Algèbre et équations : résolution et applications – Cours de Maths CRPE

L’algèbre et la résolution d’équations font partie du coeur du CRPE. Que tu tombes sur un problème de mise en équation, un système a deux inconnues ou une inéquation, tu dois etre capable de traduire un enonce en langage mathematique, de resoudre proprement et de vérifier ton résultat. Ce cours reprend toutes les notions d’algèbre utiles pour le concours : équations du premier degré, systèmes d’équations lineaires, inéquations, mise en équation de problèmes concrets et approche didactique pour le cycle 3. Chaque partie contient des exemples detailles, des exercices corriges et des conseils pour gagner du temps le jour de l’epreuve.

Les équations du premier degré a une inconnue

Une équation du premier degré a une inconnue est une egalite contenant un nombre inconnu (le plus souvent note x) qui se ramene a la forme ax + b = 0 avec a different de 0. Le terme « premier degré » signifie que l’inconnue apparait uniquement a la puissance 1 : pas de x², pas de x³, pas de 1/x.

Principe de résolution

Resoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l’egalite vraie. La méthode repose sur un principe fondamental : tu peux effectuer la meme opération des deux cotes du signe egal sans changer l’ensemble des solutions.

Les deux opérations autorisees sont :

• Ajouter ou soustraire le meme nombre aux deux membres.
• Multiplier ou diviser les deux membres par le meme nombre non nul.

Le but est d’isoler x d’un cote de l’egalite.

Exemples detailles

Exemple 1 : Resous 3x + 7 = 22.

On isole le terme en x : 3x = 22 – 7 = 15. Puis on divise par 3 : x = 15/3 = 5.

Vérification : 3 × 5 + 7 = 15 + 7 = 22. C’est bon.

Exemple 2 : Resous 5x – 3 = 2x + 9.

On regroupe les termes en x a gauche et les constantes a droite : 5x – 2x = 9 + 3, soit 3x = 12, donc x = 4.

Vérification : 5 × 4 – 3 = 17 et 2 × 4 + 9 = 17. Les deux membres sont egaux.

Exemple 3 : Resous (2x + 1)/3 = (x – 4)/2.

On multiplie les deux membres par 6 (le PPCM de 3 et 2) : 2(2x + 1) = 3(x – 4), soit 4x + 2 = 3x – 12. On obtient 4x – 3x = -12 – 2, donc x = -14.

Vérification : (2 × (-14) + 1)/3 = (-28 + 1)/3 = -27/3 = -9. Et (-14 – 4)/2 = -18/2 = -9. Correct.

Équations avec parentheses

La première etape est toujours de developper les parentheses avant de regrouper les termes.

Exemple : 4(x – 2) – 3(2x + 1) = 5.

On developpe : 4x – 8 – 6x – 3 = 5, soit -2x – 11 = 5. On isole : -2x = 5 + 11 = 16, donc x = 16 / (-2) = -8.

Vérification : 4(-8 – 2) – 3(2 × (-8) + 1) = 4 × (-10) – 3 × (-15) = -40 + 45 = 5. Correct.

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a) 7x – 3x = 11 + 5, soit 4x = 16, donc x = 4. Vérification : 7 × 4 – 5 = 23 et 3 × 4 + 11 = 23.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les racines carrées et calculs.

b) On developpe : 6x – 8 = 5x + 6. Donc 6x – 5x = 6 + 8, soit x = 14. Vérification : 2(42 – 4) = 2 × 38 = 76 et 5 × 14 + 6 = 76.

c) On multiplie par 20 : 5(x + 3) = 4(2x – 1), soit 5x + 15 = 8x – 4. Donc 15 + 4 = 8x – 5x, soit 19 = 3x, donc x = 19/3. Vérification : (19/3 + 3)/4 = (28/3)/4 = 28/12 = 7/3 et (2 × 19/3 – 1)/5 = (38/3 – 3/3)/5 = (35/3)/5 = 35/15 = 7/3.

Les systèmes d’équations lineaires

Un système de deux équations a deux inconnues prend la forme :

ax + by = e

cx + dy = f

ou a, b, c, d, e, f sont des nombres connus et x, y les inconnues. Resoudre le système, c’est trouver le couple (x, y) qui satisfait les deux équations simultanement.

Méthode par substitution

Le principe est simple : tu exprimes une inconnue en fonction de l’autre dans une équation, puis tu remplaces dans la deuxieme.

