Les fractions sont un passage oblige du CRPE. Addition, soustraction, multiplication, division : tu dois maitriser les quatre opérations sur les fractions, savoir simplifier, comparer, trouver un denominateur commun et resoudre des problèmes concrets. Cet article te propose un parcours complet avec les regles, les stratégies de calcul et les erreurs classiques a eviter. Chaque notion est accompagnee d exercices corriges pour que tu sois pret le jour du concours.
Rappels sur les fractions
Qu est-ce qu une fraction
Une fraction a/b represente le quotient de a par b. Le nombre a est le numerateur (ce qu on prend), le nombre b est le denominateur (en combien de parts on a divise). Le denominateur ne peut jamais etre egal a 0.
Une fraction represente aussi un nombre. 3/4 represente le nombre 0,75. 7/2 represente le nombre 3,5. 1/3 represente le nombre 0,333… Les fractions sont une écriture alternative des nombres, parfois plus commode que l écriture décimale.
Fractions egales et simplification
Deux fractions sont egales si on peut passer de l une a l autre en multipliant (ou divisant) numerateur et denominateur par le meme nombre non nul. Par exemple, 2/3 = 4/6 = 6/9 = 10/15. On a multiplie numerateur et denominateur par 2, puis par 3, etc.
Simplifier une fraction, c est diviser numerateur et denominateur par leur PGCD (Plus Grand Commun Diviseur). Pour simplifier 12/18 : PGCD(12, 18) = 6. Donc 12/18 = 2/3. La fraction 2/3 est irreductible car PGCD(2, 3) = 1.
📐 À retenir
Pour simplifier une fraction, divise le numerateur et le denominateur par leur PGCD. La fraction obtenue est irreductible. Au CRPE, on te demande presque toujours de donner le résultat sous forme de fraction irreductible.
Comparer des fractions
Pour comparer deux fractions, tu les mets au meme denominateur. Par exemple, pour comparer 3/4 et 5/7 : le denominateur commun est 28. 3/4 = 21/28 et 5/7 = 20/28. Comme 21 > 20, on a 3/4 > 5/7.
Si les fractions ont le meme numerateur, celle qui a le plus petit denominateur est la plus grande. Par exemple, 3/5 > 3/8 car les parts sont plus grandes quand on divise en 5 qu en 8.
💡 Astuce
Pour comparer rapidement deux fractions a/b et c/d, tu peux utiliser le produit en croix : compare a x d et b x c. Si a x d > b x c, alors a/b > c/d. Par exemple, 3/4 et 5/7 : 3 x 7 = 21 et 4 x 5 = 20. Comme 21 > 20, 3/4 > 5/7.
Addition et soustraction de fractions
Meme denominateur
Quand les fractions ont le meme denominateur, tu additionnes (ou soustrais) les numerateurs et tu gardes le denominateur. 3/7 + 2/7 = 5/7. 11/15 – 4/15 = 7/15.
Apres l opération, pense a simplifier le résultat si c est possible. 4/6 + 2/6 = 6/6 = 1. Ou bien 5/12 + 1/12 = 6/12 = 1/2.
Denominateurs differents : trouver le PPCM
Quand les denominateurs sont differents, tu dois les mettre au meme denominateur. Le plus petit denominateur commun est le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) des deux denominateurs.
Exemple : 2/3 + 3/4. PPCM(3, 4) = 12. Tu convertis : 2/3 = 8/12 et 3/4 = 9/12. Addition : 8/12 + 9/12 = 17/12. Comme 17 et 12 sont premiers entre eux, la fraction est deja irreductible.
Pour trouver le PPCM, tu peux lister les multiples de chaque denominateur et prendre le plus petit commun. Ou utiliser la relation PPCM(a, b) = a x b / PGCD(a, b). PPCM(3, 4) = 3 x 4 / 1 = 12.
📐 À retenir
Pour additionner ou soustraire des fractions : 1) Trouve le denominateur commun (PPCM). 2) Convertis chaque fraction. 3) Additionne ou soustrais les numerateurs. 4) Simplifie le résultat. Cette méthode est universelle et fonctionne pour toutes les fractions.
