Les équations du premier degré : méthodes de résolution - Cours de Maths CRPE

Les équations du premier degré sont un passage oblige du CRPE. Tu dois savoir resoudre une équation, vérifier ta solution, mettre un problème en équation et connaitre les pieges classiques qui font perdre des points. Ce cours reprend tout en detail : la définition formelle, les techniques de résolution pas a pas, les équations avec fractions ou parentheses, la mise en équation de problèmes concrets, les cas particuliers (équation impossible, infinite de solutions) et la didactique pour le cycle 3. Chaque notion est accompagnee d’exemples complets et d’exercices corriges pour t’entrainer efficacement.

Qu’est-ce qu’une équation du premier degré ?

Une équation est une egalite mathematique contenant un nombre inconnu, generalement note x. Cette egalite n’est pas forcement vraie pour toutes les valeurs de x : elle ne l’est que pour certaines valeurs precises, qu’on appelle les solutions.

L’équation est dite « du premier degré » quand l’inconnue x apparait uniquement a la puissance 1. Tu ne trouveras ni x², ni x³, ni √x, ni 1/x dans une équation du premier degré.

La forme canonique est : ax + b = 0 (avec a ≠ 0).

Exemples d’équations du premier degré : 3x + 7 = 22, 5x – 3 = 2x + 9, (x + 1)/4 = 3.

Exemples qui ne sont pas du premier degré : x² = 25 (degré 2), 1/x = 3 (pas polynomial), √x = 4 (pas polynomial).

À retenir

Resoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l’egalite vraie. La ou les valeurs trouvees s’appellent les solutions de l’équation. L’ensemble de toutes les solutions s’appelle l’ensemble de solutions.

Le principe fondamental de résolution

La résolution d’une équation repose sur un principe simple mais puissant : tu peux effectuer la meme opération des deux cotes du signe egal sans modifier l’ensemble des solutions.

Les opérations autorisees

Ajouter le meme nombre aux deux membres : si a = b, alors a + c = b + c.
Soustraire le meme nombre des deux membres : si a = b, alors a – c = b – c.
Multiplier les deux membres par le meme nombre non nul : si a = b et c ≠ 0, alors ac = bc.
Diviser les deux membres par le meme nombre non nul : si a = b et c ≠ 0, alors a/c = b/c.

Le but est toujours le meme : isoler x d’un cote de l’egalite. La stratégie consiste a regrouper tous les termes en x d’un cote et toutes les constantes de l’autre.

Résolution pas a pas : la méthode en 4 etapes

Developpe les parentheses et simplifie chaque membre si nécessaire.
Regroupe les termes en x d’un cote (a gauche par convention) et les constantes de l’autre (a droite).
Simplifie pour obtenir la forme ax = c.
Divise par le coefficient de x pour isoler la solution.

Astuce

Quand un terme « change de cote » dans une équation, il change de signe. C’est la consequence directe de l’addition/soustraction du meme nombre aux deux membres. Par exemple, dans 3x + 7 = 22, passer le 7 a droite revient a soustraire 7 des deux cotes : 3x = 22 – 7 = 15.

Exemples complets de résolution

Équation simple

Resous 5x – 8 = 3x + 12.

Etape 1 : pas de parentheses a developper.

Etape 2 : on regroupe les x a gauche (5x – 3x) et les constantes a droite (12 + 8).

5x – 3x = 12 + 8

Etape 3 : 2x = 20.

Etape 4 : x = 20/2 = 10.

Vérification : 5 × 10 – 8 = 42 et 3 × 10 + 12 = 42. Les deux membres sont egaux. La solution est confirmee.

Équation avec parentheses

Resous 3(2x – 5) – 2(x + 4) = 7.

Etape 1 : on developpe. 6x – 15 – 2x – 8 = 7.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les racines carrées et calculs.

Etape 2 et 3 : on regroupe. (6x – 2x) + (-15 – 8) = 7, soit 4x – 23 = 7, donc 4x = 30.

