Les entiers relatifs sont les nombres entiers qui peuvent être positifs, négatifs ou nuls. Maîtriser les quatre opérations avec ces nombres est fondamental pour le CRPE, car ils interviennent aussi bien dans les exercices de calcul pur que dans les problèmes de didactique. Ce cours complet couvre l’addition, la soustraction, la multiplication et la division des entiers relatifs, la règle des signes, les priorités opératoires et les aspects didactiques que tu dois connaître pour l’épreuve.
Rappels sur les entiers relatifs
Les entiers relatifs forment l’ensemble noté Z (du mot allemand « Zahlen », qui signifie « nombres »). Cet ensemble contient :
- Les entiers positifs : +1, +2, +3, … (ou simplement 1, 2, 3, …)
- Zéro : 0 (ni positif, ni négatif)
- Les entiers négatifs : -1, -2, -3, …
On peut les représenter sur une droite graduée : les positifs sont à droite de zéro, les négatifs à gauche. Plus un nombre est à droite, plus il est grand.
Vocabulaire indispensable
Chaque nombre relatif est composé de deux éléments :
- Son signe : positif (+) ou négatif (-)
- Sa valeur absolue (ou distance à zéro) : c’est le nombre sans son signe. Par exemple, la valeur absolue de -7 est 7, notée |-7| = 7
Deux nombres qui ont la même valeur absolue mais des signes opposés sont dits opposés. Par exemple, +5 et -5 sont opposés. Leur somme vaut toujours 0.
À retenir
Un nombre relatif = un signe + une valeur absolue. L’opposé de a est -a. On a toujours a + (-a) = 0. La valeur absolue de a, notée |a|, est la distance de a à zéro sur la droite graduée.
Comparaison des entiers relatifs
Les règles de comparaison sont les suivantes :
- Tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif
- Zéro est supérieur à tout nombre négatif et inférieur à tout nombre positif
- Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue
- Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue
Exemples : -3 > -7 (car 3 < 7) ; -100 < 1 (négatif < positif) ; -2 > -15
️ Erreur fréquente
Parmi les négatifs, le plus « grand » en valeur absolue est en fait le plus petit. -100 est plus petit que -1, même si 100 > 1. Visualise la droite graduée : -100 se trouve bien plus à gauche que -1.
L’addition des entiers relatifs
L’addition de relatifs se décompose en deux cas selon que les nombres ont le même signe ou des signes contraires.
Cas 1 : même signe
Quand tu additionnes deux nombres de même signe, tu additionnes leurs valeurs absolues et tu gardes le signe commun.
À retenir
Même signe : on additionne les valeurs absolues et on garde le signe commun.
(+3) + (+5) = +(3 + 5) = +8
(-4) + (-7) = -(4 + 7) = -11
Cas 2 : signes contraires
Quand tu additionnes deux nombres de signes contraires, tu soustrais la plus petite valeur absolue de la plus grande, et tu gardes le signe de celui qui a la plus grande valeur absolue.
À retenir
Signes contraires : on soustrait les valeurs absolues et on prend le signe de celui qui a la plus grande valeur absolue.
(+8) + (-3) = +(8 – 3) = +5 (car |+8| > |-3|)
(-9) + (+4) = -(9 – 4) = -5 (car |-9| > |+4|)
Exemples supplémentaires :
Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les racines carrées et calculs.
- (-12) + (+12) = 0 (nombres opposés)
- (-3) + (+10) = +7
- (+6) + (-15) = -9
- (-25) + (-8) = -33
Astuce
Pense à un thermomètre ou à un compte bancaire. Ajouter un nombre positif, c’est monter en température (ou recevoir de l’argent). Ajouter un nombre négatif, c’est descendre (ou dépenser). Cela rend l’addition intuitive.
La soustraction des entiers relatifs
La soustraction de relatifs se ramène toujours à une addition. C’est la règle fondamentale que tu dois retenir.
À retenir
Soustraire un nombre, c’est additionner son opposé.
a – b = a + (-b)
Exemples : 5 – 8 = 5 + (-8) = -3 et (-4) – (-6) = (-4) + (+6) = +2
Les différents cas
Soustraire un positif :
- (+7) – (+3) = (+7) + (-3) = +4
- (-2) – (+5) = (-2) + (-5) = -7
Soustraire un négatif :
- (+7) – (-3) = (+7) + (+3) = +10
- (-2) – (-5) = (-2) + (+5) = +3
️ Erreur fréquente
Les deux signes moins consécutifs dans (-2) – (-5) se transforment en plus : (-2) + (+5). Beaucoup d’élèves oublient cette transformation et gardent le signe moins, ce qui donne un résultat faux. Retiens : « moins moins = plus ».