Avec des entiers et des fractions
Pour additionner un entier et une fraction, tu ecris l entier sous forme de fraction avec le meme denominateur. 3 + 2/5 = 15/5 + 2/5 = 17/5. Pour 5 – 3/4 = 20/4 – 3/4 = 17/4.
⚠️ Erreur fréquente
Ne jamais additionner les denominateurs. 2/3 + 3/4 ne donne PAS 5/7. C est l erreur la plus frequente sur les fractions. Tu dois mettre au meme denominateur d abord, puis additionner uniquement les numerateurs.
✏️ Exercice
Calcule et simplifie :
- 5/6 + 1/4
- 7/8 – 2/3
- 1/2 + 2/3 + 1/6
- 4 – 5/7
- 3/10 + 7/15
✅ Voir la correction
5/6 + 1/4 : PPCM(6, 4) = 12. 10/12 + 3/12 = 13/12.
7/8 – 2/3 : PPCM(8, 3) = 24. 21/24 – 16/24 = 5/24.
1/2 + 2/3 + 1/6 : PPCM(2, 3, 6) = 6. 3/6 + 4/6 + 1/6 = 8/6 = 4/3.
4 – 5/7 = 28/7 – 5/7 = 23/7.
3/10 + 7/15 : PPCM(10, 15) = 30. 9/30 + 14/30 = 23/30.
Multiplication de fractions
La regle de multiplication
Pour multiplier deux fractions, tu multiplies les numerateurs entre eux et les denominateurs entre eux. (a/b) x (c/d) = (a x c) / (b x d). Pas besoin de denominateur commun pour la multiplication.
Exemple : 3/4 x 2/5 = 6/20 = 3/10 (apres simplification par 2).
Simplifier avant de multiplier
Pour eviter les grands nombres, simplifie avant de multiplier. Tu peux simplifier « en croix » : divise un numerateur et un denominateur par un meme facteur, meme s ils ne sont pas dans la meme fraction.
Exemple : 8/15 x 5/12. Tu simplifies 5 (numerateur du second) et 15 (denominateur du premier) par 5 : ca donne 8/3 x 1/12. Puis tu simplifies 8 (numerateur du premier) et 12 (denominateur du second) par 4 : ca donne 2/3 x 1/3 = 2/9.
💡 Astuce
Simplifie toujours avant de multiplier, pas apres. Ca evite de manipuler de grands nombres et de devoir simplifier un résultat complique. Cherche les facteurs communs entre n importe quel numerateur et n importe quel denominateur du produit.
Multiplier par un entier
Un entier s ecrit comme une fraction de denominateur 1. Donc 5 x 3/4 = 5/1 x 3/4 = 15/4. Ou plus simplement, tu multiplies l entier par le numerateur : 5 x 3/4 = (5 x 3)/4 = 15/4.
✏️ Exercice
Calcule et donne le résultat sous forme irreductible :
- 3/7 x 14/9
- 5/6 x 12/25
- 4 x 7/8
- 9/10 x 5/3 x 2/7
✅ Voir la correction
3/7 x 14/9 : simplifie 3 et 9 par 3 (1/7 x 14/3), puis 14 et 7 par 7 (1/1 x 2/3) = 2/3.
5/6 x 12/25 : simplifie 5 et 25 par 5 (1/6 x 12/5), puis 12 et 6 par 6 (1/1 x 2/5) = 2/5.
4 x 7/8 : simplifie 4 et 8 par 4 → 1 x 7/2 = 7/2.
9/10 x 5/3 x 2/7 : simplifie 9 et 3 par 3, 5 et 10 par 5, puis 2 et 2 par 2 → 3/2 x 1/1 x 1/7 = 3/14. Vérification : (9 x 5 x 2)/(10 x 3 x 7) = 90/210 = 3/7. Reprenons : 9/10 x 5/3 = 45/30 = 3/2. Puis 3/2 x 2/7 = 6/14 = 3/7.