Etape 4 : x = 30/4 = 15/2 = 7,5.

Vérification : 3(2 × 7,5 – 5) – 2(7,5 + 4) = 3(15 – 5) – 2(11,5) = 3 × 10 – 23 = 30 – 23 = 7. Correct.

️ Erreur fréquente

Quand un signe moins precede une parenthese, il faut distribuer le signe a tous les termes a l’interieur. Dans -2(x + 4), tu obtiens -2x – 8, pas -2x + 4. C’est l’erreur la plus frequente au CRPE sur ce type d’exercice.

Équation avec fractions

Resous (3x + 2)/4 = (x – 1)/3.

Pour supprimer les fractions, on multiplie les deux membres par le PPCM des denominateurs. Le PPCM de 4 et 3 est 12.

12 × (3x + 2)/4 = 12 × (x – 1)/3

3(3x + 2) = 4(x – 1)

9x + 6 = 4x – 4

9x – 4x = -4 – 6

5x = -10, donc x = -2.

Vérification : (3 × (-2) + 2)/4 = (-6 + 2)/4 = -4/4 = -1. Et (-2 – 1)/3 = -3/3 = -1. Les deux membres valent -1. Correct.

Équation avec fractions dans un seul membre

Resous x/2 + x/3 = 10.

On met les fractions au meme denominateur : 3x/6 + 2x/6 = 10, soit 5x/6 = 10. On multiplie par 6 : 5x = 60, donc x = 12.

Vérification : 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10. Correct.

️ Exercice

Resous les équations suivantes :

a) 8x – 3 = 5x + 12

b) 4(x – 3) – 2(3x + 1) = -18

c) (2x – 5)/3 = (x + 7)/4

d) x/5 + x/4 = 9

Voir la correction

a) 8x – 5x = 12 + 3, soit 3x = 15, donc x = 5. Vérification : 40 – 3 = 37 et 25 + 12 = 37.

b) On developpe : 4x – 12 – 6x – 2 = -18, soit -2x – 14 = -18, donc -2x = -4 et x = 2. Vérification : 4(-1) – 2(7) = -4 – 14 = -18.

c) On multiplie par 12 : 4(2x – 5) = 3(x + 7), soit 8x – 20 = 3x + 21, donc 5x = 41 et x = 41/5 = 8,2. Vérification : (16,4 – 5)/3 = 11,4/3 = 3,8 et (8,2 + 7)/4 = 15,2/4 = 3,8.

d) On met au meme denominateur (PPCM = 20) : 4x/20 + 5x/20 = 9, soit 9x/20 = 9. Donc 9x = 180 et x = 20. Vérification : 20/5 + 20/4 = 4 + 5 = 9.

Les cas particuliers

Équation sans solution (équation impossible)

Parfois, la résolution aboutit a une absurdite du type 0 = 5. Cela signifie que l’équation n’a aucune solution.

Exemple : 3x + 2 = 3x + 7.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur le calcul mental au CRPE.

On soustrait 3x des deux cotes : 2 = 7. C’est faux, quelle que soit la valeur de x. L’équation n’a aucune solution. L’ensemble de solutions est l’ensemble vide.

Équation avec une infinite de solutions (identite)

Si la résolution aboutit a une egalite toujours vraie comme 0 = 0, alors l’équation est verifiee pour tout reel x.

Exemple : 2(x + 3) = 2x + 6.

On developpe : 2x + 6 = 2x + 6. On soustrait 2x + 6 des deux cotes : 0 = 0. C’est vrai pour tout x. L’équation a une infinite de solutions : tout nombre reel est solution.

