Mesures : grandeurs et instruments de mesure – Cours de Maths CRPE

La mesure des grandeurs est un theme transversal du CRPE qui touche a la fois les mathematiques et les sciences. Tu dois connaitre les grandeurs mesurables (longueur, masse, capacite, duree, aire, volume, angle), les instruments correspondants, les unites du système metrique, les notions de precision et d erreur, et les enjeux didactiques de l enseignement de la mesure aux cycles 2 et 3. Cet article couvre tout ce programme avec des exemples, des exercices corriges et des repères pour la partie pedagogique du concours.

Les grandeurs mesurables

Qu est-ce qu une grandeur

Une grandeur est une propriété d un objet ou d un phénomène que l on peut mesurer, c est-a-dire a laquelle on peut associer un nombre et une unite. La longueur d une table, la masse d un sac, la duree d une course, la temperature d une piece : ce sont des grandeurs.

Toutes les propriétés ne sont pas des grandeurs. La couleur d un objet, sa forme ou sa texture ne se mesurent pas avec un nombre et une unite. Ce ne sont pas des grandeurs au sens mathematique.

Les principales grandeurs au programme

Au CRPE, tu dois maitriser les grandeurs suivantes :

• La longueur : distance entre deux points, périmètre, hauteur, profondeur
• La masse : quantite de matiere d un objet (a ne pas confondre avec le poids)
• La capacite (contenance) : volume de liquide que peut contenir un recipient
• La duree : temps ecoule entre deux instants
• L aire (surface) : etendue d une region du plan
• Le volume : espace occupe par un solide en trois dimensions
• L angle : ecartement entre deux demi-droites de meme origine
• La temperature : niveau de chaleur d un corps

Chaque grandeur possede ses propres unites, ses instruments de mesure et ses méthodes de calcul.

Les unites de mesure

Le système metrique

Le système metrique (ou système international, SI) est base sur des unites fondamentales : le metre (longueur), le kilogramme (masse), la seconde (duree), le litre (capacite, hors SI mais tres utilise). Les prefixes metriques permettent de passer d une unite a l autre :

• kilo (k) = 1 000 fois l unite de base
• hecto (h) = 100 fois
• deca (da) = 10 fois
• deci (d) = 0,1 fois (dixieme)
• centi (c) = 0,01 fois (centieme)
• milli (m) = 0,001 fois (millieme)

Ainsi, 1 km = 1 000 m, 1 cm = 0,01 m, 1 mg = 0,001 g, 1 dL = 0,1 L. Le tableau de conversion permet de passer d une unite a l autre en deplacant la virgule.

Unites de longueur

Les unites de longueur courantes sont : km, hm, dam, m, dm, cm, mm. Chaque passage d une colonne a la suivante correspond a un facteur 10. 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm. 1 km = 1 000 m.

Au CRPE, tu dois savoir convertir dans les deux sens et choisir l unite adaptee au contexte. On mesure la longueur d une route en km, la taille d une personne en cm (ou m), l epaisseur d une feuille en mm.

Unites de masse

Les unites de masse courantes sont : kg, hg, dag, g, dg, cg, mg. En plus, la tonne (t) vaut 1 000 kg. On pese un camion en tonnes, une personne en kg, un medicament en mg.

Unites de capacite

Les unites de capacite sont : kL, hL, daL, L, dL, cL, mL. 1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL. Le lien avec le volume : 1 L = 1 dm cube. 1 mL = 1 cm cube.

On mesure la capacite d une piscine en m cube (ou en kL), celle d une bouteille en cL ou en L, celle d une cuillere en mL.

Unites d aire et de volume

Pour les aires, chaque passage d unite represente un facteur 100 (et non 10). 1 m carré = 100 dm carré = 10 000 cm carré. 1 km carré = 1 000 000 m carré. L hectare (ha) vaut 10 000 m carré, et l are (a) vaut 100 m carré.

Pour les volumes, chaque passage d unite represente un facteur 1 000. 1 m cube = 1 000 dm cube = 1 000 000 cm cube.

Unites de duree

Les unites de duree ne suivent pas le système décimal : 1 minute = 60 secondes, 1 heure = 60 minutes = 3 600 secondes, 1 jour = 24 heures. Cette base 60 rend les conversions de durees plus delicates que les autres.

Pour convertir 2 h 45 min en minutes : 2 x 60 + 45 = 165 min. Pour convertir 200 min en heures et minutes : 200 / 60 = 3 reste 20, donc 3 h 20 min.

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3,5 km en m : 3,5 x 1 000 = 3 500 m.

4 500 g en kg : 4 500 / 1 000 = 4,5 kg.

2,7 L en mL : 2,7 x 1 000 = 2 700 mL.

3 h 25 min en minutes : 3 x 60 + 25 = 205 min.

0,5 m carré en cm carré : 0,5 x 10 000 = 5 000 cm carré.

45 000 cm cube en dm cube : 45 000 / 1 000 = 45 dm cube = 45 L.

