Nombres et calculs : calculs avec les fractions ordinaires – Cours de Maths CRPE

Les fractions sont l’un des piliers du programme de mathématiques au CRPE. Elles reviennent dans presque toutes les épreuves, sous forme de calculs directs, de problèmes concrets ou de questions de didactique. Ce cours complet reprend les quatre opérations sur les fractions, la comparaison, la simplification, le PGCD, et tout ce que tu dois savoir pour accompagner les élèves de cycle 3 dans l’apprentissage de cette notion souvent redoutée.

Rappels fondamentaux sur les fractions

Vocabulaire et notation

Une fraction est l’écriture d’un nombre sous la forme a/b où a est le numérateur (au-dessus du trait de fraction) et b le dénominateur (au-dessous). Le dénominateur b doit être différent de zéro.

Fractions égales

Deux fractions sont égales si et seulement si on peut passer de l’une à l’autre en multipliant (ou divisant) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Addition et soustraction de fractions

Même dénominateur

Quand les fractions ont le même dénominateur, c’est simple : tu additionnes (ou soustrais) les numérateurs et tu gardes le dénominateur commun.

Dénominateurs différents

Quand les dénominateurs sont différents, tu dois d’abord les réduire au même dénominateur. Pour cela, tu cherches un dénominateur commun (de préférence le plus petit) et tu transformes chaque fraction.

Le plus petit commun dénominateur est le PPCM (plus petit commun multiple) des deux dénominateurs.

✅ Voir la correction

a) Dénominateur commun de 3 et 4 : 12.

2/3 = 8/12 et 5/4 = 15/12.

8/12 + 15/12 = 23/12

b) Dénominateur commun de 6 et 8 : 24.

7/6 = 28/24 et 3/8 = 9/24.

28/24 − 9/24 = 19/24. La fraction 19/24 est déjà irréductible (19 est premier). Résultat : 19/24

c) Dénominateur commun de 2, 3 et 4 : 12.

1/2 = 6/12, 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12.

6/12 + 8/12 + 9/12 = 23/12

Multiplication de fractions

La règle

La multiplication est l’opération la plus simple sur les fractions. Tu multiplies les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, sans avoir besoin d’un dénominateur commun.

Fraction d’une quantité

Prendre une fraction d’un nombre, c’est le multiplier par cette fraction.

Exemple : les 3/4 de 60 = (3/4) × 60 = (3 × 60) / 4 = 180/4 = 45.

En pratique, il est souvent plus commode de diviser d’abord par le dénominateur, puis de multiplier par le numérateur : 60 ÷ 4 = 15, puis 15 × 3 = 45.

Fraction de fraction

Prendre une fraction d’une fraction revient à multiplier les deux fractions entre elles.

✅ Voir la correction

Les filles portant des lunettes représentent 3/5 de 2/3 de la classe.

(3/5) × (2/3) = 6/15 = 2/5 de la classe.

Nombre de filles avec lunettes : (2/5) × 30 = 60/5 = 12 élèves.

Vérification : il y a 2/3 × 30 = 20 filles. Parmi elles, 3/5 × 20 = 12 portent des lunettes. Le résultat est cohérent.

Division de fractions

La règle

Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse. L’inverse de c/d est d/c (on retourne la fraction).

✅ Voir la correction

a) (5/6) ÷ (10/9) = (5/6) × (9/10)

Simplifions avant de multiplier : 5 et 10 se simplifient par 5 (reste 1 et 2), 9 et 6 se simplifient par 3 (reste 3 et 2).

= (1/2) × (3/2) = 3/4

b) (7/12) ÷ (21/8) = (7/12) × (8/21)

7 et 21 se simplifient par 7 (reste 1 et 3), 8 et 12 se simplifient par 4 (reste 2 et 3).

= (1/3) × (2/3) = 2/9

c) 4 ÷ (2/3) = 4 × (3/2) = 12/2 = 6

Vérification : 6 × (2/3) = 12/3 = 4. Le résultat est correct.

Comparer des fractions

Même dénominateur

Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Exemple : 5/7 > 3/7 car 5 > 3.

Même numérateur

Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur (car les parts sont plus grosses).

Exemple : 3/4 > 3/7 car quand on découpe en 4 parts, chaque part est plus grande qu’en découpant en 7.

Dénominateurs et numérateurs différents

La méthode générale est de réduire au même dénominateur, puis de comparer les numérateurs.

✅ Voir la correction

Dénominateur commun de 6, 4 et 8 : PPCM(6, 4, 8) = 24.

5/6 = 20/24

3/4 = 18/24

7/8 = 21/24

On compare les numérateurs : 18 < 20 < 21.

Ordre croissant : 3/4 < 5/6 < 7/8.

Fraction irréductible et PGCD

Définition d’une fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier, c’est-à-dire quand le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

Le PGCD de deux entiers est le plus grand nombre qui divise les deux à la fois. Il y a plusieurs méthodes pour le trouver.

Méthode 1 : liste des diviseurs

Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Diviseurs de 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Diviseurs communs : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand est 12. Donc PGCD(36, 48) = 12.

