Au CRPE, les mesures (périmètre, aire, volume) reviennent chaque année sous forme de problèmes concrets : clôturer un terrain, peindre un mur, remplir un réservoir. Ce cours rassemble toutes les formules que tu dois maîtriser, les conversions d’unités indispensables et une méthode rigoureuse pour résoudre les problèmes du concours. Chaque formule est accompagnée d’explications claires, et les exercices corrigés en fin d’article reproduisent le niveau d’exigence du CRPE.
Les périmètres
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. Pour le calculer, tu additionnes toutes les longueurs des côtés (ou tu utilises une formule quand la figure est régulière).
Formules des périmètres
| Figure | Formule | Variables |
|---|---|---|
| Carré | P = 4 × c | c = côté |
| Rectangle | P = 2 × (L + l) | L = longueur, l = largeur |
| Triangle | P = a + b + c | a, b, c = les 3 côtés |
| Cercle | P = 2 × π × r = π × d | r = rayon, d = diamètre |
| Polygone régulier | P = n × c | n = nombre de côtés, c = côté |
| Polygone quelconque | P = somme de tous les côtés | — |
À retenir
Le périmètre du cercle s’appelle la circonférence. Attention : au CRPE, on utilise souvent π ≈ 3,14 ou π ≈ 3,1416 selon la précision demandée. Vérifie toujours la consigne.
Périmètre d’une figure composée
Au CRPE, les figures ne sont pas toujours simples. Tu peux avoir un terrain en forme de L, une piscine avec un demi-cercle à un bout, etc. La méthode reste la même : additionne tous les segments du contour extérieur. Repère bien les parties qui ne font PAS partie du contour (les segments intérieurs ne comptent pas).
Astuce
Surligne le contour de la figure sur ton brouillon. Ça te permet de ne rien oublier et de ne pas compter de segments intérieurs par erreur.
Les aires
L’aire mesure la surface d’une figure, c’est-à-dire l’espace qu’elle occupe dans le plan. Elle s’exprime en unités carrées (cm², m², km²…).
Formules des aires
| Figure | Formule | Variables |
|---|---|---|
| Carré | A = c² | c = côté |
| Rectangle | A = L × l | L = longueur, l = largeur |
| Triangle | A = (b × h) / 2 | b = base, h = hauteur |
| Parallélogramme | A = b × h | b = base, h = hauteur |
| Trapèze | A = ((B + b) × h) / 2 | B = grande base, b = petite base, h = hauteur |
| Losange | A = (d₁ × d₂) / 2 | d₁ et d₂ = diagonales |
| Disque | A = π × r² | r = rayon |
À retenir
La hauteur d’une figure est toujours perpendiculaire à la base. Dans un triangle, la hauteur ne correspond pas forcément à un des côtés : c’est le segment perpendiculaire à la base qui va jusqu’au sommet opposé.
Aire d’une figure composée
Pour calculer l’aire d’une figure complexe, décompose-la en figures simples dont tu connais les formules. Tu peux aussi calculer l’aire d’une grande figure et soustraire les parties à enlever.
Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les unités et conversions.
Exemple concret : un terrain rectangulaire de 40 m × 30 m avec une piscine circulaire de rayon 5 m au milieu. L’aire de la partie gazonnée = aire du rectangle – aire du disque = (40 × 30) – (π × 5²) = 1 200 – 78,54 ≈ 1 121,46 m².
️ Erreur fréquente
Ne confonds pas le côté oblique d’un triangle ou d’un parallélogramme avec sa hauteur. La hauteur est toujours perpendiculaire à la base. Si tu utilises le côté oblique dans la formule, ton résultat sera faux.
Les volumes
Le volume mesure l’espace occupé par un solide en trois dimensions. Il s’exprime en unités cubes (cm³, m³, dm³…) ou en unités de capacité (L, mL, cL…).
Formules des volumes
| Solide | Formule | Variables |
|---|---|---|
| Cube | V = c³ | c = arête |
| Pavé droit | V = L × l × h | L = longueur, l = largeur, h = hauteur |
| Cylindre | V = π × r² × h | r = rayon de la base, h = hauteur |
| Cône | V = (π × r² × h) / 3 | r = rayon de la base, h = hauteur |
| Sphère | V = (4/3) × π × r³ | r = rayon |
| Prisme droit | V = Aire de la base × h | h = hauteur du prisme |
| Pyramide | V = (Aire de la base × h) / 3 | h = hauteur de la pyramide |
À retenir
Retiens ce principe fondamental : le volume d’un solide « pointu » (cône, pyramide) est toujours le tiers du volume du solide correspondant « à côtés droits » (cylindre, prisme). C’est le facteur ÷ 3 dans les formules.