Division de fractions
La regle de la division
Diviser par une fraction, c est multiplier par son inverse. L inverse de a/b est b/a (on retourne la fraction). Donc (a/b) / (c/d) = (a/b) x (d/c) = (a x d) / (b x c).
Exemple : 3/4 / 2/5 = 3/4 x 5/2 = 15/8.
📐 À retenir
Diviser par une fraction a/b, c est multiplier par b/a. Tu gardes la première fraction, tu remplaces le signe de division par une multiplication, et tu inverses la seconde fraction. Ensuite, tu appliques la regle de multiplication classique.
Diviser par un entier
Pour diviser une fraction par un entier, tu multiplies le denominateur par l entier. 3/4 / 2 = 3/4 x 1/2 = 3/8. Ou directement : (3/4) / 2 = 3/(4 x 2) = 3/8.
Diviser un entier par une fraction
Pour diviser un entier par une fraction, tu multiplies l entier par l inverse de la fraction. 6 / (3/4) = 6 x 4/3 = 24/3 = 8. Cela revient a se demander : combien de fois 3/4 rentre dans 6 ? Réponse : 8 fois.
⚠️ Erreur fréquente
Ne confonds pas « diviser par 2/3 » et « multiplier par 2/3 ». Diviser par 2/3 revient a multiplier par 3/2 (l inverse). Le résultat est plus grand, pas plus petit. Si tu divises 12 par 2/3, tu obtiens 18 (et non 8). Vérifié : 18 x 2/3 = 12.
✏️ Exercice
Calcule et simplifie :
- 5/6 / 10/3
- 7/8 / 7
- 12 / (4/5)
- 3/4 / 9/16
✅ Voir la correction
5/6 / 10/3 = 5/6 x 3/10 = 15/60 = 1/4.
7/8 / 7 = 7/8 x 1/7 = 7/56 = 1/8.
12 / (4/5) = 12 x 5/4 = 60/4 = 15.
3/4 / 9/16 = 3/4 x 16/9 = 48/36 = 4/3.
Fractions et priorites operatoires
Enchainement d opérations
Dans une expression avec plusieurs opérations sur les fractions, tu respectes les priorites : les parentheses d abord, puis la multiplication et la division (de gauche a droite), puis l addition et la soustraction (de gauche a droite).
Exemple : 1/2 + 3/4 x 2/3. La multiplication est prioritaire : 3/4 x 2/3 = 6/12 = 1/2. Puis l addition : 1/2 + 1/2 = 1.
Avec des parentheses : (1/2 + 3/4) x 2/3. Les parentheses d abord : 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4. Puis la multiplication : 5/4 x 2/3 = 10/12 = 5/6.
Le trait de fraction comme parenthese
Une barre de fraction agit comme une parenthese. L expression (3 + 5)/(4 – 2) signifie qu il faut d abord calculer le numerateur (3 + 5 = 8) et le denominateur (4 – 2 = 2), puis diviser : 8/2 = 4.
Autre exemple : (2/3 + 1/4) / (5/6 – 1/3). Numerateur : 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12. Denominateur : 5/6 – 1/3 = 5/6 – 2/6 = 3/6 = 1/2. Résultat : (11/12) / (1/2) = 11/12 x 2/1 = 22/12 = 11/6.
✏️ Exercice
Calcule en respectant les priorites :
- 1/3 + 2/5 x 5/4
- (1/3 + 2/5) x 5/4
- (3/4 – 1/6) / (1/2 + 1/3)
✅ Voir la correction
1/3 + 2/5 x 5/4 : multiplication d abord : 2/5 x 5/4 = 10/20 = 1/2. Puis addition : 1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6.
(1/3 + 2/5) x 5/4 : parentheses : 1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15. Multiplication : 11/15 x 5/4 = 55/60 = 11/12.
