule dans chaque facteur.
Exemple : 3,4 x 2,15. Tu calcules 34 x 215 = 7 310. Le premier facteur a 1 chiffre apres la virgule, le second en a 2, donc le produit a 1 + 2 = 3 chiffres apres la virgule : 7,310, soit 7,31.
Cette regle decoule du fait que 3,4 = 34/10 et 2,15 = 215/100, donc le produit vaut 34 x 215 / (10 x 100) = 7 310 / 1 000 = 7,31.
À retenir
Dans une multiplication de décimaux, le nombre total de chiffres apres la virgule dans le résultat est egal a la somme des chiffres apres la virgule des deux facteurs. Si un facteur a 2 décimales et l autre en a 3, le produit a 5 décimales (avant simplification eventuelle des zeros terminaux).
Multiplier par 10, 100, 1000
Multiplier un décimal par 10 revient a deplacer la virgule d un rang vers la droite. Par 100, de deux rangs. Par 1000, de trois rangs. Par exemple : 3,47 x 10 = 34,7 ; 3,47 x 100 = 347 ; 3,47 x 1000 = 3 470.
A l inverse, multiplier par 0,1 revient a diviser par 10 (virgule un rang vers la gauche), par 0,01 a diviser par 100, etc. 3,47 x 0,1 = 0,347 ; 3,47 x 0,01 = 0,0347.
Multiplier par 0,5 et par 0,25
Multiplier par 0,5 revient a diviser par 2. Multiplier par 0,25 revient a diviser par 4. Ces equivalences sont tres utiles en calcul mental. Par exemple : 84 x 0,5 = 42 ; 84 x 0,25 = 21.
De meme, multiplier par 1,5 revient a ajouter la moitie du nombre a lui-meme. 60 x 1,5 = 60 + 30 = 90.
️ Exercice
Effectue les multiplications suivantes :
- 4,5 x 3,2
- 0,07 x 0,3
- 125,4 x 100
- 36 x 0,25
- 2,8 x 1,5
Voir la correction
4,5 x 3,2 : 45 x 32 = 1 440, puis 2 chiffres apres la virgule → 14,40 = 14,4.
0,07 x 0,3 : 7 x 3 = 21, puis 2 + 1 = 3 chiffres apres la virgule → 0,021.
125,4 x 100 : virgule deux rangs vers la droite → 12 540.
36 x 0,25 = 36 / 4 = 9.
2,8 x 1,5 = 2,8 + 1,4 = 4,2. Ou bien 28 x 15 = 420, deux chiffres apres la virgule → 4,20 = 4,2.
Division de nombres décimaux
Diviser un décimal par un entier
Pour diviser un décimal par un entier, tu poses la division comme d habitude. Quand tu abaisses le chiffre des dixiemes, tu places la virgule au quotient. Ensuite, tu continues normalement avec les centiemes, milliemes, etc.
Exemple : 15,6 / 4. Tu divises 15 par 4, ca fait 3 reste 3. Tu places la virgule au quotient et tu abaisses le 6 : 36 / 4 = 9. Résultat : 3,9.
Retrouvez les détails dans notre fiche sur le calcul mental au CRPE.
Si la division ne tombe pas juste, tu peux ajouter des zeros apres le dernier chiffre décimal. 7,3 / 4 : tu divises 73 dixiemes par 4. 73 / 4 = 18 reste 1. Tu ajoutes un zero : 10 / 4 = 2 reste 2. Encore un zero : 20 / 4 = 5. Résultat : 1,825.
Diviser par un décimal
Pour diviser par un décimal, tu transformes la division pour avoir un diviseur entier. Tu multiplies le dividende et le diviseur par la meme puissance de 10. Par exemple : 15,6 / 0,4 = 156 / 4 = 39. Tu as multiplie les deux par 10.
Autre exemple : 8,4 / 0,03 = 8 400 / 3 = 2 800. Tu as multiplie les deux par 100 pour rendre le diviseur entier.
À retenir
Pour diviser par un nombre décimal, tu multiplies dividende et diviseur par 10, 100 ou 1 000 pour obtenir un diviseur entier. Le quotient reste inchange car tu as multiplie les deux termes par le meme nombre. C est la propriété fondamentale : a / b = (a x k) / (b x k).
Diviser par 10, 100, 1000
Diviser par 10 revient a deplacer la virgule d un rang vers la gauche. Par 100, de deux rangs. Par 1 000, de trois rangs. 347 / 10 = 34,7 ; 347 / 100 = 3,47 ; 347 / 1 000 = 0,347.