Les instruments de mesure

Mesurer des longueurs

Les instruments de mesure de longueur sont la regle graduee (petites longueurs, jusqu a 30 cm environ), le double decimetre (20 cm), le metre ruban (quelques metres), le decametre (grandes distances), et pour les tres petites longueurs, le pied a coulisse.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur le périmètre, l’aire et le volume.

Pour utiliser correctement une regle, tu places le zero au debut de l objet a mesurer et tu lis la graduation a l autre extremite. Si le bord de la regle est use, commence a la graduation 1 et soustrais 1 du résultat lu.

Mesurer des masses

Les instruments de mesure de masse sont la balance a plateaux (avec des masses marquees), la balance electronique (affichage numerique) et le pese-personne. La balance Roberval est un modele classique a deux plateaux, tres utilise en classe pour travailler la notion d equilibre.

Pour les balances electroniques, tu dois connaitre la fonction tare : elle remet le compteur a zero apres avoir pose le recipient, pour ne peser que le contenu.

Mesurer des capacites

Les instruments de mesure de capacite sont le verre doseur (gradations en cL, dL ou L), l eprouvette graduee (en mL, pour les sciences), et le gobelet doseur de cuisine. On utilise aussi le litre (1 bouteille d eau = 1 L, 1 brique de jus = 1 L, 1 canette = 33 cL).

Pour lire correctement une mesure dans un recipient, tu places tes yeux au niveau du liquide et tu lis la graduation la plus proche du bas du menisque (la courbe que fait la surface du liquide).

Mesurer des durees

Les instruments de mesure du temps sont le chronometre (durees courtes), la montre et l horloge (heures et minutes), le sablier (durees fixes) et le calendrier (jours, semaines, mois).

Mesurer des angles

L instrument de mesure des angles est le rapporteur. Il est gradue en degrés, de 0 a 180 (rapporteur demi-cercle) ou de 0 a 360 (rapporteur cercle entier). Pour mesurer un angle, tu places le centre du rapporteur sur le sommet de l angle, tu alignes un cote avec la graduation 0, et tu lis la graduation indiquee par l autre cote.

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Terrain de football : decametre (ou metre ruban long).

Masse d une pomme : balance electronique.

250 mL de lait : verre doseur (ou eprouvette).

Duree d un trajet : montre ou chronometre.

Angle d un toit : rapporteur.

Epaisseur d un cahier : regle graduee (en mm).

Precision et erreur de mesure

La notion de precision

Toute mesure est approximative. Quand tu mesures un segment avec une regle graduee en millimetres, la precision est de 1 mm. Le segment mesure « entre » deux graduations et tu arrondis au mm le plus proche. La mesure exacte est inconnue ; tu donnes une valeur approchee.

Ce thème est développé dans notre article sur les opérations et propriétés.

La precision d un instrument est determinee par sa plus petite graduation. Une regle graduee en mm a une precision de 1 mm. Une balance qui affiche les grammes a une precision de 1 g. Un chronometre qui affiche les centiemes de seconde a une precision de 0,01 s.

L erreur de mesure

L erreur de mesure est la difference entre la mesure obtenue et la valeur reelle. On distingue deux types d erreurs :

• L erreur systematique : elle se reproduit a chaque mesure dans le meme sens. Par exemple, une balance mal calibree qui ajoute toujours 5 g. On peut la corriger une fois identifiee.
• L erreur aleatoire : elle varie d une mesure a l autre, tantot en plus, tantot en moins. Elle est liee aux conditions de mesure (vibrations, temperature, position de l oeil). On la reduit en faisant plusieurs mesures et en prenant la moyenne.

Encadrement d une mesure

Quand tu mesures un segment et que tu lis 7,3 cm avec une regle graduee en mm, la valeur reelle est comprise entre 7,25 cm et 7,35 cm. Tu peux l ecrire : 7,25 cm < longueur < 7,35 cm. Ou bien : longueur = 7,3 cm a 0,05 cm pres (la demi-graduation).

Au CRPE, tu dois savoir encadrer une mesure en fonction de la precision de l instrument. C est une competence evaluee en didactique et en résolution de problèmes.

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1. La graduation est en mm, donc la precision est de 1 mm = 0,1 cm. L encadrement est 4,65 cm < longueur < 4,75 cm.

2. La precision est de 1 g. L encadrement est 252,5 g < masse < 253,5 g.

3. La meilleure estimation est la moyenne : (12,3 + 12,4 + 12,3 + 12,5 + 12,3) / 5 = 61,8 / 5 = 12,36 cm. On peut arrondir a 12,4 cm.

Voir aussi : les fractions et décimaux pour compléter vos connaissances.

Didactique de la mesure aux cycles 2 et 3

Construire le sens de la mesure

L enseignement de la mesure suit une progression en trois etapes : comparer, mesurer avec une unite non conventionnelle, puis mesurer avec une unite conventionnelle. En cycle 2, les eleves commencent par comparer directement deux objets (quel crayon est le plus long ?) sans instrument. Puis ils mesurent avec des unites arbitraires (combien de trombones mesure la table ?). Enfin, ils decouvrent le besoin d une unite commune et utilisent la regle graduee.

