Les périmètres et les aires forment un duo incontournable des epreuves du CRPE. Qu’il s’agisse de calculer la surface d’un terrain, la longueur d’une cloture ou l’aire d’une figure composee, ces notions reviennent chaque annee au concours. Cet article te propose un rappel complet des formules, des méthodes pour les figures composees, les conversions d’unites, des problèmes concrets type concours, et un angle didactique pour enseigner ces notions en cycle 3. Avec cinq exercices corriges conformes au niveau du CRPE, tu seras pret le jour de l’epreuve.
Rappel des formules : périmètres et aires
Voici le tableau de référence a connaitre par coeur. Toutes les formules sont exigibles au CRPE.
Périmètres
| Figure | Formule du périmètre | Variables |
|---|---|---|
| Carré | P = 4c | c = cote |
| Rectangle | P = 2(L + l) | L = longueur, l = largeur |
| Triangle | P = a + b + c | a, b, c = cotes |
| Cercle | P = 2πr = πd | r = rayon, d = diametre |
| Losange | P = 4c | c = cote |
| Parallelogramme | P = 2(a + b) | a, b = cotes adjacents |
| Trapeze | P = a + b + c + d | Somme des quatre cotes |
| Demi-cercle | P = πr + 2r = r(π + 2) | r = rayon |
Aires
| Figure | Formule de l’aire | Variables |
|---|---|---|
| Carré | A = c² | c = cote |
| Rectangle | A = L × l | L = longueur, l = largeur |
| Triangle | A = (b × h) / 2 | b = base, h = hauteur |
| Cercle (disque) | A = πr² | r = rayon |
| Losange | A = (D × d) / 2 | D, d = diagonales |
| Parallelogramme | A = b × h | b = base, h = hauteur |
| Trapeze | A = ((B + b) × h) / 2 | B, b = bases, h = hauteur |
| Demi-disque | A = πr² / 2 | r = rayon |
| Secteur angulaire | A = (α / 360) × πr² | α = angle en degrés |
A retenir
Le périmètre mesure le contour d’une figure (en metres, cm…). L’aire mesure la surface interieure (en m², cm²…). Ce sont deux grandeurs de natures differentes : le périmètre est une longueur, l’aire est une surface. On ne peut pas les comparer directement.
Figures composees : decomposer en figures simples
Au CRPE, les figures ne sont presque jamais de simples rectangles ou triangles. Il s’agit le plus souvent de figures composees qu’il faut decomposer en figures élémentaires.
Méthode générale
- Observe la figure et repère les formes simples qui la composent (rectangles, triangles, demi-cercles, quarts de cercle…).
- Decompose : soit en additionnant des figures simples, soit en soustrayant une figure d’une autre.
- Calcule chaque partie separement avec la formule adaptee.
- Additionne ou soustrais les aires selon la decomposition choisie.
Exemple : figure en L
Un terrain en forme de L mesure 20 m de long et 12 m de large au total. L’encoche rectangulaire retiree mesure 8 m sur 5 m.
Méthode 1 (soustraction) : Aire du grand rectangle − aire de l’encoche.
A = 20 × 12 − 8 × 5 = 240 − 40 = 200 m²
Méthode 2 (addition) : Decompose le L en deux rectangles.
Rectangle 1 : 20 × (12 − 5) = 20 × 7 = 140 m²
Rectangle 2 : (20 − 8) × 5 = 12 × 5 = 60 m²
A = 140 + 60 = 200 m²
Exemple : piste d’athletisme
Une piste d’athletisme est formee d’un rectangle de 100 m sur 60 m, prolonge a chaque extremite par un demi-cercle de diametre 60 m (rayon 30 m).
