Nombres et calculs : calculs avec les fractions décimales – Cours de Maths CRPE

Les fractions décimales sont au coeur du programme de mathematiques du CRPE. Elles constituent le pont entre les fractions et les nombres décimaux, et leur maitrise est indispensable pour comprendre la numeration décimale. Dans cet article, tu vas étudier en profondeur la définition des fractions décimales, leur lien avec l écriture décimale, les techniques de conversion, les opérations, le placement sur la droite graduee et les enjeux didactiques aux cycles 2 et 3.

Qu est-ce qu une fraction décimale

Définition et exemples

Une fraction décimale est une fraction dont le denominateur est une puissance de 10 : 10, 100, 1 000, 10 000, etc. Par exemple, 3/10, 47/100, 256/1000 et 9/10000 sont des fractions décimales.

En revanche, 1/3, 2/7 ou 5/6 ne sont pas des fractions décimales car leurs denominateurs (3, 7, 6) ne sont pas des puissances de 10.

Fractions décimales et numeration de position

Les fractions décimales prolongent le système de numeration de position vers la droite de la virgule. Dans le nombre 3,47 :

• 3 represente 3 unites
• 4 represente 4 dixiemes, soit 4/10
• 7 represente 7 centiemes, soit 7/100

On peut donc ecrire : 3,47 = 3 + 4/10 + 7/100 = 300/100 + 40/100 + 7/100 = 347/100. Chaque nombre décimal peut ainsi etre ecrit comme une fraction décimale, et reciproquement.

Le système de numeration de position fonctionne de maniere symétrique par rapport a la virgule. A gauche, chaque rang vaut 10 fois le rang précédent (unites, dizaines, centaines). A droite, chaque rang vaut un dixieme du rang précédent (dixiemes, centiemes, milliemes).

Distinction entre fraction décimale et fraction quelconque

Toute fraction décimale peut s ecrire sous forme décimale (avec un nombre fini de chiffres apres la virgule). La réciproque est vraie : tout nombre décimal peut s ecrire comme une fraction décimale.

En revanche, une fraction quelconque ne donne pas toujours un nombre décimal. Par exemple, 1/3 = 0,333… est un développement décimal infini periodique. Pour qu une fraction irreductible a/b soit décimale, il faut que b ne contienne que des facteurs 2 et 5 dans sa decomposition en facteurs premiers.

Cas des fractions dont le denominateur est un produit de 2 et de 5

Toute fraction dont le denominateur ne contient que des facteurs 2 et 5 peut etre transformee en fraction décimale. Pour cela, tu multiplies numerateur et denominateur par la puissance de 2 ou de 5 manquante.

Par exemple : 3/8 = 3/(2³) = 3 x 5³ / (2³ x 5³) = 375/1000 = 0,375. Autre exemple : 7/25 = 7/(5²) = 7 x 2² / (5² x 2²) = 28/100 = 0,28.

Cette technique est tres utile au CRPE quand on te demande de convertir une fraction en écriture décimale sans poser de division.

Le lien entre fractions décimales et nombres décimaux

Passage de la fraction décimale au nombre décimal

Pour convertir une fraction décimale en nombre décimal, tu divises le numerateur par le denominateur, ce qui revient a placer la virgule au bon endroit.

• 47/10 = 4,7 (la virgule est placee un rang avant la fin du numerateur)
• 47/100 = 0,47 (la virgule est placee deux rangs avant la fin)
• 47/1000 = 0,047 (trois rangs)
• 3456/100 = 34,56 (deux rangs)

La regle est simple : le nombre de chiffres apres la virgule est egal au nombre de zeros du denominateur. Si le denominateur est 100, tu as deux chiffres apres la virgule ; si c est 1 000, tu en as trois.

Passage du nombre décimal a la fraction décimale

L opération inverse est tout aussi importante. Pour convertir 5,23 en fraction décimale, tu comptes le nombre de chiffres apres la virgule (ici 2), donc le denominateur est 100. Tu ecris le nombre sans virgule au numerateur : 5,23 = 523/100.

Autres exemples :

• 0,7 = 7/10
• 3,045 = 3045/1000
• 12,1 = 121/10
• 0,0056 = 56/10000

Decomposition en somme de fractions décimales

Tout nombre décimal peut se decomposer en somme de fractions décimales correspondant a chaque position. Pour 4,735 :

4,735 = 4 + 7/10 + 3/100 + 5/1000

Ou encore : 4,735 = 4000/1000 + 700/1000 + 30/1000 + 5/1000 = 4735/1000.