Lien entre volume et capacité
Au CRPE, tu dois souvent convertir entre volume et capacité. La correspondance clé :
- 1 dm³ = 1 L (un litre)
- 1 cm³ = 1 mL
- 1 m³ = 1 000 L
Cette correspondance est absolument indispensable dans les problèmes de remplissage de piscines, de cuves ou de réservoirs.
Les conversions d’unités
Les conversions sont un passage obligé au CRPE. Il faut maîtriser les conversions de longueur, d’aire et de volume sans hésitation.
Retrouvez les détails dans notre fiche sur les grandeurs et instruments de mesure.
Conversions de longueur
| km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 |
Chaque colonne représente un facteur × 10. Pour passer de m à cm, tu multiplies par 100 (deux colonnes). Pour passer de km à m, tu multiplies par 1 000 (trois colonnes).
Conversions d’aire
Pour les aires, chaque unité contient deux colonnes dans le tableau de conversion (car une aire est une longueur × une longueur).
| km² | hm² (= ha) | dam² (= a) | m² | dm² | cm² | mm² | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² = 1 000 000 mm² | ||||||||||||
À retenir
Les unités agraires sont des unités d’aire très fréquentes au CRPE :
1 hectare (ha) = 1 hm² = 10 000 m²
1 are (a) = 1 dam² = 100 m²
1 centiare (ca) = 1 m²
Conversions de volume
Pour les volumes, chaque unité contient trois colonnes (longueur × longueur × longueur).
- 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³
- 1 dm³ = 1 000 cm³ = 1 L
- 1 cm³ = 1 mL
Astuce
Retiens les facteurs : longueurs → × 10 par colonne, aires → × 100 par unité (deux colonnes), volumes → × 1 000 par unité (trois colonnes). C’est la logique des dimensions : 10¹, 10², 10³.
Méthode pour les problèmes CRPE
Les problèmes de mesures au CRPE suivent souvent le même schéma. Voici une méthode structurée pour ne rien oublier.
Étape 1 : Identifier ce qu’on cherche
Lis l’énoncé et repère le mot clé :
- « clôturer », « border », « entourer » → périmètre
- « peindre », « recouvrir », « surface », « terrain » → aire
- « remplir », « contenir », « capacité », « litre » → volume
Étape 2 : Convertir dans la même unité
Avant tout calcul, mets toutes les mesures dans la même unité. C’est la source d’erreur la plus fréquente au CRPE. Si la longueur est en mètres et la largeur en centimètres, convertis avant de multiplier.
Étape 3 : Dessiner la figure
Fais un schéma rapide avec les dimensions. Même si l’exercice ne le demande pas, le schéma t’aide à visualiser la situation et à repérer les pièges (figures composées, parties à retrancher, etc.).
Ce thème est développé dans notre article sur les opérations et propriétés.
Étape 4 : Appliquer la formule
Choisis la bonne formule, remplace les valeurs et calcule. Montre toutes les étapes : au CRPE, la démarche est notée.
Étape 5 : Vérifier l’unité du résultat
Un périmètre s’exprime en mètres (unité de longueur), une aire en m² (unité carrée), un volume en m³ ou en litres. Si tu trouves une aire en mètres, c’est qu’il y a une erreur.
️ Erreur fréquente
Au CRPE, beaucoup de candidats mélangent périmètre et aire. Pose-toi la question : est-ce que je mesure un tour (périmètre) ou une surface (aire) ? Cette confusion coûte énormément de points.
Les erreurs fréquentes
️ Erreur fréquente
Confondre rayon et diamètre. Le diamètre est le double du rayon. Si l’énoncé donne un diamètre de 10 cm, le rayon est 5 cm. Utiliser 10 dans la formule A = π × r² donne un résultat 4 fois trop grand.
️ Erreur fréquente
Oublier le ÷ 2 dans l’aire du triangle. L’aire du triangle est (base × hauteur) / 2, pas base × hauteur. Un triangle est la moitié d’un parallélogramme, d’où le facteur 2.
️ Erreur fréquente
Se tromper dans les conversions d’aires. Beaucoup de candidats convertissent 3 m² en 300 cm² (en multipliant par 100). C’est faux. 1 m² = 10 000 cm², donc 3 m² = 30 000 cm². Rappel : pour les aires, on applique le facteur de conversion au carré.
️ Erreur fréquente
Oublier le ÷ 3 pour le cône et la pyramide. Le volume d’un cône n’est pas π × r² × h mais (π × r² × h) / 3. Idem pour la pyramide : (aire de la base × h) / 3.
️ Erreur fréquente
Ne pas convertir avant de calculer. Si la longueur est en mètres et la largeur en centimètres, tu dois convertir dans la même unité AVANT de multiplier. Sinon, ton résultat est dans une unité incohérente.
Exercices corrigés type CRPE
️ Exercice 1
Un jardin rectangulaire mesure 25 m de long et 18 m de large. On veut l’entourer d’une clôture qui coûte 12 euros le mètre. Quel est le prix total de la clôture ?