Périmètre de la piste (contour exterieur) = 2 × 100 + 2 × π × 30 = 200 + 60π ≈ 200 + 188,5 ≈ 388,5 m
Aire de la piste (surface totale) = 100 × 60 + π × 30² = 6 000 + 900π ≈ 6 000 + 2 827 ≈ 8 827 m²
Astuce
Pour le périmètre d’une figure composee, attention : les segments interieurs ne comptent pas. Seul le contour exterieur est mesure. Trace le contour au surligneur sur ton brouillon pour bien identifier les segments a additionner.
Conversions d’unites d’aire
Les conversions d’unites d’aire sont une source d’erreurs tres frequente. Contrairement aux longueurs, chaque unite d’aire vaut 100 fois la suivante (et non 10 fois).
A retenir
Conversions de longueur : × 10 d’une unite a la suivante.
1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm
Conversions d’aire : × 100 d’une unite a la suivante.
1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² = 1 000 000 mm²
Unites agraires :
1 ha = 10 000 m² = 100 a (ares)
1 a = 100 m²
1 ca (centiare) = 1 m²
| De | Vers | Facteur | Exemple |
|---|---|---|---|
| km² | m² | × 1 000 000 | 3 km² = 3 000 000 m² |
| m² | cm² | × 10 000 | 2 m² = 20 000 cm² |
| ha | m² | × 10 000 | 0,5 ha = 5 000 m² |
| m² | ha | ÷ 10 000 | 45 000 m² = 4,5 ha |
| cm² | mm² | × 100 | 7 cm² = 700 mm² |
Astuce
Pour ne pas te tromper dans les conversions d’aire, rappelle-toi que l’aire, c’est une longueur au carré. Si 1 m = 100 cm, alors 1 m² = (100 cm)² = 10 000 cm². C’est pourquoi on multiplie par le carré du facteur de conversion des longueurs.
Problèmes avec contraintes : cloture, peinture, gazon
Les problèmes du CRPE mettent souvent en scene des situations concretes ou il faut distinguer périmètre et aire selon le contexte.
Quand utiliser le périmètre
- Cloture autour d’un terrain
- Bordure autour d’un bassin
- Ruban autour d’un cadeau
- Tour de piste
Quand utiliser l’aire
- Surface de gazon a semer
- Peinture a appliquer sur un mur
- Carrelage a poser au sol
- Tissu nécessaire pour un vetement
Exemple : cloture d’un terrain
Un jardinier veut cloturer un terrain rectangulaire de 35 m sur 20 m, avec un portail de 4 m. Le grillage coute 12 euros le metre lineaire et le portail coute 350 euros.
Périmètre total : 2 × (35 + 20) = 110 m
Longueur de grillage : 110 − 4 = 106 m
Cout du grillage : 106 × 12 = 1 272 euros
Cout total : 1 272 + 350 = 1 622 euros
Exemple : peinture d’un mur
Un mur mesure 8 m de long et 2,50 m de haut. Il comporte une fenetre de 1,20 m sur 1 m. Un pot de peinture couvre 6 m². Combien de pots faut-il acheter ?
Aire du mur : 8 × 2,50 = 20 m²
Aire de la fenetre : 1,20 × 1 = 1,20 m²
Aire a peindre : 20 − 1,20 = 18,80 m²
Nombre de pots : 18,80 / 6 = 3,13…
Il faut acheter 4 pots (on arrondit au-dessus car on ne peut pas acheter un tiers de pot).
️ Erreur frequente
Arrondir au-dessous dans les problèmes de quantite. Quand tu calcules un nombre de pots, de rouleaux ou de carreaux, tu dois toujours arrondir au nombre entier supérieur. On ne peut pas acheter une fraction de pot. Si tu obtiens 3,13 pots, il en faut 4.
Angle didactique : enseigner périmètres et aires en cycle 3
Progression suggeree
- CM1 : distinction périmètre / aire par la manipulation (ficelle pour le périmètre, pavage pour l’aire). Introduction des formules du rectangle et du carré.
- CM1-CM2 : formule de l’aire du triangle (par decoupe d’un rectangle). Périmètre du cercle avec des ficelles et des mesures experimentales.