Cette decomposition est fondamentale en didactique car elle permet aux eleves de comprendre la signification de chaque chiffre dans l écriture décimale.

On peut aussi decomposer differemment : 4,735 = 47/10 + 35/1000 ou 4,735 = 473/100 + 5/1000. Ces decompositions alternatives montrent la souplesse du système décimal.

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347/100 = 3,47 = 3 + 4/10 + 7/100.

56/1000 = 0,056 = 0 + 0/10 + 5/100 + 6/1000.

12045/10000 = 1,2045 = 1 + 2/10 + 0/100 + 4/1000 + 5/10000.

6,08 = 608/100.

0,205 = 205/1000.

14,7 = 147/10.

Conversions entre fractions décimales

Fractions décimales equivalentes

Deux fractions décimales sont equivalentes si elles representent le meme nombre. Pour passer d une fraction décimale a une fraction equivalente, tu multiplies ou divises le numerateur et le denominateur par la meme puissance de 10.

Par exemple : 3/10 = 30/100 = 300/1000. Tu as multiplie numerateur et denominateur par 10, puis par 10 a nouveau.

Inversement : 450/1000 = 45/100. Tu as divise numerateur et denominateur par 10. Attention : si cette division donne un numerateur non entier, tu ne peux pas la faire tout en restant dans le cadre des fractions décimales.

Reduction au meme denominateur

Pour comparer ou additionner des fractions décimales, tu dois les ramener au meme denominateur. La méthode consiste a choisir le plus grand denominateur parmi les fractions en jeu.

Pour comparer 3/10 et 47/100, tu convertis 3/10 en centiemes : 3/10 = 30/100. Tu peux alors comparer : 30/100 < 47/100, donc 3/10 < 47/100.

Pour comparer 7/10, 63/100 et 245/1000, tu convertis tout en milliemes : 7/10 = 700/1000, 63/100 = 630/1000, 245/1000 reste 245/1000. L ordre est : 245/1000 < 630/1000 < 700/1000.

Simplification de fractions décimales

Simplifier une fraction décimale revient a diviser le numerateur et le denominateur par un meme nombre. Par exemple : 250/1000 = 25/100 = 1/4. Dans ce cas, 1/4 n est plus une fraction décimale au sens strict (son denominateur n est pas une puissance de 10), mais elle represente le meme nombre.

Au CRPE, on te demande souvent de simplifier une fraction décimale pour obtenir la fraction irreductible. Pour 350/1000 : tu divises par 50, tu obtiens 7/20. Pour vérifier que 7/20 est irreductible, tu constates que 7 est premier et ne divise pas 20.

Autre exemple : 450/100 = 45/10 = 9/2. La fraction 9/2 est irreductible car pgcd(9, 2) = 1.

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150/1000 : on divise par 50, 150/1000 = 3/20. Vérification : pgcd(3, 20) = 1, c est bien irreductible. Résultat : 3/20.

240/100 : on divise par 20, 240/100 = 12/5. Vérification : pgcd(12, 5) = 1. Résultat : 12/5.

75/10 : on divise par 5, 75/10 = 15/2. Vérification : pgcd(15, 2) = 1. Résultat : 15/2.

625/10000 : on divise par 625, 625/10000 = 1/16. Vérification : pgcd(1, 16) = 1. Résultat : 1/16.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur le calcul mental au CRPE.

Opérations sur les fractions décimales

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire des fractions décimales, tu les ramenes au meme denominateur, puis tu additionnes ou soustrais les numerateurs.

Exemple : 3/10 + 47/100 = 30/100 + 47/100 = 77/100 = 0,77.

Exemple : 5/10 – 23/100 = 50/100 – 23/100 = 27/100 = 0,27.

Quand les fractions décimales sont deja au meme denominateur, c est immediat : 345/1000 + 218/1000 = 563/1000 = 0,563.

Multiplication

Pour multiplier deux fractions décimales, tu multiplies les numerateurs entre eux et les denominateurs entre eux.

Exemple : 3/10 x 7/100 = 21/1000 = 0,021.

Exemple : 25/100 x 4/10 = 100/1000 = 1/10 = 0,1.

Tu remarques que le produit de deux fractions décimales est toujours une fraction décimale, car le produit de deux puissances de 10 est une puissance de 10 : 10^a x 10^b = 10^a+b.