Voir aussi : les fractions et décimaux pour compléter vos connaissances.
Voir la correction
On cherche un périmètre (« entourer »).
P = 2 × (L + l) = 2 × (25 + 18) = 2 × 43 = 86 m
Prix total = 86 × 12 = 1 032 euros
️ Exercice 2
Un terrain a la forme d’un trapèze dont les bases mesurent 45 m et 30 m, et la hauteur est de 20 m. Quelle est son aire en ares ?
Voir la correction
A = ((B + b) × h) / 2 = ((45 + 30) × 20) / 2 = (75 × 20) / 2 = 1 500 / 2 = 750 m²
Conversion en ares : 1 are = 100 m², donc 750 m² = 750 / 100 = 7,5 ares
️ Exercice 3
Une piscine cylindrique a un diamètre de 4 m et une profondeur de 1,2 m. Combien de litres d’eau faut-il pour la remplir entièrement ? (Prendre π ≈ 3,14)
Voir la correction
Diamètre = 4 m, donc rayon = 2 m.
V = π × r² × h = 3,14 × 2² × 1,2 = 3,14 × 4 × 1,2 = 3,14 × 4,8 = 15,072 m³
Conversion : 1 m³ = 1 000 L, donc 15,072 m³ = 15 072 litres
️ Exercice 4
On peint les quatre murs d’une salle de classe rectangulaire de 10 m de long, 7 m de large et 3 m de haut. La salle possède 2 fenêtres de 1,5 m × 1,2 m et une porte de 2 m × 0,9 m. Un pot de peinture couvre 10 m². Combien de pots faut-il acheter ?
Voir la correction
Aire totale des 4 murs :
2 grands murs : 2 × (10 × 3) = 60 m²
2 petits murs : 2 × (7 × 3) = 42 m²
Total murs = 60 + 42 = 102 m²
Aire à retrancher :
2 fenêtres : 2 × (1,5 × 1,2) = 3,6 m²
1 porte : 2 × 0,9 = 1,8 m²
Total à retrancher = 3,6 + 1,8 = 5,4 m²
Nous vous conseillons également notre cours sur les calculs posés et écrits.
Aire à peindre : 102 – 5,4 = 96,6 m²
Nombre de pots : 96,6 / 10 = 9,66
On ne peut pas acheter 0,66 pot, on arrondit au pot supérieur : 10 pots.
️ Exercice 5
Un sablier a la forme de deux cônes identiques joints par leur pointe. Chaque cône a un rayon de 3 cm et une hauteur de 8 cm. Quel est le volume total du sablier en cm³ ? (Prendre π ≈ 3,14)
Voir la correction
Volume d’un cône = (π × r² × h) / 3
V₁ = (3,14 × 3² × 8) / 3 = (3,14 × 9 × 8) / 3 = (226,08) / 3 = 75,36 cm³
Le sablier est composé de 2 cônes identiques :
V total = 2 × 75,36 = 150,72 cm³
FAQ sur les mesures au CRPE
Faut-il connaître toutes les formules par cœur pour le CRPE ?
Oui. Les formules de périmètre, d’aire et de volume ne sont pas fournies le jour de l’épreuve. Tu dois les connaître sur le bout des doigts. La bonne nouvelle, c’est qu’elles s’apprennent par la pratique : plus tu fais d’exercices, plus elles deviennent des automatismes.
Comment retenir la formule du volume de la sphère ?
La formule V = (4/3) × π × r³ est souvent considérée comme la plus difficile à retenir. Un moyen mnémotechnique : pense à « 4 tiers de π r cube ». Répète-la régulièrement et utilise-la dans des exercices. Tu peux aussi retenir que c’est la seule formule avec un 4 au numérateur et un 3 au dénominateur.
Quelle différence entre un prisme et un cylindre ?
Un cylindre est un cas particulier de prisme dont la base est un disque (cercle). Un prisme peut avoir n’importe quelle base polygonale (triangle, rectangle, hexagone…). La formule est la même dans les deux cas : V = Aire de la base × hauteur. Pour le cylindre, l’aire de la base est π × r², ce qui donne V = π × r² × h.
Comment convertir des hectares en mètres carrés ?
1 hectare (ha) = 10 000 m². Pour convertir des hectares en mètres carrés, multiplie par 10 000. Pour convertir des mètres carrés en hectares, divise par 10 000. Exemple : 2,5 ha = 2,5 × 10 000 = 25 000 m². Et 35 000 m² = 35 000 / 10 000 = 3,5 ha.
Le CRPE demande-t-il des démonstrations de formules ?
Rarement de manière directe, mais il arrive que des exercices te demandent de retrouver une formule par une démarche géométrique. Par exemple, montrer que l’aire du trapèze correspond à la moyenne des deux bases multipliée par la hauteur. Comprendre d’où viennent les formules t’aide à les retenir et à les adapter dans des cas inhabituels.
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Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