Cette propriété est la base des conversions d unites : passer de millimetres en centimetres, c est diviser par 10 ; passer de grammes en kilogrammes, c est diviser par 1 000.
️ Erreur fréquente
Quand tu divises 5 par 1 000, le résultat est 0,005 et non 0,5 ou 0,05. Chaque division par 10 deplace la virgule d un rang vers la gauche. Si tu pars de 5,0 : diviser par 10 donne 0,5, par 100 donne 0,05, par 1 000 donne 0,005. Compte bien le nombre de rangs.
️ Exercice
Effectue les divisions suivantes :
- 18,6 / 6
- 7,5 / 0,5
- 0,84 / 0,07
- 345,6 / 1 000
- 9,1 / 4
Voir la correction
18,6 / 6 = 3,1.
7,5 / 0,5 = 75 / 5 = 15.
0,84 / 0,07 = 84 / 7 = 12.
345,6 / 1 000 = 0,3456.
9,1 / 4 : 91 dixiemes / 4 = 22 reste 3, puis 30 / 4 = 7 reste 2, puis 20 / 4 = 5. Résultat : 2,275.
Conversions entre décimaux et fractions
Passer d une fraction décimale a un nombre a virgule
Le passage se fait par la division. 3/10 = 0,3 ; 47/100 = 0,47 ; 125/1000 = 0,125. Le nombre de zeros au denominateur donne le nombre de chiffres apres la virgule.
Pour une fraction dont le denominateur n est pas directement une puissance de 10, tu cherches une fraction equivalente. Par exemple : 3/4 = 75/100 = 0,75. Tu multiplies numerateur et denominateur par 25 pour obtenir un denominateur de 100.
Passer d un nombre a virgule a une fraction simplifiee
Tu ecris d abord la fraction décimale correspondante, puis tu simplifies. 0,75 = 75/100. Le PGCD de 75 et 100 est 25. Donc 75/100 = 3/4. Autre exemple : 0,125 = 125/1000 = 1/8 (on divise par 125).
Astuce
Ce thème est développé dans notre article sur les fractions et leurs règles.
Retiens par coeur les equivalences courantes : 1/2 = 0,5 ; 1/4 = 0,25 ; 3/4 = 0,75 ; 1/5 = 0,2 ; 1/8 = 0,125 ; 1/3 = 0,333… (non décimal). Ces repères te font gagner un temps precieux au CRPE.
Fractions non décimales
Certaines fractions ne sont pas des nombres décimaux. C est le cas quand le denominateur (apres simplification) contient un facteur premier autre que 2 ou 5. Par exemple, 1/3 = 0,333… a une écriture décimale infinie periodique. De meme, 1/6 = 0,1666…, 1/7 = 0,142857142857…
Au CRPE, tu dois savoir distinguer fraction décimale et fraction non décimale. Le critère est simple : apres simplification, le denominateur ne doit contenir que des facteurs 2 et/ou 5 pour que la fraction soit décimale.
️ Exercice
Indique si chaque fraction est décimale ou non. Si oui, donne l écriture a virgule :
- 7/20
- 5/12
- 9/25
- 11/40
- 4/15
Voir la correction
7/20 : 20 = 4 x 5 = 2 x 2 x 5, que des facteurs 2 et 5, donc décimale. 7/20 = 35/100 = 0,35.
5/12 : 12 = 4 x 3 = 2 x 2 x 3, le facteur 3 empeche, donc non décimale.
9/25 : 25 = 5 x 5, que des 5, donc décimale. 9/25 = 36/100 = 0,36.
11/40 : 40 = 8 x 5 = 2 x 2 x 2 x 5, que des facteurs 2 et 5, donc décimale. 11/40 = 275/1000 = 0,275.
4/15 : 15 = 3 x 5, le facteur 3 empeche, donc non décimale.
Ordres de grandeur avec les décimaux
Estimer le résultat d un calcul décimal
L estimation est une competence majeure au CRPE. Pour estimer le résultat d un calcul sur les décimaux, tu arrondis chaque nombre a l entier le plus proche (ou au dixieme, selon la precision souhaitee), puis tu effectues l opération sur les arrondis.
Exemple : 4,87 x 3,12 est proche de 5 x 3 = 15. Le résultat exact est 15,1944. L estimation est tres proche et te permet de reperer une erreur grossiere dans un calcul pose.
Pour une addition : 12,73 + 8,491 + 3,06 est proche de 13 + 8,5 + 3 = 24,5. Résultat exact : 24,281. L estimation donne un bon repère.