Simplification d’écriture
Dans une suite d’additions et de soustractions, on peut simplifier l’écriture en supprimant les signes d’opération et les parenthèses superflues :
(+5) + (-3) – (+2) + (-1) s’écrit simplement : 5 – 3 – 2 – 1 = -1
La convention est la suivante : le premier nombre garde son signe (ou pas de signe s’il est positif), et les signes suivants indiquent si on ajoute ou si on retranche.
La multiplication des entiers relatifs
La multiplication de deux relatifs utilise la fameuse règle des signes.
La règle des signes pour la multiplication
À retenir
Le produit de deux nombres de même signe est positif.
Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.
(+) × (+) = (+) ; (-) × (-) = (+) ; (+) × (-) = (-) ; (-) × (+) = (-)
| × | Positif (+) | Négatif (-) |
|---|---|---|
| Positif (+) | + (positif) | – (négatif) |
| Négatif (-) | – (négatif) | + (positif) |
Exemples :
- (+4) × (+3) = +12
- (-4) × (-3) = +12
- (+4) × (-3) = -12
- (-4) × (+3) = -12
Produit de plusieurs relatifs
Quand tu multiplies plus de deux nombres relatifs, le signe du résultat dépend du nombre de facteurs négatifs :
À retenir
Si le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit est positif.
Si le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif.
Retrouvez les détails dans notre fiche sur le calcul mental au CRPE.
Exemple : (-2) × (+3) × (-4) × (-1) contient 3 facteurs négatifs (nombre impair), donc le résultat est négatif. La valeur absolue est 2 × 3 × 4 × 1 = 24. Résultat : -24.
Autre exemple : (-1) × (-2) × (-3) × (-4) contient 4 facteurs négatifs (nombre pair), donc le résultat est positif. Résultat : +24.
Astuce
Avant de calculer la valeur absolue, compte le nombre de signes moins. Si c’est pair, le résultat sera positif. Si c’est impair, il sera négatif. Cela te permet de déterminer le signe sans faire le calcul complet.
Cas particulier : multiplication par zéro
Tout nombre multiplié par zéro donne zéro : a × 0 = 0 × a = 0. Dans un produit de plusieurs facteurs, si l’un d’eux est nul, le produit entier est nul, quel que soit le signe des autres facteurs.
La division des entiers relatifs
La division de relatifs suit exactement la même règle des signes que la multiplication.
La règle des signes pour la division
À retenir
La règle des signes est identique pour la division :
(+) ÷ (+) = (+) ; (-) ÷ (-) = (+) ; (+) ÷ (-) = (-) ; (-) ÷ (+) = (-)
Même signe → résultat positif. Signes contraires → résultat négatif.
Exemples :
- (+12) ÷ (+4) = +3
- (-12) ÷ (-4) = +3
- (+12) ÷ (-4) = -3
- (-12) ÷ (+4) = -3
️ Erreur fréquente
La division par zéro est interdite. On ne peut jamais diviser par zéro, que le numérateur soit positif, négatif ou nul. Si tu tombes sur une division par zéro dans un calcul, c’est que l’expression n’a pas de sens.
Les priorités opératoires avec les relatifs
Quand un calcul mélange plusieurs opérations avec des relatifs, les règles de priorité sont les mêmes qu’avec les nombres positifs.
L’ordre des priorités
- Parenthèses : on calcule d’abord ce qui est entre parenthèses (du plus intérieur vers l’extérieur)
- Puissances : on calcule les puissances
- Multiplications et divisions : de gauche à droite
- Additions et soustractions : de gauche à droite
Exemples détaillés
Calcule : -3 + 4 × (-2)
- Multiplication d’abord : 4 × (-2) = -8
- Addition : -3 + (-8) = -3 – 8 = -11
Calcule : (-5)² – 3 × (-4 + 1)
- Parenthèse : -4 + 1 = -3
- Puissance : (-5)² = 25
- Multiplication : 3 × (-3) = -9
- Soustraction : 25 – (-9) = 25 + 9 = 34
Calcule : (-2) × (-3) + (-12) ÷ (+4) – 1
Ce thème est développé dans notre article sur les fractions et leurs règles.