Méthode 2 : décomposition en facteurs premiers

36 = 2² × 3² et 48 = 2⁴ × 3. Le PGCD se forme en prenant chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant : PGCD = 2² × 3 = 4 × 3 = 12.

Méthode 3 : algorithme d’Euclide

C’est la méthode la plus efficace pour les grands nombres. Elle repose sur des divisions euclidiennes successives :

• 48 = 36 × 1 + 12
• 36 = 12 × 3 + 0

Le dernier reste non nul est 12. Donc PGCD(36, 48) = 12.

✅ Voir la correction

a) Algorithme d’Euclide :

126 = 84 × 1 + 42

84 = 42 × 2 + 0

Le dernier reste non nul est 42. Donc PGCD(84, 126) = 42.

b) On divise numérateur et dénominateur par 42 :

84/126 = (84 ÷ 42) / (126 ÷ 42) = 2/3.

La fraction irréductible est 2/3.

Voir aussi : les calculs avec les puissances pour compléter vos connaissances.

Exercices de synthèse

✅ Voir la correction

Calcul de A :

D’abord la parenthèse : 2/3 + 5/6. Dénominateur commun : 6.

2/3 = 4/6. Donc 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2.

Puis : (3/2) × (4/7) = 12/14 = 6/7 (on simplifie par 2).

Calcul de B :

D’abord la parenthèse : 3/4 − 1/3. Dénominateur commun : 12.

3/4 = 9/12 et 1/3 = 4/12. Donc 9/12 − 4/12 = 5/12.

Puis : (5/12) ÷ (5/12) = (5/12) × (12/5) = 60/60 = 1.

✅ Voir la correction

Eau initialement dans le réservoir : 3/5 × 60 = 36 litres.

Eau retirée : 1/4 × 36 = 9 litres.

Eau restante : 36 − 9 = 27 litres.

Fraction du réservoir remplie : 27/60. Simplifions : PGCD(27, 60) = 3. Donc 27/60 = 9/20.

Vérification par les fractions : On retire 1/4 de ce qu’il y a, il reste 3/4 de ce qu’il y a. Le réservoir contient (3/4) × (3/5) = 9/20 de sa capacité. On retrouve bien 9/20 × 60 = 27 litres.

Aspects didactiques : les fractions en cycle 3

Progression dans les programmes

Les fractions sont introduites dès le CM1 et constituent l’un des apprentissages les plus longs et les plus complexes du cycle 3 :

• CM1 : fractions simples (1/2, 1/4, 1/3…) comme partage d’une unité, placement sur une droite graduée, écriture sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.
• CM2 : fractions égales, comparaison, addition de fractions de même dénominateur, lien fraction-décimal pour les fractions décimales (1/10, 1/100…).
• 6ème : addition et soustraction avec dénominateurs différents, multiplication, fraction irréductible.

Difficultés courantes des élèves

• La fraction n’est pas deux nombres : les élèves voient souvent 3/4 comme « un 3 et un 4 » au lieu d’un seul nombre. C’est pourquoi certains additionnent numérateurs et dénominateurs séparément.
• Le sens du dénominateur : « plus le dénominateur est grand, plus c’est petit » est contre-intuitif. 1/8 est plus petit que 1/4 alors que 8 > 4.
• La fraction comme résultat d’une division : comprendre que 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75 est un passage conceptuel difficile.

✅ Voir la correction

Analyse de l’erreur : L’élève additionne les numérateurs (1 + 1 = 2) et les dénominateurs (3 + 4 = 7). Il traite les deux parties de la fraction comme des nombres indépendants, sans comprendre que la fraction est un nombre unique et que les dénominateurs indiquent la taille des parts.

Pourquoi c’est faux : 1/3 ≈ 0,333 et 1/4 = 0,25. Leur somme est environ 0,583. Or 2/7 ≈ 0,286, ce qui est même plus petit que 1/3 seul. Le résultat est absurde.

Situation concrète de remédiation :

Prends une bande de papier. Plie-la en 3 et colorie 1 part (= 1/3). Prends une deuxième bande identique. Plie-la en 4 et colorie 1 part (= 1/4). Colle les deux parties coloriées bout à bout sur une troisième bande.

L’élève voit que le total dépasse clairement 1/2 de la bande. Puis replie une bande en 7 et montre que 2 parts sur 7 font nettement moins que 1/2. La contradiction est visible : 2/7 ne peut pas être la bonne réponse.

On peut ensuite guider l’élève : pour additionner 1/3 et 1/4, il faut découper les deux bandes en parts de même taille (12èmes). 1/3 = 4/12 et 1/4 = 3/12. Total = 7/12, ce qui correspond bien à la partie coloriée.

Les fractions sont un sujet riche qui demande à la fois de la rigueur calculatoire et une bonne compréhension conceptuelle. Pour le CRPE, entraîne-toi sur les quatre opérations, sois à l’aise avec le PGCD et la simplification, et prépare-toi aux questions de didactique en connaissant les erreurs types des élèves et les remédiations concrètes à proposer.