Division

Diviser par une fraction décimale revient a multiplier par son inverse. Pour 7/10 ÷ 3/100 : l inverse de 3/100 est 100/3, donc 7/10 x 100/3 = 700/30 = 70/3.

Attention : le quotient de deux fractions décimales n est pas forcement une fraction décimale. Dans l exemple ci-dessus, 70/3 n est pas une fraction décimale car 3 n est pas une puissance de 10.

En revanche, 6/10 ÷ 3/100 = 6/10 x 100/3 = 600/30 = 20/1 = 20, qui est un entier (et donc une fraction décimale triviale : 20/1).

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7/10 + 23/100 = 70/100 + 23/100 = 93/100 = 0,93.

456/1000 – 3/10 = 456/1000 – 300/1000 = 156/1000 = 0,156. Simplifiee : 156/1000 = 39/250.

15/100 x 4/10 = 60/1000 = 6/100 = 0,06. Simplifiee : 3/50.

9/10 ÷ 3/100 = 9/10 x 100/3 = 900/30 = 30.

Les fractions décimales sur la droite graduee

Placer des fractions décimales sur la droite graduee

La droite graduee est l outil de référence pour visualiser les fractions décimales. Pour placer 7/10 sur une droite graduee de 0 a 1, tu divises le segment [0 ; 1] en 10 parts egales et tu repères la septieme graduation.

Pour placer 37/100, tu divises d abord le segment [0 ; 1] en 10 parts egales (dixiemes), puis tu repères le troisieme dixieme (0,3) et tu divises l intervalle [0,3 ; 0,4] en 10 parts egales (centiemes). La septieme graduation correspond a 37/100 = 0,37.

Cette méthode de zoom progressif est fondamentale en didactique : elle montre aux eleves que entre deux nombres décimaux, on peut toujours en trouver un autre, propriété de densite des décimaux.

Encadrer par des fractions décimales

Encadrer un nombre par des fractions décimales consiste a trouver deux fractions décimales consecutives qui l entourent. Par exemple, pour encadrer 1/3 par des fractions décimales de denominateur 10 : 3/10 < 1/3 < 4/10, soit 0,3 < 1/3 < 0,4.

Pour un encadrement plus precis, on utilise un denominateur plus grand : 33/100 < 1/3 < 34/100, soit 0,33 < 1/3 < 0,34. Encore plus precis : 333/1000 < 1/3 < 334/1000.

Intercaler des fractions décimales

Entre deux fractions décimales, on peut toujours intercaler une autre fraction décimale. Entre 3/10 et 4/10, tu peux intercaler 35/100, 31/100, 39/100, etc. (il y en a une infinite).

Cette propriété est liee a la densite des nombres décimaux dans les nombres reels. Elle est importante en didactique car elle aide les eleves a comprendre que les décimaux ne sont pas « separes » comme les entiers.

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1) 3/10 = 0,3 se place au troisieme dixieme. 7/10 = 0,7 se place au septieme dixieme. 35/100 = 0,35 se place entre 0,3 et 0,4, plus pres de 0,3 (a la moitie de l intervalle [0,3 ; 0,4]).

2) 2/7 ≈ 0,2857… Donc 2 x 100 / 7 ≈ 28,57. La partie entiere est 28. Encadrement : 28/100 < 2/7 < 29/100, soit 0,28 < 2/7 < 0,29.

3) Entre 4/10 et 5/10 (soit entre 40/100 et 50/100), on peut prendre par exemple : 41/100, 45/100 et 48/100 (soit 0,41, 0,45 et 0,48).

Conversion entre fractions et fractions décimales

Convertir une fraction quelconque en fraction décimale

Pour convertir une fraction quelconque en fraction décimale (quand c est possible), tu dois transformer le denominateur en puissance de 10. Si le denominateur ne contient que des facteurs 2 et 5, tu peux y arriver en multipliant numerateur et denominateur par les facteurs manquants.

Exemples :

• 3/4 = 3/(2²) = 3 x 25 / (4 x 25) = 75/100 = 0,75
• 7/8 = 7/(2³) = 7 x 125 / (8 x 125) = 875/1000 = 0,875
• 9/20 = 9/(4 x 5) = 9 x 5 / (20 x 5) = 45/100 = 0,45
• 11/25 = 11 x 4 / (25 x 4) = 44/100 = 0,44

Fractions non décimales

Certaines fractions ne peuvent pas etre converties en fractions décimales. Une fraction irreductible a/b est décimale si et seulement si b = 2^p x 5^q (avec p et q des entiers naturels).