Cette progressivite permet a l eleve de comprendre pourquoi on a besoin d unites standards. Si chacun mesure avec son propre pied, les résultats different. L unite conventionnelle resout ce problème de communication.

Les obstacles didactiques

Plusieurs obstacles sont identifies par la recherche en didactique :

• La confusion entre grandeur et mesure : l eleve pense que la longueur EST le nombre lu sur la regle, alors que la longueur est une propriété de l objet.
• La confusion entre périmètre et aire : l eleve croit que deux rectangles de meme périmètre ont la meme aire (ce qui est faux).
• La difficulte des conversions d unites d aire et de volume : l eleve applique le facteur 10 au lieu de 100 (aires) ou 1 000 (volumes).
• Le passage de l unite non conventionnelle a l unite conventionnelle : l eleve ne comprend pas pourquoi on abandonne les trombones pour les centimetres.

Activites de classe efficaces

Pour travailler la mesure en classe, voici des activites recommandees :

• Estimer avant de mesurer : l eleve donne d abord une estimation, puis mesure et compare. Cela developpe le sens des grandeurs.
• Comparer sans mesurer : quelle ficelle est la plus longue ? On les compare directement. Cela travaille le concept de grandeur independamment du nombre.
• Mesurer avec des unites variees : mesurer la meme table en trombones, en crayons, en bandes de papier. L eleve comprend que la mesure depend de l unite choisie.
• Fabriquer ses propres instruments : construire un metre avec des bandes de 10 cm, graduer une eprouvette artisanale. L eleve comprend la structure de l instrument.

Choisir la bonne unite et estimer

Adapter l unite au contexte

Choisir la bonne unite est une competence a part entiere. On n exprime pas la distance Paris-Marseille en millimetres, ni l epaisseur d une carte bancaire en kilometres. L unite choisie doit donner un nombre facile a lire et a comparer.

Regles pratiques : si le nombre obtenu est tres grand (plusieurs milliers), passe a l unite supérieure. Si le nombre est tres petit (fractions de l unite), passe a l unite inferieure. L ideal est un nombre entre 1 et 1 000 environ.

Nous vous conseillons également notre cours sur les calculs posés et écrits.

Estimer des grandeurs

L estimation de grandeurs est une competence evaluee au CRPE. Tu dois savoir donner des ordres de grandeur sans mesurer :

• La hauteur d une porte : environ 2 m
• La masse d un litre d eau : 1 kg
• La longueur d un pas d adulte : environ 70 cm
• La duree d un film : environ 1 h 30 min a 2 h
• La masse d une pomme : environ 150 g
• L aire d un terrain de football : environ 7 000 m carré

Ces repères te permettent de vérifier la vraisemblance d un résultat. Si tu trouves qu une salle de classe fait 500 m carré, ton calcul est probablement faux (une salle fait plutot 50 a 70 m carré).

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Distance entre deux villes : km.

Masse d un chat : kg (environ 4 kg).

Capacite d un verre : mL (environ 200 mL) ou cL (20 cL).

Duree d une recreation : minutes (environ 15 minutes).

Aire d un timbre-poste : cm carré (environ 4 a 6 cm carré).

Exercices de synthese type CRPE

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Exercice 1 : 1 ha = 10 000 m carré. 2,35 ha = 2,35 x 10 000 = 23 500 m carré. 1 km carré = 1 000 000 m carré = 100 ha. 2,35 ha = 23 500 / 1 000 000 = 0,0235 km carré.

Exercice 2 : Volume = 0,8 x 0,8 x 0,8 = 0,8^3 = 0,512 m cube. 1 m cube = 1 000 L, donc 0,512 x 1 000 = 512 L.

Exercice 3 : L ecart de 2 m peut venir de plusieurs sources : erreur de placement du metre ruban (pas tendu, pas aligne), point de depart legerement different, erreur de lecture des graduations, ou chevauchement imparfait du metre ruban a chaque report. Pour une meilleure estimation, les deux eleves pourraient mesurer ensemble, faire plusieurs mesures et calculer la moyenne, ou utiliser un metre ruban plus long pour reduire le nombre de reports.

Exercice 4 : Seance 1 (comparer) : distribuer des bandes de papier de longueurs differentes. Les eleves doivent les ranger de la plus courte a la plus longue par comparaison directe (superposition). Seance 2 (unite non conventionnelle) : mesurer la longueur de la table avec des cubes emboitables. Chaque groupe utilise les memes cubes. Les eleves comptent combien de cubes couvrent la table. Discussion : est-ce que tout le monde trouve le meme nombre ? Seance 3 (unite conventionnelle) : introduire la regle graduee en cm. Remesurer la table et comparer avec les cubes. Constater que l unite conventionnelle permet a tous de communiquer un résultat que tout le monde comprend.