(3/4 – 1/6) / (1/2 + 1/3) : Numerateur : 3/4 – 1/6 = 9/12 – 2/12 = 7/12. Denominateur : 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Division : 7/12 / 5/6 = 7/12 x 6/5 = 42/60 = 7/10.
Problèmes avec des fractions
Fraction d une quantite
Prendre les 3/4 de 120 signifie calculer 3/4 x 120 = 360/4 = 90. Tu multiplies la quantite par la fraction. C est l une des situations les plus courantes au CRPE.
Autre exemple : dans une classe de 28 eleves, les 2/7 pratiquent un sport collectif. Combien sont-ils ? 2/7 x 28 = 56/7 = 8 eleves.
Trouver la quantite totale
Si les 3/5 d une quantite valent 45, combien vaut la quantite totale ? Tu divises par la fraction : 45 / (3/5) = 45 x 5/3 = 225/3 = 75.
Pour vérifier : 3/5 de 75 = 3 x 75 / 5 = 225/5 = 45. C est bien coherent.
Problèmes a etapes
On remplit un reservoir au 1/3. Puis on ajoute encore les 2/5 du reservoir. Quelle fraction du reservoir est remplie ? 1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15. Il reste 1 – 11/15 = 15/15 – 11/15 = 4/15 du reservoir a remplir.
💡 Astuce
Dans les problèmes du CRPE, « les 3/4 DE quelque chose » se traduit par une multiplication. « Combien DE FOIS la fraction rentre » se traduit par une division. Le mot « de » est la cle pour choisir l opération.
✏️ Exercice
Problème 1 : Marie a lu les 2/5 de son livre de 350 pages. Combien de pages a-t-elle lues ? Combien lui en reste-t-il ?
Problème 2 : Les 3/8 d un nombre valent 45. Quel est ce nombre ?
Problème 3 : Un jardinier plante des tomates sur le 1/4 de son terrain et des courgettes sur le 1/3. Quelle fraction du terrain est occupee ? Quelle fraction reste libre ?
✅ Voir la correction
Problème 1 : Pages lues : 2/5 x 350 = 700/5 = 140 pages. Reste : 350 – 140 = 210 pages.
Problème 2 : Nombre = 45 / (3/8) = 45 x 8/3 = 360/3 = 120. Vérification : 3/8 x 120 = 360/8 = 45.
Problème 3 : Fraction occupee : 1/4 + 1/3 = 3/12 + 4/12 = 7/12. Fraction libre : 1 – 7/12 = 12/12 – 7/12 = 5/12.
Exercices de synthese type CRPE
✏️ Exercice
Exercice 1 : Calcule A = 2/3 – 1/4 + 5/6 et donne le résultat sous forme irreductible.
Exercice 2 : Calcule B = (7/12 + 1/3) x 4/5.
Exercice 3 : Simplifie C = (2/3 x 9/4) / (3/2).
Exercice 4 : Un eleve ecrit 2/5 + 3/7 = 5/12. Explique son erreur et donne le résultat correct.
Exercice 5 : Un reservoir de 600 L est rempli aux 3/4. On utilise les 2/5 de l eau qu il contient. Combien de litres reste-t-il dans le reservoir ?
✅ Voir la correction
Exercice 1 : PPCM(3, 4, 6) = 12. A = 8/12 – 3/12 + 10/12 = 15/12 = 5/4.
Exercice 2 : Parentheses : 7/12 + 1/3 = 7/12 + 4/12 = 11/12. Multiplication : 11/12 x 4/5 = 44/60 = 11/15.
Exercice 3 : Numerateur : 2/3 x 9/4 = 18/12 = 3/2. Division : (3/2) / (3/2) = 1.
Exercice 4 : L eleve a additionne numerateurs et denominateurs separement (2+3=5, 5+7=12). C est faux. Le calcul correct : 2/5 + 3/7 = 14/35 + 15/35 = 29/35.
Exercice 5 : Eau dans le reservoir : 3/4 x 600 = 450 L. Eau utilisee : 2/5 x 450 = 180 L. Reste : 450 – 180 = 270 L.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