À retenir

Une équation du premier degré ax + b = cx + d a trois issues possibles :

1. Si a ≠ c : une unique solution x = (d – b) / (a – c).

2. Si a = c et b ≠ d : aucune solution (équation impossible).

3. Si a = c et b = d : tout reel est solution (identite).

La vérification : une etape obligatoire

Au CRPE, la vérification fait gagner des points et evite les erreurs. La méthode est toujours la meme : tu remplaces x par la valeur trouvee dans les deux membres de l’équation de depart et tu verifies qu’ils sont egaux.

Ne simplifie pas l’équation avant de vérifier. Utilise la forme originale de l’enonce. Cela te permet de detecter une eventuelle erreur dans tes etapes intermediaires.

Astuce

Ecris la vérification sous une forme claire : « Membre gauche : … = … Membre droit : … = … Les deux membres sont egaux, donc x = … est bien la solution. » Cette redaction soignee montre au correcteur que tu maitrises la demarche et peut te rapporter des points meme si tu as fait une petite erreur en amont.

Mise en équation de problèmes concrets

La mise en équation est une competence majeure au CRPE. Les problèmes sont formules en francais courant et tu dois traduire les relations en langage mathematique.

Les etapes de la mise en équation

Lis l’enonce deux fois et repère la grandeur inconnue.
Choisis l’inconnue : « Soit x le nombre de… (en precisant l’unite) ».
Exprime les autres grandeurs en fonction de x.
Traduis la relation principale en équation.
Resous, puis interprete en revenant au contexte du problème.
Vérifié que la solution a du sens (pas de valeur negative pour un age, pas de fraction d’eleve, etc.).

Problèmes classiques du CRPE

Problème 1 — Partage inegal : Trois freres se partagent 180 euros. Le deuxieme recoit 20 euros de plus que le premier, et le troisieme recoit le double du premier. Combien recoit chacun ?

Soit x la part du premier (en euros). Le deuxieme recoit x + 20 et le troisieme 2x.

Équation : x + (x + 20) + 2x = 180, soit 4x + 20 = 180, donc 4x = 160 et x = 40.

Le premier recoit 40 euros, le deuxieme 60 euros, le troisieme 80 euros.

Ce thème est développé dans notre article sur les fractions et leurs règles.

Vérification : 40 + 60 + 80 = 180, 60 = 40 + 20 et 80 = 2 × 40. Tout est coherent.

Problème 2 — Ages : L’age d’un pere est le quadruple de l’age de sa fille. Dans 8 ans, il aura le triple de son age. Quel est l’age actuel de la fille ?

Soit x l’age de la fille. Le pere a 4x ans. Dans 8 ans : fille = x + 8, pere = 4x + 8.

Équation : 4x + 8 = 3(x + 8), soit 4x + 8 = 3x + 24, donc x = 16.

La fille a 16 ans et le pere 64 ans. Dans 8 ans : 24 et 72. Vérification : 72 = 3 × 24. Correct.

Problème 3 — Achats : Un stylo coute 2 euros de plus qu’un crayon. Tu achetes 5 stylos et 3 crayons pour un total de 26 euros. Quel est le prix d’un crayon ?

Soit x le prix d’un crayon (en euros). Un stylo coute x + 2.

Équation : 5(x + 2) + 3x = 26, soit 5x + 10 + 3x = 26, donc 8x = 16 et x = 2.

Un crayon coute 2 euros, un stylo 4 euros. Vérification : 5 × 4 + 3 × 2 = 20 + 6 = 26. Correct.

️ Exercice

Problème 1 : Un train part de Paris a 9h00 et roule a 120 km/h. Un second train part de Paris a 10h00 sur la meme ligne et roule a 160 km/h. A quelle heure le second train rattrape-t-il le premier ?

Problème 2 : Un reservoir contient 500 litres d’eau. On y ajoute 12 litres par minute et un robinet de vidange evacue 8 litres par minute. Au bout de combien de temps le reservoir contiendra-t-il 740 litres ?

Voir la correction

Problème 1 : Soit t le temps (en heures) ecoule depuis le depart du second train (10h00).

