Géométrie : géométrie dans le plan et dans l'espace - Cours de Maths CRPE

La géométrie dans le plan et dans l’espace est un thème majeur du CRPE. Tu dois maîtriser les notions fondamentales du plan (droites, angles, polygones, transformations) et de l’espace (solides, patrons, volumes, sections), mais aussi savoir comment ces notions s’enseignent du cycle 1 au cycle 3. Les sujets de concours mêlent régulièrement des questions techniques et des questions de didactique sur ces thèmes. Cet article couvre l’ensemble du programme avec des explications détaillées, des tableaux récapitulatifs, des pistes didactiques et des exercices corrigés pour t’entraîner dans les conditions du concours.

Sommaire :

Les bases de la géométrie plane

La géométrie plane s’appuie sur des objets élémentaires que tu dois définir avec précision.

Point, droite, segment, demi-droite

Le point n’a ni longueur, ni largeur, ni épaisseur. On le note avec une lettre majuscule (A, B, M…). La droite est un ensemble infini de points alignés, qui s’étend à l’infini dans les deux sens. On la note (AB) quand elle passe par les points A et B.

Le segment [AB] est la portion de droite délimitée par les points A et B. Il a une longueur finie, notée AB. La demi-droite [AB) part du point A (son origine) et s’étend à l’infini dans la direction de B.

Positions relatives de deux droites dans le plan

Dans le plan, deux droites distinctes sont soit sécantes (elles se coupent en un seul point), soit parallèles (elles ne se coupent jamais). Il n’y a pas d’autre possibilité dans le plan. Si deux droites sont confondues, on ne les considère pas comme distinctes.

Deux droites sécantes qui forment un angle droit sont perpendiculaires. La perpendicularité est un cas particulier de sécance. On note (d₁) ⊥ (d₂) pour dire que d₁ est perpendiculaire à d₂.

À retenir

Par un point extérieur à une droite, il passe une unique droite parallèle à cette droite (axiome d’Euclide) et une unique droite perpendiculaire à cette droite. Ces deux propriétés sont fondamentales et servent dans de nombreuses démonstrations.

Les angles dans le plan

Un angle est la figure formée par deux demi-droites de même origine (le sommet). On mesure un angle en degrés (°). Les types d’angles essentiels :

Angle aigu : mesure entre 0° et 90° (strictement)
Angle droit : mesure de 90°
Angle obtus : mesure entre 90° et 180° (strictement)
Angle plat : mesure de 180°

Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut 90°. Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut 180°. Deux angles opposés par le sommet (formés par deux droites sécantes) sont égaux.

Angles et droites parallèles

Quand une sécante coupe deux droites parallèles, elle crée des paires d’angles remarquables :

Les angles alternes-internes sont égaux. Ils sont situés de part et d’autre de la sécante, entre les deux parallèles.
Les angles correspondants sont égaux. Ils sont situés du même côté de la sécante, l’un entre les parallèles et l’autre à l’extérieur.
Les angles alternes-externes sont égaux. Ils sont situés de part et d’autre de la sécante, à l’extérieur des deux parallèles.

Réciproquement, si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles. Ce raisonnement réciproque est très utilisé dans les démonstrations du CRPE.

Astuce

Pour repérer les angles alternes-internes, cherche la forme en « Z » dans la figure. Pour les angles correspondants, cherche la forme en « F ». Ces repères visuels t’aideront à identifier rapidement les paires d’angles égaux.

Les polygones dans le plan

Les triangles

Le triangle est le polygone le plus fondamental. Tu dois connaître ses classifications et ses propriétés.

Classification par les côtés :

Équilatéral : 3 côtés égaux et 3 angles de 60°
Isocèle : 2 côtés égaux. Les angles à la base sont égaux.
Scalène : aucun côté égal, aucun angle égal

Classification par les angles :

Rectangle : un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse.
Acutangle : les trois angles sont aigus
Obtusangle : un angle est obtus

Propriété fondamentale : la somme des angles d’un triangle vaut 180°. Cette propriété permet de calculer le troisième angle quand on connaît les deux autres.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur la symétrie et les transformations.