Exemples de fractions non décimales :

• 1/3 : le denominateur 3 n est ni un 2 ni un 5, donc non décimal (0,333…)
• 1/6 : 6 = 2 x 3, la presence du 3 empeche d etre décimal (0,1666…)
• 1/7 : le denominateur 7 n est ni un 2 ni un 5, donc non décimal (0,142857142857…)
• 5/12 : 12 = 2² x 3, la presence du 3 empeche d etre décimal

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3/8 : 8 = 2³, ne contient que des facteurs 2, donc décimale. 3/8 = 3 x 125/1000 = 375/1000 = 0,375.

5/12 : 12 = 2² x 3, contient un facteur 3, donc non décimale.

7/40 : 40 = 2³ x 5, ne contient que des 2 et des 5, donc décimale. 7/40 = 7 x 25/1000 = 175/1000 = 0,175.

11/30 : 30 = 2 x 3 x 5, contient un facteur 3, donc non décimale.

Voir aussi : les calculs avec les puissances pour compléter vos connaissances.

9/125 : 125 = 5³, ne contient que des 5, donc décimale. 9/125 = 9 x 8/1000 = 72/1000 = 0,072.

Comparaison et ordre des fractions décimales

Comparer des fractions décimales de meme denominateur

Si deux fractions décimales ont le meme denominateur, il suffit de comparer les numerateurs. 47/100 < 53/100 car 47 < 53.

Cette propriété decoule directement du fait que la fonction x → x/n est croissante pour n positif.

Comparer des fractions décimales de denominateurs differents

Tu ramenes les fractions au meme denominateur (le plus grand), puis tu compares les numerateurs. Pour comparer 3/10 et 27/100 : 3/10 = 30/100, et 30/100 > 27/100, donc 3/10 > 27/100.

Autre méthode : tu convertis les fractions en écritures décimales. 3/10 = 0,3 et 27/100 = 0,27. Tu compares : 0,3 > 0,27, donc 3/10 > 27/100.

Ranger des fractions décimales

Pour ranger une serie de fractions décimales, la méthode la plus sure est de les convertir toutes au meme denominateur, puis de ranger les numerateurs.

Exemple : ranger dans l ordre croissant 7/10, 63/100, 701/1000 et 6/10.

Tout en milliemes : 7/10 = 700/1000, 63/100 = 630/1000, 701/1000 reste 701/1000, 6/10 = 600/1000.

Ordre croissant : 600/1000 < 630/1000 < 700/1000 < 701/1000, soit 6/10 < 63/100 < 7/10 < 701/1000.

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Tout en milliemes : 45/100 = 450/1000, 5/10 = 500/1000, 401/1000 reste 401/1000, 4/10 = 400/1000, 49/100 = 490/1000.

Ordre : 400/1000 < 401/1000 < 450/1000 < 490/1000 < 500/1000.

Résultat : 4/10 < 401/1000 < 45/100 < 49/100 < 5/10.

Didactique des fractions décimales aux cycles 2 et 3

Introduction des fractions décimales au cycle 2

Au cycle 2, les fractions décimales ne sont pas enseignees en tant que telles. Cependant, les eleves manipulent des situations preparatoires : partage d une unite en 10 parts egales (gateau, bande de papier, regle graduee en centimetres et millimetres).

L objectif est de construire l intuition du dixieme avant d introduire formellement la fraction 1/10. Le materiel concret (reglettes, bandes unitaires decoupees en 10) est indispensable a cette etape.

Construction des fractions décimales au cycle 3

Au CM1, les fractions décimales sont introduites a partir de la graduation d une droite numerique et du partage d une unite. Les eleves apprennent que 1/10 est le dixieme de l unite, que 1/100 est le centieme, etc.