Distance parcourue par le premier : 120(t + 1) (il est parti 1 heure avant).

Distance parcourue par le second : 160t.

Le rattrapage a lieu quand les distances sont egales : 120(t + 1) = 160t, soit 120t + 120 = 160t, donc 120 = 40t et t = 3 heures.

Le second train rattrape le premier a 13h00, a 480 km de Paris.

Vérification : premier train en 4h parcourt 480 km, second en 3h parcourt 480 km. Correct.

Problème 2 : Soit t le temps (en minutes). Le debit net est 12 – 8 = 4 litres par minute.

Volume au bout de t minutes : 500 + 4t.

Équation : 500 + 4t = 740, soit 4t = 240, donc t = 60 minutes.

Vérification : 500 + 4 × 60 = 500 + 240 = 740 litres. Correct.

Équations et proportionnalite

Les problèmes de proportionnalite se resolvent souvent par une équation du premier degré. Le produit en croix est l’outil central.

Voir aussi : les calculs avec les puissances pour compléter vos connaissances.

Si a/b = c/d, alors ad = bc.

Exemple : Un plan est a l’echelle 1/500. Sur le plan, un mur mesure 7,4 cm. Quelle est sa longueur reelle ?

Soit x la longueur reelle (en cm). L’echelle donne 7,4 / x = 1/500. Par produit en croix : 7,4 × 500 = x, donc x = 3 700 cm = 37 metres.

Approche didactique pour le cycle 3

La partie didactique du CRPE attend de toi que tu saches comment faire comprendre le concept d’équation a des eleves de 8 a 12 ans.

Progressivite de l’apprentissage

Au cycle 3, on ne parle pas encore formellement d’équations. Les programmes emploient l’expression « resoudre des problèmes en utilisant des écritures mathematiques » et « utiliser un nombre inconnu ».

La progression recommandee :

CM1 : egalites a trous avec des nombres entiers. L’eleve cherche le nombre manquant par essai-erreur ou par l’opération inverse. Exemple : ___ × 4 = 28.
CM2 : introduction d’un symbole pour l’inconnue (point d’interrogation, carré, lettre). Premiers problèmes additifs et multiplicatifs mis en équation simple.
6eme : formalisation avec la lettre x. Résolution d’équations simples (ax + b = c) par des transformations justifiees.

Le modele de la balance

La balance a plateaux est le modele didactique le plus repandu pour les équations. L’egalite correspond a l’equilibre. Quand tu ajoutes ou retires le meme poids de chaque plateau, l’equilibre est maintenu. Cette image concrete permet de justifier les transformations d’équations sans recourir a un raisonnement abstrait.

En classe, tu peux utiliser une vraie balance avec des poids et des boites fermees (qui representent l’inconnue). L’eleve manipule, observe et formule la regle.

Erreurs typiques des eleves et remediations

La chaine d’egalites : l’eleve ecrit « 3 + 5 = 8 + 2 = 10 ». Il comprend le = comme « ca donne » au lieu de « est egal a ». Remediation : travailler sur des egalites fausses (3 + 5 = 9 ?) pour renforcer le sens du signe.
L’opération inverse mal choisie : pour resoudre x + 7 = 15, l’eleve additionne au lieu de soustraire. Remediation : revenir a la balance et montrer qu’ajouter 7 des deux cotes eloigne du résultat.
La division oubliee : l’eleve passe de 3x = 12 a x = 12 – 3. Remediation : insister sur la distinction entre « on ajoute 3 a x » et « on multiplie x par 3 » avec des exemples concrets.

À retenir

Pour la partie didactique du CRPE, structure ta réponse en trois temps : 1. La notion mathematique en jeu. 2. Les difficultes previsibles des eleves (cite des exemples d’erreurs). 3. Tes propositions pedagogiques (activites concretes, materiel, progressivite). Référence-toi aux programmes et aux attendus de fin de cycle.