- Multiplication : (-2) × (-3) = +6
- Division : (-12) ÷ (+4) = -3
- De gauche à droite : 6 + (-3) – 1 = 6 – 3 – 1 = 2
Astuce
Dans un calcul complexe, commence par repérer toutes les multiplications et divisions, calcule-les, puis remplace-les dans l’expression. Il te reste alors uniquement des additions et soustractions à effectuer de gauche à droite.
Propriétés des opérations sur les relatifs
Les opérations sur les relatifs conservent les mêmes propriétés que sur les entiers naturels.
Commutativité
- L’addition est commutative : a + b = b + a
- La multiplication est commutative : a × b = b × a
- La soustraction n’est PAS commutative : a – b ≠ b – a (en général)
- La division n’est PAS commutative : a ÷ b ≠ b ÷ a (en général)
Distributivité
À retenir
La multiplication est distributive sur l’addition et la soustraction :
a × (b + c) = a × b + a × c
a × (b – c) = a × b – a × c
Exemple : (-3) × (5 + (-2)) = (-3) × 5 + (-3) × (-2) = -15 + 6 = -9
Vérification : (-3) × (5 – 2) = (-3) × 3 = -9. Les deux méthodes donnent le même résultat.
Didactique des entiers relatifs pour le CRPE
Au CRPE, la partie didactique te demande de savoir comment enseigner les relatifs à l’école et au collège. Voici les points essentiels.
À quel niveau les relatifs sont-ils enseignés ?
Les programmes prévoient une introduction progressive :
- Cycle 3 (CM1-CM2-6ème) : première rencontre avec les nombres négatifs à travers le contexte des températures, des altitudes ou des dates (avant/après J.-C.). L’objectif est de repérer, nommer et comparer des relatifs.
- Cycle 4 (5ème) : les quatre opérations sont formalisées, la règle des signes est enseignée
Les représentations didactiques
Pour aider les élèves à comprendre les relatifs, on utilise plusieurs modèles :
- La droite graduée : modèle visuel de référence. Les positifs à droite, les négatifs à gauche
- Le thermomètre : les températures en dessous de zéro sont familières des élèves
- Les gains et les pertes : gagner (+) et perdre (-) dans un jeu de société
- Les étages d’un immeuble : les sous-sols sont les nombres négatifs
- Le compte bancaire : crédit (+) et débit (-)
Astuce
Pour le CRPE, retiens que la droite graduée est le modèle didactique le plus polyvalent. Il permet de travailler la comparaison, l’addition (par déplacement), la soustraction (par écart) et la notion d’opposé (par symétrie).
Les obstacles didactiques
Certaines difficultés reviennent systématiquement chez les élèves :
Voir aussi : les calculs avec les puissances pour compléter vos connaissances.
- L’extension de l’ordre : les élèves appliquent les règles des entiers naturels (-7 < -2 leur semble faux car 7 > 2)
- Le statut du signe moins : confusion entre le signe de l’opération (soustraction) et le signe du nombre (nombre négatif)
- Le produit de deux négatifs : « moins fois moins égale plus » semble contre-intuitif
- L’écriture simplifiée : le passage de (+3) + (-5) à 3 – 5 déstabilise certains élèves
️ Erreur fréquente
Au CRPE, on te demandera souvent d’analyser une erreur d’élève. Exemple type : un élève écrit -3 – 5 = -2 au lieu de -8. Son erreur est de soustraire 3 à 5 au lieu d’additionner les valeurs absolues. Il confond la soustraction des valeurs absolues avec l’addition de deux négatifs.
Exercices corrigés niveau CRPE
Ces exercices couvrent les calculs purs et les situations didactiques que tu peux rencontrer au concours.
️ Exercice 1
Calcule : (-7) + (+3) – (-5) + (-2) – (+4)
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On transforme toutes les soustractions en additions de l’opposé :
(-7) + (+3) + (+5) + (-2) + (-4)
Regroupons les positifs : +3 + 5 = +8
Regroupons les négatifs : -7 – 2 – 4 = -13
Résultat : 8 + (-13) = 8 – 13 = -5
️ Exercice 2
Calcule : (-3) × (+5) × (-2) × (-1)
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Signe : 3 facteurs négatifs (-3, -2, -1), nombre impair → résultat négatif.