- CM2 : aire du disque. Figures composees simples. Conversions d’unites d’aire. Problèmes concrets (jardin, peinture, cloture).
Difficultes connues des eleves
- Confusion périmètre / aire : c’est la difficulte majeure. Des eleves pensent que si le périmètre augmente, l’aire augmente aussi (ce qui est faux). Un exercice classique : montrer deux figures de meme périmètre mais d’aires differentes.
- La hauteur du triangle : les eleves confondent souvent la hauteur avec un cote. Il faut insister : la hauteur est perpendiculaire a la base, elle n’est pas forcement un cote du triangle.
- Le π du cercle : π reste abstrait pour beaucoup. L’experience de mesurer le tour d’objets ronds et de diviser par le diametre aide a comprendre que le rapport est toujours d’environ 3,14.
Variables didactiques
Pour differencier, tu peux jouer sur le type de figure (carrée, rectangulaire, triangulaire, composee), le nombre de dimensions donnees (toutes fournies vs certaines a calculer), le contexte (abstrait vs concret), et le type de tache (calculer l’aire, trouver une dimension manquante, comparer deux figures).
A retenir
Un exercice fondamental pour comprendre que périmètre et aire sont independants : un rectangle de 10 m sur 2 m a un périmètre de 24 m et une aire de 20 m². Un rectangle de 7 m sur 5 m a un périmètre de 24 m et une aire de 35 m². Meme périmètre, aires differentes.
Erreurs frequentes
️ Erreur frequente
Confondre périmètre et aire. Le périmètre est une longueur (en m, cm…), l’aire est une surface (en m², cm²…). Si on te demande « combien de grillage », c’est un périmètre. Si on te demande « combien de gazon », c’est une aire. Lis l’enonce avec attention.
️ Erreur frequente
Se tromper dans les conversions d’aire. 1 m² = 10 000 cm², pas 100 cm². L’erreur vient de la confusion avec les conversions de longueur. Rappelle-toi : pour les aires, on multiplie par le carré du facteur. De m a cm, c’est × 100. Donc de m² a cm², c’est × 100² = × 10 000.
️ Erreur frequente
Utiliser le diametre au lieu du rayon (ou inversement). Dans les formules du cercle, l’aire utilise le rayon : A = πr². Le périmètre peut utiliser le rayon (P = 2πr) ou le diametre (P = πd). Si l’enonce donne le diametre, n’oublie pas de diviser par 2 pour obtenir le rayon avant de calculer l’aire.
️ Erreur frequente
Oublier de retrancher les ouvertures. Dans les problèmes de peinture ou de carrelage, il faut retrancher l’aire des fenetres, portes ou autres ouvertures. C’est un oubli frequent qui fausse completement le résultat.
Exercices CRPE corriges
️ Exercice 1
Un terrain rectangulaire de 45 m sur 30 m contient une piscine circulaire de rayon 5 m en son centre. On veut semer du gazon sur toute la surface du terrain sauf la piscine. Un sac de graines couvre 25 m². Combien de sacs faut-il acheter ?
Voir la correction
Aire du terrain : 45 × 30 = 1 350 m²
Aire de la piscine : π × 5² = 25π ≈ 78,54 m²
Aire a engazonner : 1 350 − 25π ≈ 1 350 − 78,54 = 1 271,46 m²
Nombre de sacs : 1 271,46 / 25 = 50,86
Il faut acheter 51 sacs.
️ Exercice 2
Un champ trapezoidal a ses deux bases parallèles de 120 m et 80 m, et une hauteur de 50 m. Exprime son aire en hectares.
Voir la correction
Aire du trapeze : ((120 + 80) × 50) / 2 = (200 × 50) / 2 = 10 000 / 2 = 5 000 m²
Conversion en hectares : 5 000 / 10 000 = 0,5 ha
️ Exercice 3
Une salle de classe rectangulaire mesure 9 m sur 7 m. On veut la carreler avec des carreaux carrés de 30 cm de cote. Combien de carreaux faut-il au minimum (sans tenir compte des decoupes) ? Le prix est de 15 euros le m². Quel est le cout total du carrelage ?