Controler la vraisemblance d un résultat
Au CRPE, on te demande souvent de vérifier si un résultat est vraisemblable. Par exemple, si un candidat trouve 4,5 x 6,2 = 279, tu dois pouvoir reperer l erreur : 4,5 x 6 = 27, donc le résultat devrait etre autour de 28, pas 279. Le candidat a sans doute oublie de placer correctement la virgule.
Ce reflexe de vérification par ordre de grandeur est indispensable. Il faut l entrainer systematiquement sur chaque calcul.
À retenir
Pour vérifier un produit de décimaux, estime l ordre de grandeur par arrondi. Si le résultat obtenu est 10 fois trop grand ou trop petit, c est un problème de virgule. Multiplier 4,5 par 6,2 donne environ 28 ; si tu trouves 2,8 ou 280, ta virgule est mal placee.
️ Exercice
Pour chaque calcul, donne d abord un ordre de grandeur, puis le résultat exact :
- 6,8 x 4,1
- 98,7 / 3
- 0,45 x 200
- 12,5 + 7,89 + 0,61
Voir la correction
6,8 x 4,1 : ordre de grandeur proche de 7 x 4 = 28. Exact : 68 x 41 = 2 788, deux décimales → 27,88.
98,7 / 3 : ordre de grandeur proche de 99 / 3 = 33. Exact : 987 dixiemes / 3 = 329 dixiemes = 32,9.
Voir aussi : les calculs avec les puissances pour compléter vos connaissances.
0,45 x 200 : ordre de grandeur proche de 0,5 x 200 = 100. Exact : 45 x 200 = 9 000, deux décimales → 90.
12,5 + 7,89 + 0,61 : ordre de grandeur proche de 13 + 8 + 1 = 22. Exact : 12,50 + 7,89 + 0,61 = 21,00 = 21.
Conversions d unites et nombres décimaux
Le tableau de conversion
Les conversions d unites de longueur, de masse et de capacite reposent sur la multiplication ou la division par des puissances de 10. Le tableau de conversion est l outil de référence. Chaque colonne correspond a un rang et le deplacement de la virgule se fait en comptant les colonnes.
Pour les longueurs : km, hm, dam, m, dm, cm, mm. Chaque passage d une colonne a la suivante correspond a une multiplication ou division par 10. Convertir 3,45 m en cm : de m a cm, il y a 2 colonnes vers la droite, donc 3,45 x 100 = 345 cm.
Pour les masses : kg, hg, dag, g, dg, cg, mg. Meme principe. 2,3 kg en g : 3 colonnes vers la droite, donc 2,3 x 1 000 = 2 300 g.
Conversions avec les aires et les volumes
Pour les aires, chaque passage de colonne correspond a un facteur 100 (et non 10). Convertir 3,5 m carré en cm carré : 2 colonnes, donc 2 x 2 = 4 zeros, soit 3,5 x 10 000 = 35 000 cm carré.
Pour les volumes, chaque passage correspond a un facteur 1 000. Convertir 0,5 m cube en dm cube (litres) : 1 colonne, facteur 1 000, soit 0,5 x 1 000 = 500 dm cube = 500 L.
️ Erreur fréquente
Pour les aires, on ne multiplie pas par 10 en changeant d unite mais par 100. Pour les volumes, c est par 1 000. Un m carré contient 10 000 cm carré (et non 100). Un m cube contient 1 000 000 cm cube (et non 1 000). C est la source d erreur la plus frequente au CRPE dans les problèmes de conversion.
️ Exercice
Effectue les conversions suivantes :
- 4,56 km en m
- 780 mg en g
- 2,3 m carré en cm carré
- 0,045 m cube en L
- 3 500 mm en m
Voir la correction
4,56 km en m : 3 colonnes vers la droite, 4,56 x 1 000 = 4 560 m.
780 mg en g : 3 colonnes vers la gauche, 780 / 1 000 = 0,78 g.
2,3 m carré en cm carré : 2 colonnes x facteur 100 chacune = x 10 000, donc 2,3 x 10 000 = 23 000 cm carré.
0,045 m cube en L : 1 m cube = 1 000 L, donc 0,045 x 1 000 = 45 L.
3 500 mm en m : 3 colonnes vers la gauche, 3 500 / 1 000 = 3,5 m.
Didactique des nombres décimaux au cycle 3
Les enjeux d apprentissage
L introduction des décimaux en CM1 est un moment charniere. Les eleves passent du monde des entiers, ou l ajout d un chiffre a droite agrandit toujours le nombre (3 puis 34 puis 345), au monde des décimaux, ou l ajout d un chiffre a droite apres la virgule peut donner un nombre plus petit que prevu. Cette rupture conceptuelle est source de nombreuses erreurs.