Exemple : Resous le système : x + 2y = 7 et 3x – y = 14.

De la première équation, on tire x = 7 – 2y. On remplace dans la seconde : 3(7 – 2y) – y = 14, soit 21 – 6y – y = 14, donc 21 – 7y = 14, soit -7y = -7, d’ou y = 1. Puis x = 7 – 2 × 1 = 5.

Solution : (x, y) = (5, 1).

Vérification dans les deux équations : 5 + 2 = 7 (OK) et 15 – 1 = 14 (OK).

Méthode par combinaison lineaire

Le principe est de multiplier les équations par des coefficients adequats pour eliminer une inconnue lors de l’addition des deux équations.

Exemple : Resous le système : 2x + 3y = 12 et 5x – 3y = 9.

Les coefficients de y sont opposes (+3 et -3). On additionne directement : (2x + 5x) + (3y – 3y) = 12 + 9, soit 7x = 21, donc x = 3. On remplace dans la première : 6 + 3y = 12, donc 3y = 6, d’ou y = 2.

Solution : (x, y) = (3, 2).

Cas particuliers des systèmes

Un système de deux équations a deux inconnues a trois issues possibles :

• Une solution unique : les deux droites se coupent en un seul point. C’est le cas standard.
• Aucune solution (système incompatible) : les deux droites sont parallèles distinctes. Exemple : x + y = 3 et x + y = 5 n’ont aucune solution commune.
• Une infinite de solutions : les deux équations representent la meme droite. Exemple : x + y = 3 et 2x + 2y = 6 sont equivalentes.

Le discriminant du système est ad – bc. Si ad – bc ≠ 0, le système a une solution unique. Si ad – bc = 0, on est dans un cas degenere (pas de solution ou infinite).

Retrouvez les détails dans notre fiche sur le calcul mental au CRPE.

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a) De la seconde équation, x = 2 + y. On remplace dans la première : 3(2 + y) + 2y = 16, soit 6 + 3y + 2y = 16, donc 5y = 10 et y = 2. Puis x = 2 + 2 = 4. Solution : (4, 2). Vérification : 12 + 4 = 16 et 4 – 2 = 2.

b) La première équation est le double de la seconde : 4x + 6y = 2(2x + 3y) = 2 × 5 = 10. Les deux équations sont identiques. Le système a une infinite de solutions : tous les couples (x, y) verifiant 2x + 3y = 5, soit x = (5 – 3y)/2 pour tout reel y.

Mise en équation de problèmes concrets

La mise en équation est la competence la plus valorisee au CRPE. Tu recois un enonce en francais et tu dois le traduire en écriture mathematique, resoudre puis interpreter le résultat.

Méthode en quatre etapes

1. Choisis l’inconnue : designe par x (ou y, ou une lettre de ton choix) la grandeur recherchee. Precise toujours ce que represente l’inconnue et dans quelle unite elle s’exprime.
2. Traduis l’enonce en équation : repère les relations entre les quantites et ecris l’egalite correspondante.
3. Resous l’équation : applique les techniques vues precedemment.
4. Interprete et vérifié : la solution trouvee doit repondre a la question posee, avoir du sens dans le contexte et vérifier l’équation de depart.

Problèmes avec une inconnue

Problème 1 : Un agriculteur vend des oeufs au marche. Le matin, il en vend les 2/3. L’apres-midi, il en vend 15 de plus. A la fin de la journee, il lui reste 25 oeufs. Combien d’oeufs avait-il au depart ?

Soit x le nombre d’oeufs au depart. Le matin, il en vend (2/3)x. Il lui reste x – (2/3)x = (1/3)x. L’apres-midi, il vend 15 oeufs supplementaires. A la fin, il reste (1/3)x – 15 = 25.

Équation : (1/3)x – 15 = 25. Donc (1/3)x = 40, soit x = 120 oeufs.

Vérification : matin, il vend 80 oeufs, il en reste 40. Apres-midi, il en vend 15, il reste 40 – 15 = 25. Correct.

Problème 2 : L’age de Marie est le triple de l’age de son fils. Dans 12 ans, elle aura le double de son age. Quel est l’age de son fils ?

Soit x l’age du fils. Marie a 3x ans. Dans 12 ans, le fils aura x + 12 ans et Marie 3x + 12 ans. L’enonce dit que 3x + 12 = 2(x + 12).