Voir la correction
Aire de la salle : 9 × 7 = 63 m²
Aire d’un carreau : 0,30 × 0,30 = 0,09 m²
Nombre de carreaux : 63 / 0,09 = 700
Il faut 700 carreaux au minimum.
Cout total : 63 × 15 = 945 euros
️ Exercice 4
Un parc a la forme d’un rectangle de 60 m sur 40 m, prolonge a une extremite par un demi-cercle de diametre 40 m. Calcule le périmètre et l’aire de ce parc.
Voir la correction
Périmètre : le contour comprend deux longueurs de 60 m, une largeur de 40 m, et un demi-cercle de diametre 40 m (rayon 20 m).
P = 60 + 40 + 60 + π × 20 = 160 + 20π ≈ 160 + 62,83 ≈ 222,8 m
Attention : la largeur du cote du demi-cercle ne fait pas partie du périmètre (elle est interieure). Le contour comprend les deux longueurs, une largeur (cote oppose au demi-cercle) et le demi-cercle.
Aire :
Rectangle : 60 × 40 = 2 400 m²
Demi-disque : π × 20² / 2 = 200π ≈ 628,3 m²
Aire totale : 2 400 + 200π ≈ 3 028,3 m²
️ Exercice 5
Un losange a ses diagonales de longueur 24 cm et 10 cm. Calcule son aire et son périmètre.
Voir la correction
Aire :
A = (D × d) / 2 = (24 × 10) / 2 = 240 / 2 = 120 cm²
Périmètre :
Les diagonales d’un losange se coupent perpendiculairement en leur milieu. Chaque demi-diagonale mesure 12 cm et 5 cm.
Le cote du losange est l’hypotenuse du triangle rectangle forme par les demi-diagonales :
c = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 cm
P = 4 × 13 = 52 cm
FAQ
Peut-on avoir deux figures de meme aire mais de périmètres differents ?
Oui, absolument. Un carré de 6 cm de cote a une aire de 36 cm² et un périmètre de 24 cm. Un rectangle de 9 cm sur 4 cm a une aire de 36 cm² et un périmètre de 26 cm. Meme aire, périmètres differents. Le périmètre et l’aire sont deux grandeurs independantes.
Comment retenir la formule de l’aire du trapeze ?
Pense a deux trapezes identiques assembles tete-beche : ils forment un parallelogramme de base (B + b) et de hauteur h. L’aire du parallelogramme est (B + b) × h. Le trapeze, c’est la moitie : ((B + b) × h) / 2. Tu peux aussi retenir : « somme des bases fois hauteur, le tout divise par 2 ».
Faut-il connaitre la formule de Heron au CRPE ?
La formule de Heron (aire d’un triangle a partir de ses trois cotes) n’est pas explicitement au programme du CRPE, mais elle peut faire gagner du temps dans certains exercices. Elle s’ecrit : A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) ou s = (a + b + c) / 2 est le demi-périmètre. Si tu la maitrises, utilise-la. Sinon, tu peux toujours calculer la hauteur par Pythagore.
Comment convertir rapidement des m² en ha ?
Divise par 10 000. Un hectare, c’est un carré de 100 m de cote, soit 100 × 100 = 10 000 m². Donc 45 000 m² = 45 000 / 10 000 = 4,5 ha. Pour l’inverse, multiplie par 10 000 : 2,3 ha = 23 000 m².
Quelle precision utiliser pour π au CRPE ?
En général, l’enonce precise la valeur a utiliser. Si rien n’est indique, laisse le résultat en fonction de π (c’est la forme exacte). Si on te demande une valeur approchee, utilise π ≈ 3,14 ou π ≈ 3,1416 selon la precision demandee. Au CRPE, les correcteurs acceptent generalement π ≈ 3,14.
Articles du même niveau (CRPE)
Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