La progression recommandee est :

1. Partage d une unite en 10 : introduction de 1/10, 2/10, …, 9/10
2. Lien avec l écriture décimale : 1/10 = 0,1, 7/10 = 0,7
3. Extension aux centiemes : 1/100 = 0,01, puis aux milliemes
4. Decomposition : 3,47 = 3 + 4/10 + 7/100 = 347/100
5. Opérations : addition de fractions décimales de meme denominateur, puis de denominateurs differents

Difficultes des eleves

Les difficultes les plus frequentes chez les eleves sont :

• Confondre le numerateur et le denominateur : ecrire 10/3 au lieu de 3/10 pour « trois dixiemes ».
• Ne pas comprendre l equivalence entre fractions décimales : ne pas voir que 3/10 = 30/100 = 300/1000.
• Traiter la partie décimale comme un entier : penser que 0,27 > 0,3 car 27 > 3.
• Additionner les denominateurs : ecrire 3/10 + 7/100 = 10/110.
• Ne pas faire le lien entre fraction décimale et écriture a virgule : traiter 47/100 et 0,47 comme des objets differents.

Situations didactiques

Les situations les plus pertinentes pour enseigner les fractions décimales sont :

Nous vous conseillons également notre cours sur les nombres premiers.

• La bande unitaire : une bande de papier representant 1 unite, que l eleve decoupe en 10 parts egales pour materialiser les dixiemes.
• La droite graduee : graduer progressivement en dixiemes, puis en centiemes par zoom.
• Le tableau de conversion : un tableau avec les colonnes unites, dixiemes, centiemes, milliemes pour placer les chiffres.
• La monnaie : 1 euro = 100 centimes, donc 1 centime = 1/100 d euro = 0,01 euro.
• Les mesures : 1 cm = 1/100 de metre = 0,01 m ; 1 mm = 1/1000 de metre = 0,001 m.

Entrainement type CRPE

Serie 1 : conversions et calculs

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1) 4,056 = 4056/1000 = 4 + 0/10 + 5/100 + 6/1000.

2) 7/10 + 3/100 + 15/1000 = 700/1000 + 30/1000 + 15/1000 = 745/1000 = 0,745.

3) 21/56 : on simplifie par 7, 21/56 = 3/8. Le denominateur 8 = 2³ ne contient que des facteurs 2, donc oui, c est une fraction décimale. 3/8 = 375/1000 = 0,375.

4) Tout en milliemes : 0,7 = 700/1000, 69/100 = 690/1000, 701/1000, 7/10 = 700/1000. Ordre decroissant : 701/1000 > 0,7 = 7/10 > 69/100. Résultat : 701/1000 > 0,7 = 7/10 > 69/100.

Serie 2 : problème didactique

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Analyse de l erreur : l eleve traite la partie décimale comme un nombre entier independant. Il compare 12 (les chiffres apres la virgule de 0,12) avec 9 (le chiffre apres la virgule de 0,9), sans tenir compte du rang de chaque chiffre. Il ne voit pas que 0,9 = 0,90 et que 90 > 12.

Remediation 1 : travail sur la droite graduee. Faire placer 0,12 et 0,9 sur une droite graduee en dixiemes. L eleve constate visuellement que 0,9 est beaucoup plus a droite que 0,12. Puis faire zoomer entre 0,1 et 0,2 pour placer 0,12, et montrer que 0,12 est a peine plus grand que 0,1.

Remediation 2 : travail sur les fractions décimales. Convertir les deux nombres en centiemes : 0,12 = 12/100 et 0,9 = 90/100. En comparant 12 et 90, l eleve voit que 12/100 < 90/100, donc 0,12 < 0,9. Faire systematiquement ecrire les décimaux avec le meme nombre de chiffres apres la virgule avant de comparer.

Serie 3 : synthese

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1) 2,3 = 230/100 et 2,4 = 240/100. Les fractions de denominateur 100 comprises entre ces deux valeurs sont : 231/100, 232/100, 233/100, …, 239/100, soit 9 fractions (de 231 a 239 au numerateur).

2) 147/200 : le denominateur 200 = 2³ x 5² ne contient que des facteurs 2 et 5, donc c est une fraction décimale. Pour trouver l écriture décimale : 147/200 = 147 x 5 / (200 x 5) = 735/1000 = 0,735.

3) (3/10)² = 3²/10² = 9/100 = 0,09.

Les fractions décimales sont un sujet incontournable au CRPE, tant sur le plan mathematique que didactique. Retiens les points suivants : une fraction décimale a un denominateur en puissance de 10, elle se convertit en écriture décimale en placant la virgule selon le nombre de zeros du denominateur, les opérations se font au meme denominateur, et en didactique, le passage entre représentation fractionnaire, écriture décimale et droite graduee doit etre travaille en permanence avec les eleves.