️ Exercice

Exercice de synthese : Un libraire organise une promotion. Chaque livre achete coute 8 euros, mais a partir du 4eme livre, le prix passe a 5 euros. Un client depense 46 euros au total. Combien de livres a-t-il achetes ?

Nous vous conseillons également notre cours sur les nombres premiers.

Voir la correction

Soit n le nombre total de livres achetes (n entier, n ≥ 4 puisque le client beneficie du tarif reduit).

Les 3 premiers livres coutent 3 × 8 = 24 euros. Les (n – 3) livres suivants coutent 5(n – 3) euros.

Équation : 24 + 5(n – 3) = 46.

24 + 5n – 15 = 46, soit 9 + 5n = 46, donc 5n = 37 et n = 37/5 = 7,4.

Or n doit etre un entier. Le résultat 7,4 signifie que l’enonce ne tombe pas juste avec un nombre entier de livres… Verifions : pour n = 7, le total est 24 + 5 × 4 = 44 euros. Pour n = 8, le total est 24 + 5 × 5 = 49 euros.

Aucun entier ne donne exactement 46 euros. Si on accepte que le problème est exact, il faut reexaminer l’enonce. En realite, si le tarif reduit demarre au 4eme livre (le 4eme inclus), les 3 premiers coutent 24 euros et les suivants 5 euros chacun. Avec 46 – 24 = 22 euros restants et 22/5 = 4,4 livres… Ce n’est pas entier.

Correction alternative : si « a partir du 4eme livre » signifie qu’il y a d’abord 3 livres a 8 euros puis le reste a 5 euros, et que le total est de 43 euros (par exemple), on aurait n = 7 livres. Avec 46 euros, le problème n’a pas de solution entiere : cela peut etre un piege d’enonce voulu par le correcteur pour tester ta capacite a le signaler.

️ Exercice

Exercice recapitulatif :

a) Resous 7(x – 2) = 3(x + 6).

b) Resous (5x + 1)/6 – (x – 2)/3 = 2.

c) Un terrain triangulaire a un périmètre de 84 m. Le deuxieme cote mesure 8 m de plus que le premier, et le troisieme cote mesure le double du premier. Calcule les longueurs des trois cotes.

Voir la correction

a) 7x – 14 = 3x + 18, soit 4x = 32, donc x = 8. Vérification : 7(6) = 42 et 3(14) = 42.

b) On multiplie tout par 6 : (5x + 1) – 2(x – 2) = 12, soit 5x + 1 – 2x + 4 = 12, donc 3x + 5 = 12, 3x = 7 et x = 7/3. Vérification : (5 × 7/3 + 1)/6 = (35/3 + 3/3)/6 = (38/3)/6 = 38/18 = 19/9. Et (7/3 – 2)/3 = (7/3 – 6/3)/3 = (1/3)/3 = 1/9. Donc 19/9 – 1/9 = 18/9 = 2. Correct.

c) Soit x le premier cote (en m). Le deuxieme mesure x + 8 et le troisieme 2x. Périmètre : x + (x + 8) + 2x = 84, soit 4x + 8 = 84, donc 4x = 76 et x = 19. Les trois cotes mesurent 19 m, 27 m et 38 m. Vérification : 19 + 27 + 38 = 84 m, et 27 = 19 + 8 et 38 = 2 × 19. Correct.

Les équations du premier degré sont un outil fondamental que tu retrouveras dans presque tous les domaines du CRPE : géométrie (périmètres, aires), grandeurs et mesures (vitesse, temps, distance), gestion de donnees (proportionnalite, pourcentages). La maitrise technique passe par la repetition des exercices types : équations simples, avec parentheses, avec fractions, mise en équation de problèmes. La vérification systematique est ton meilleur filet de securite. Quant a la partie didactique, garde en tete les trois piliers : connaitre les représentations intermediaires, anticiper les erreurs des eleves et proposer des réponses pedagogiques concretes.

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Cardia Anthony

Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.

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