Valeur absolue : 3 × 5 × 2 × 1 = 30
Résultat : -30
️ Exercice 3
Calcule en respectant les priorités : (-4)² + 3 × (-7 + 2) – (-6) ÷ 2
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Parenthèse : -7 + 2 = -5
Puissance : (-4)² = 16
Multiplication : 3 × (-5) = -15
Division : (-6) ÷ 2 = -3
Calcul final : 16 + (-15) – (-3) = 16 – 15 + 3 = 4
️ Exercice 4
Le lundi, la température est de -3°C. Le mardi, elle monte de 7°C. Le mercredi, elle baisse de 12°C. Le jeudi, elle remonte de 4°C. Quelle est la température le jeudi ?
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Lundi : -3°C
Mardi : -3 + 7 = +4°C
Mercredi : +4 – 12 = -8°C
Jeudi : -8 + 4 = -4°C
️ Exercice 5
Développe et simplifie : (-2) × (3x – 5)
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On applique la distributivité :
(-2) × (3x – 5) = (-2) × 3x + (-2) × (-5) = -6x + 10
Résultat : -6x + 10
️ Exercice 6
Calcule : [(-3) + (-5)] × [(-8) ÷ (+2) + 1]
Nous vous conseillons également notre cours sur les nombres premiers.
Voir la correction
Première parenthèse : (-3) + (-5) = -8
Deuxième parenthèse : (-8) ÷ (+2) + 1 = -4 + 1 = -3
Multiplication : (-8) × (-3) = +24
️ Exercice 7 (Didactique)
Un élève de 5ème écrit : (-4) × (-3) = -12. Analyse son erreur et propose une situation concrète pour l’aider à comprendre pourquoi le résultat est +12.
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Analyse de l’erreur : L’élève a correctement calculé la valeur absolue (4 × 3 = 12) mais n’a pas appliqué la règle des signes. Il a gardé le signe négatif, probablement parce que la présence de deux signes moins lui semble « très négatif ». Il n’a pas intégré que le produit de deux négatifs est positif.
Situation concrète : On peut utiliser la notion de « dettes annulées ». Si quelqu’un te retire (-) 3 dettes de 4 euros chacune (-4), tu gagnes 12 euros. Retirer une dette, c’est un gain. Donc (-3) × (-4) = +12.
On peut aussi partir du prolongement de la régularité : (-4) × 3 = -12, (-4) × 2 = -8, (-4) × 1 = -4, (-4) × 0 = 0. La suite augmente de 4 à chaque fois, donc (-4) × (-1) = +4, (-4) × (-2) = +8, (-4) × (-3) = +12.
️ Exercice 8
Range dans l’ordre croissant : -15 ; +3 ; -1 ; 0 ; -8 ; +7 ; -15 ; +1
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Les négatifs d’abord (du plus petit au plus grand) : -15 = -15, puis -8, puis -1
Ensuite 0, puis les positifs : +1, +3, +7
-15 = -15 < -8 < -1 < 0 < +1 < +3 < +7
FAQ sur les entiers relatifs au CRPE
Pourquoi « moins fois moins » donne « plus » ?
Plusieurs justifications existent. La plus convaincante pour des élèves est l’argument de la régularité : si tu continues la suite (-3) × 3 = -9, (-3) × 2 = -6, (-3) × 1 = -3, (-3) × 0 = 0, chaque résultat augmente de 3. Donc (-3) × (-1) = +3, (-3) × (-2) = +6, etc. Mathématiquement, c’est une conséquence de la distributivité.
Quelle est la différence entre -3² et (-3)² ?
-3² signifie « l’opposé de 3 au carré », soit -(3²) = -9. (-3)² signifie « (-3) au carré », soit (-3) × (-3) = +9. La différence est cruciale et les parenthèses changent tout le sens du calcul.
Comment vérifier un calcul avec des relatifs ?
Deux techniques : (1) refais le calcul en vérifiant chaque signe, (2) estime l’ordre de grandeur. Si tu additionnes deux négatifs et que tu trouves un positif, c’est qu’il y a une erreur. Si tu multiplies un positif par un négatif et que tu trouves un positif, c’est aussi une erreur. Le signe du résultat te donne un premier contrôle rapide.
Les relatifs sont-ils vraiment au programme de l’école primaire ?
Depuis les programmes de 2020, les nombres négatifs apparaissent dans les repères de progressivité du cycle 3. En CM1-CM2, les élèves découvrent les nombres négatifs dans des contextes concrets (températures, altitudes). Les opérations formelles sur les relatifs ne sont abordées qu’en 5ème. Mais au CRPE, tu dois maîtriser l’ensemble des connaissances, y compris celles qui ne sont pas directement enseignées en primaire.
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Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