On developpe : 3x + 12 = 2x + 24, soit x = 12. Le fils a 12 ans et Marie 36 ans.

Ce thème est développé dans notre article sur les fractions et leurs règles.

Vérification dans 12 ans : le fils aura 24 ans et Marie 48 ans. 48 = 2 × 24. Correct.

Problèmes avec deux inconnues

Problème 3 : Un cinema propose des tarifs differents : 8 euros pour un adulte et 5 euros pour un enfant. Un groupe de 15 personnes paie 99 euros au total. Combien y a-t-il d’adultes et d’enfants ?

Soit x le nombre d’adultes et y le nombre d’enfants.

Système : x + y = 15 et 8x + 5y = 99.

De la première équation : y = 15 – x. On remplace : 8x + 5(15 – x) = 99, soit 8x + 75 – 5x = 99, donc 3x = 24 et x = 8. Puis y = 15 – 8 = 7.

Il y a 8 adultes et 7 enfants. Vérification : 8 × 8 + 7 × 5 = 64 + 35 = 99 euros. Correct.

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Soit L la longueur et l la largeur. Le périmètre donne 2(L + l) = 48, soit L + l = 24. La condition sur la difference donne L = l + 6.

On remplace : (l + 6) + l = 24, soit 2l + 6 = 24, donc 2l = 18 et l = 9. Puis L = 9 + 6 = 15.

Le rectangle mesure 15 cm sur 9 cm.

Vérification : périmètre = 2(15 + 9) = 2 × 24 = 48 cm, et 15 – 9 = 6 cm. Correct.

Les inéquations du premier degré

Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. Au lieu d’un signe =, tu as un signe <, ≤, > ou ≥. La résolution donne un ensemble de solutions (un intervalle ou une reunion d’intervalles).

Regle fondamentale de l’inéquation

Tu peux effectuer les memes opérations que pour une équation, avec une difference capitale :

Exemples de résolution

Exemple 1 : Resous 3x – 7 ≥ 2x + 5.

On regroupe : 3x – 2x ≥ 5 + 7, soit x ≥ 12. L’ensemble des solutions est [12 ; +∞[.

Exemple 2 : Resous -2x + 8 < 14.

On isole : -2x < 14 – 8 = 6. On divise par -2 (negatif, on inverse) : x > -3. Solutions : ]-3 ; +∞[.

Exemple 3 : Resous 5 – 4x ≤ 3x + 12.

On regroupe : 5 – 12 ≤ 3x + 4x, soit -7 ≤ 7x, donc x ≥ -1. Solutions : [-1 ; +∞[.

Double inéquation

Parfois, l’enonce impose un encadrement du type a ≤ expression ≤ b. Il faut alors resoudre deux inéquations separees et prendre l’intersection des solutions.

Exemple : Resous -3 < 2x + 1 ≤ 9.

Première inéquation : 2x + 1 > -3, soit 2x > -4, donc x > -2.

Deuxieme inéquation : 2x + 1 ≤ 9, soit 2x ≤ 8, donc x ≤ 4.

L’intersection donne ]-2 ; 4].

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a) -5x + 3 > 18, soit -5x > 15. On divise par -5 (on inverse) : x < -3. Solutions : ]-∞ ; -3[.

b) 1 ≤ 3x – 2 donne 3 ≤ 3x, soit x ≥ 1. Et 3x – 2 < 13 donne 3x < 15, soit x < 5. Solutions : [1 ; 5[.

c) Soit x le montant des achats (en euros). La reduction de 15 % s’applique quand x ≥ 40. Le prix apres reduction est x – 0,15x = 0,85x. La condition est x ≥ 40. Donc le montant minimum avant reduction est 40 euros, ce qui donne apres reduction : 0,85 × 40 = 34 euros.

Proportionnalite et équations

La proportionnalite est omnipresente au CRPE et se traduit naturellement par des équations. Si deux grandeurs sont proportionnelles, leur rapport est constant.

Produit en croix

Si a/b = c/d (avec b et d non nuls), alors a × d = b × c. C’est le produit en croix, un outil rapide pour trouver une quatrieme proportionnelle.

Exemple : Si 3 kg de pommes coutent 4,50 euros, combien coutent 7 kg ?