Nous vous conseillons également notre cours sur les nombres premiers.
Les recherches en didactique montrent que les eleves appliquent souvent aux décimaux les regles des entiers. Ils pensent que 3,12 > 3,9 parce que 12 > 9. Ils pensent aussi qu entre 3,4 et 3,5 il n y a pas de nombre, comme entre deux entiers consecutifs. Ces conceptions erronees sont tenaces et doivent etre travaillees explicitement.
Progressivite de l enseignement
En CM1, on introduit les dixiemes a partir du partage en 10 parties egales et de la droite graduee. L eleve comprend que 1 dixieme est 10 fois plus petit qu une unite. Les fractions décimales (1/10, 3/10) précédent l écriture a virgule.
En CM2, on etend aux centiemes et aux milliemes. Les quatre opérations sur les décimaux sont travaillees progressivement : addition et soustraction d abord, multiplication par un entier ensuite, puis multiplication de deux décimaux en fin de cycle. La division d un décimal par un entier est abordee, mais la division par un décimal est repoussee au college.
Astuce
Pour la partie didactique du CRPE, retiens les trois représentations complémentaires des décimaux : la fraction décimale (47/100), l écriture a virgule (0,47) et le placement sur la droite graduee. Un eleve qui maitrise le passage entre ces trois représentations a construit une bonne comprehension du nombre décimal.
Erreurs typiques des eleves et remediations
L erreur la plus frequente est la comparaison en « ignorant la virgule » : l eleve compare 3,9 et 3,12 en comparant 9 et 12, et conclut a tort que 3,12 > 3,9. La remediation passe par l egalisation du nombre de décimales (3,90 et 3,12) et par le placement sur la droite graduee.
Autre erreur courante : dans l addition, l eleve n aligne pas les virgules et additionne les chiffres sans tenir compte de leur position. Par exemple, 3,4 + 2,15 donne 5,19 au lieu de 5,55. La remediation consiste a travailler systematiquement sur le tableau de numeration.
Pour la multiplication, l erreur classique est d oublier de placer la virgule ou de la placer au mauvais endroit. L estimation prealable du résultat est le meilleur remede : si 3,4 x 2 donne environ 7, trouver 68 ou 0,68 doit alerter l eleve.
À retenir
En didactique, les trois obstacles principaux avec les décimaux sont : la comparaison erronee (regle des entiers appliquee), la densite des décimaux (l eleve croit qu il n y a pas de nombre entre 3,4 et 3,5), et le placement de la virgule dans les opérations. Ces trois points tombent regulierement dans les questions didactiques du CRPE.
Exercices de synthese type CRPE
️ Exercice
Exercice 1 : Range dans l ordre croissant les nombres suivants : 3,09 ; 3,9 ; 3,019 ; 3,19 ; 3,1.
Exercice 2 : Un terrain rectangulaire mesure 12,5 m de long et 8,4 m de large. Calcule son périmètre et son aire.
Exercice 3 : Une bouteille contient 1,5 L de jus. On remplit des verres de 0,12 L chacun. Combien de verres peut-on remplir entierement ? Quelle quantite reste-t-il ?
Exercice 4 : Un eleve de CM2 ecrit que 3,5 + 2,14 = 5,19. Analyse son erreur et propose une remediation.
Voir la correction
Exercice 1 : On egalise le nombre de décimales : 3,090 ; 3,900 ; 3,019 ; 3,190 ; 3,100. Ordre croissant : 3,019 < 3,09 < 3,1 < 3,19 < 3,9.
Exercice 2 : Périmètre = 2 x (12,5 + 8,4) = 2 x 20,9 = 41,8 m. Aire = 12,5 x 8,4 = 125 x 84 / 100 = 10 500 / 100 = 105 m carré.
Exercice 3 : 1,5 / 0,12 = 150 / 12 = 12,5. On peut remplir 12 verres entierement. Quantite versee : 12 x 0,12 = 1,44 L. Reste : 1,5 – 1,44 = 0,06 L soit 60 mL.
Exercice 4 : L eleve a additionne 5 dixiemes et 14 centiemes comme s ils etaient dans la meme colonne. Il a traite la partie décimale comme un entier : 5 et 14 donnent 19. En realite, 3,5 = 3,50 et 3,50 + 2,14 = 5,64. Remediation : faire travailler l eleve avec le tableau de numeration (unites, dixiemes, centiemes) pour qu il place chaque chiffre dans la bonne colonne avant de calculer.
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Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