Les droites remarquables du triangle

La médiane relie un sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes se coupent au centre de gravité G, qui divise chaque médiane dans le rapport 2/3 depuis le sommet.
La médiatrice d’un côté est la droite perpendiculaire à ce côté passant par son milieu. Les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit.
La hauteur est la perpendiculaire abaissée d’un sommet sur le côté opposé. Les trois hauteurs se coupent à l’orthocentre H.
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Les trois bissectrices se coupent au centre du cercle inscrit.

À retenir

Le théorème de Pythagore s’applique dans un triangle rectangle : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². La réciproque permet de prouver qu’un triangle est rectangle.

Les quadrilatères particuliers

Les quadrilatères sont classés selon leurs propriétés de parallélisme, d’égalité de côtés et d’angles droits :

Parallélogramme : côtés opposés parallèles et de même longueur. Diagonales qui se coupent en leur milieu. Angles opposés égaux.
Rectangle : parallélogramme à 4 angles droits. Diagonales de même longueur.
Losange : parallélogramme à 4 côtés égaux. Diagonales perpendiculaires.
Carré : rectangle et losange à la fois. 4 angles droits, 4 côtés égaux, diagonales de même longueur et perpendiculaires.
Trapèze : exactement une paire de côtés parallèles (les bases).
Trapèze isocèle : trapèze dont les côtés non parallèles sont de même longueur.

️ Erreur fréquente

Ne pas confondre les propriétés et les définitions. Le parallélogramme est défini par le parallélisme de ses côtés opposés. L’égalité des côtés opposés, le fait que les diagonales se coupent en leur milieu, l’égalité des angles opposés sont des propriétés qu’on démontre à partir de la définition. Au CRPE, cette distinction est fondamentale.

Les polygones réguliers

Un polygone régulier a tous ses côtés de même longueur et tous ses angles égaux. Les plus courants :

Triangle équilatéral : 3 côtés, angles de 60°
Carré : 4 côtés, angles de 90°
Pentagone régulier : 5 côtés, angles de 108°
Hexagone régulier : 6 côtés, angles de 120°
Octogone régulier : 8 côtés, angles de 135°

La formule de l’angle intérieur d’un polygone régulier à n côtés est : (n − 2) × 180° / n.

Les transformations du plan

La symétrie axiale

Le symétrique d’un point M par rapport à une droite (d) est le point M’ tel que (d) est la médiatrice du segment [MM’]. La droite (d) est perpendiculaire à [MM’] et passe par son milieu.

La symétrie axiale conserve les distances, les angles, les aires et l’alignement. Elle inverse l’orientation : un parcours dans le sens horaire devient anti-horaire après symétrie.

En classe, la symétrie axiale est introduite dès le cycle 2 par le pliage. Si on plie la feuille le long de l’axe de symétrie, une figure et son image se superposent exactement.

La symétrie centrale

Le symétrique d’un point M par rapport à un point O est le point M’ tel que O est le milieu du segment [MM’]. La symétrie centrale est une rotation de 180° autour du centre.

Elle conserve les distances, les angles, les aires, l’alignement et le parallélisme. Contrairement à la symétrie axiale, elle conserve l’orientation.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur les propriétés des triangles.

Le parallélogramme est la figure du programme qui possède un centre de symétrie (le point d’intersection de ses diagonales).

La translation

La translation de vecteur u déplace chaque point M en un point M’ tel que le vecteur MM’ = u. Tous les points sont déplacés dans la même direction, le même sens et sur la même distance.

La translation conserve toutes les propriétés géométriques : distances, angles, aires, alignement, parallélisme, orientation. L’image d’une droite par une translation est une droite parallèle.