3/4,50 = 7/x. Par produit en croix : 3x = 7 × 4,50 = 31,50, donc x = 31,50/3 = 10,50 euros.

Pourcentages et équations

Les problèmes de pourcentages se ramenent a des équations du premier degré.

Problème : Apres une hausse de 12 %, le prix d’un article est de 56 euros. Quel etait le prix initial ?

Soit x le prix initial. Apres hausse de 12 % : x + 0,12x = 1,12x = 56. Donc x = 56/1,12 = 50 euros.

Didactique de l’algèbre au cycle 3

Au CRPE, la deuxieme partie de l’epreuve porte souvent sur la didactique. Tu dois savoir comment introduire les notions algébriques aupres d’eleves de CM1, CM2 ou 6eme.

L’introduction de l’inconnue

Les programmes du cycle 3 n’utilisent pas encore la lettre x de maniere systematique. L’approche recommandee passe par des etapes progressives :

Nous vous conseillons également notre cours sur les nombres premiers.

1. Phrases a trous : « ___ + 5 = 12 ». L’eleve cherche le nombre manquant. C’est deja une équation.
2. Symboles divers : remplacer le trou par un carré, un point d’interrogation, un triangle. Cela habitue l’eleve a l’idee d’une valeur inconnue.
3. Passage a la lettre : introduire progressivement x ou une autre lettre en expliquant qu’elle joue le meme role que le carré.

La balance : un modele fondamental

Le modele de la balance a plateaux est tres efficace pour faire comprendre le concept d’équation. L’egalite correspond a l’equilibre. Quand tu ajoutes ou retires le meme poids des deux cotes, l’equilibre est maintenu. Ce modele permet de justifier concretement les opérations sur les équations.

Les erreurs typiques des eleves

• La lecture gauche-droite : l’eleve pense que le signe = signifie « ca donne ». Il ecrit 3 + 5 = 8 + 2 = 10 en chaine, sans respecter l’egalite.
• L’operateur inverse oublie : pour resoudre x + 7 = 15, l’eleve additionne au lieu de soustraire.
• Le signe moins devant une parenthese : distribuer le signe negatif pose problème meme au college. -(3 + 2) est souvent transforme a tort en -3 + 2.

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Soit x le montant paye par Anne (en euros). Paul paie 2x et Marc paie x + 5.

Le total : x + 2x + (x + 5) = 65, soit 4x + 5 = 65, donc 4x = 60 et x = 15.

Anne paie 15 euros, Paul paie 30 euros et Marc paie 20 euros.

Vérification : 15 + 30 + 20 = 65 euros. Paul paie bien le double d’Anne (30 = 2 × 15). Marc paie bien 5 de plus qu’Anne (20 = 15 + 5). Tout est coherent.

Les équations produit

Meme si elles sortent du cadre strict du premier degré, les équations produit apparaissent au CRPE quand un problème se factorise.

Le principe repose sur la regle du produit nul : A × B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0.

Exemple : (x – 3)(2x + 5) = 0.

Soit x – 3 = 0, donc x = 3. Soit 2x + 5 = 0, donc x = -5/2. L’équation a deux solutions : x = 3 et x = -5/2.

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Soit l la largeur (en metres). La longueur est L = 3l + 5. L’aire donne L × l = 300, soit (3l + 5) × l = 300.

On developpe : 3l² + 5l = 300, soit 3l² + 5l – 300 = 0. C’est une équation du second degré.

Le discriminant est Δ = 25 + 4 × 3 × 300 = 25 + 3600 = 3625. √3625 ≈ 60,21.

l = (-5 + 60,21) / 6 ≈ 9,20 metres (on ecarte la solution negative).

Donc L ≈ 3 × 9,20 + 5 = 32,60 metres.

Vérification : 9,20 × 32,60 ≈ 299,9 ≈ 300 m². Coherent.

L’algèbre au CRPE recouvre un champ large mais structurant : équations du premier degré, systèmes lineaires, inéquations, mise en équation et proportionnalite. Chacune de ces competences se retrouve dans les problèmes de l’epreuve ecrite. La cle de la reussite, c’est la rigueur dans la résolution (vérifier chaque signe, chaque etape) et la clarte dans la redaction (definir l’inconnue, poser l’équation, conclure par une phrase). Entraine-toi sur des sujets annales en chronometrant : la gestion du temps fait la difference entre une copie moyenne et une copie solide.