La rotation

La rotation de centre O et d’angle α transforme chaque point M en un point M’ tel que OM = OM’ et l’angle orienté (OM, OM’) = α. La rotation conserve les distances, les angles, les aires et l’orientation.

Les rotations remarquables au programme : rotation de 90° (quart de tour), rotation de 180° (demi-tour, équivalente à une symétrie centrale), rotation de 120° (tiers de tour, liée au triangle équilatéral).

️ Exercice

ABCD est un parallélogramme avec A(1, 2), B(4, 2) et C(5, 5). Trouve les coordonnées de D. Quel est le centre de symétrie du parallélogramme ? Vérifie que le symétrique de A par rapport à ce centre est bien C.

Voir la correction

Dans un parallélogramme ABCD, le vecteur AD = le vecteur BC. BC = (5−4, 5−2) = (1, 3). Donc D = A + AD = (1+1, 2+3) = (2, 5).

Le centre de symétrie est le milieu de [AC] (et aussi de [BD]) : O = ((1+5)/2, (2+5)/2) = (3, 3,5).

Vérification : le milieu de [BD] = ((4+2)/2, (2+5)/2) = (3, 3,5). C’est bien le même point.

Symétrique de A par rapport à O : x’ = 2×3 − 1 = 5, y’ = 2×3,5 − 2 = 5. On trouve (5, 5) = C. C’est correct.

La géométrie dans l’espace

Les positions relatives dans l’espace

Dans l’espace, les positions relatives sont plus riches que dans le plan :

Deux droites peuvent être :

Sécantes : elles se coupent en un point
Parallèles : elles sont dans un même plan et ne se coupent pas
Non coplanaires : elles ne sont dans aucun plan commun (elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles)

Une droite et un plan peuvent être :

Sécants : la droite perce le plan en un point
Parallèles : la droite ne touche pas le plan
La droite est contenue dans le plan

Deux plans peuvent être :

Sécants : ils se coupent le long d’une droite
Parallèles : ils ne se coupent pas
Confondus

À retenir

La grande différence entre le plan et l’espace : dans le plan, deux droites qui ne se coupent pas sont forcément parallèles. Dans l’espace, elles peuvent être non coplanaires (ni sécantes, ni parallèles). C’est une source de confusion fréquente.

Les solides : description et propriétés

Les solides au programme du CRPE se répartissent en deux grandes familles.

Les polyèdres (faces planes) :

Cube : 6 faces carrées, 12 arêtes, 8 sommets
Pavé droit : 6 faces rectangulaires, 12 arêtes, 8 sommets
Prisme droit : 2 bases polygonales identiques + faces latérales rectangulaires
Pyramide : 1 base polygonale + faces latérales triangulaires convergeant vers l’apex
Tétraèdre : 4 faces triangulaires, 6 arêtes, 4 sommets

Les solides de révolution (au moins une face courbe) :

Ce thème est développé dans notre article sur l’échelle en géométrie.

Cylindre de révolution : 2 bases circulaires + 1 surface latérale
Cône de révolution : 1 base circulaire + 1 surface latérale conique
Sphère : surface entièrement courbe, tous les points à distance r du centre

Les patrons de solides

Un patron est une figure plane qui, pliée et assemblée, reconstitue un solide. La construction de patrons développe la vision spatiale, compétence centrale du cycle 3.

Règles pour construire un patron correct :

Chaque face du solide doit apparaître exactement une fois dans le patron.
Deux faces adjacentes dans le solide doivent partager un côté dans le patron.
Le patron ne doit pas se chevaucher quand on le plie.
Toutes les arêtes qui se rejoignent lors du pliage doivent avoir la même longueur.

Astuce

Pour vérifier qu’un patron de cube est correct, utilise le critère suivant : parmi les 6 carrés, il ne faut jamais avoir 4 carrés alignés en « T » inversé ou en « L » qui se chevaucheraient au pliage. Le plus sûr est de numéroter les faces et de plier mentalement.

Les sections de solides

Une section est l’intersection d’un solide avec un plan. Les sections courantes au CRPE :

Section d’un cube par un plan parallèle à une face : un carré
Section d’un cube par un plan diagonal : un rectangle ou un hexagone régulier (si le plan passe par les milieux de 6 arêtes)
Section d’un cylindre par un plan parallèle à la base : un cercle
Section d’un cylindre par un plan oblique : une ellipse
Section d’un cône par un plan parallèle à la base : un cercle (de rayon plus petit)
Section d’une sphère par un plan : un cercle (un grand cercle si le plan passe par le centre)

️ Exercice

Un cube ABCDEFGH a une arête de 6 cm (ABCD est la base, EFGH est la face supérieure, avec E au-dessus de A, F au-dessus de B, etc.). On coupe ce cube par le plan passant par les milieux M de [AE], N de [BF] et P de [CG]. Quelle est la nature de la section ? Calcule son aire.

Voir la correction

Les milieux M, N, P sont situés à mi-hauteur des arêtes verticales AE, BF, CG. Le plan passant par ces trois points est parallèle à la base ABCD (car les trois points sont à la même hauteur, 3 cm). Ce plan coupe aussi l’arête [DH] en son milieu Q.

La section est donc un quadrilatère MNPQ situé à mi-hauteur du cube. Comme le plan est parallèle à la base, la section est un carré de côté 6 cm (identique à la base).

Aire = 6 × 6 = 36 cm²

Volumes et aires des solides

Formules de volume

Cube de côté c : V = c³
Pavé droit de dimensions L, l, h : V = L × l × h
Prisme droit : V = aire de la base × hauteur
Cylindre de rayon r et hauteur h : V = πr²h
Pyramide : V = (1/3) × aire de la base × hauteur
Cône de rayon r et hauteur h : V = (1/3)πr²h
Sphère de rayon r : V = (4/3)πr³

Formules d’aire latérale et d’aire totale

Cube : aire totale = 6c²
Pavé droit : aire totale = 2(Ll + Lh + lh)
Cylindre : aire latérale = 2πrh, aire totale = 2πrh + 2πr²
Cône : aire latérale = πrg (g = génératrice), aire totale = πrg + πr²
Sphère : aire = 4πr²

️ Erreur fréquente

Voir aussi : les aires et périmètres pour compléter vos connaissances.

Dans la formule du cône, la génératrice g (longueur de la droite qui va du sommet à un point du cercle de base) est différente de la hauteur h (distance perpendiculaire du sommet à la base). On a g² = r² + h² par Pythagore. Beaucoup de candidats confondent les deux et utilisent h dans la formule de l’aire latérale au lieu de g.

Agrandissement et réduction

Quand on multiplie toutes les dimensions d’un solide par un facteur k :

Les longueurs sont multipliées par k
Les aires sont multipliées par k²
Les volumes sont multipliés par k³

Par exemple, si on double les dimensions d’un cube (k = 2), son aire est multipliée par 4 et son volume par 8. Cette propriété est très utilisée dans les problèmes de proportionnalité géométrique au CRPE.

️ Exercice

Un cône de révolution a un rayon de base de 3 cm et une hauteur de 4 cm. Calcule sa génératrice, son aire latérale, son aire totale et son volume. On construit un second cône dont toutes les dimensions sont triplées. Quel est le rapport des volumes ?

Voir la correction

Génératrice : g = √(r² + h²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm

Aire latérale = πrg = π × 3 × 5 = 15π ≈ 47,1 cm²

Aire totale = 15π + πr² = 15π + 9π = 24π ≈ 75,4 cm²

Volume = (1/3)πr²h = (1/3) × π × 9 × 4 = 12π ≈ 37,7 cm³

Second cône (k = 3) : volume = 12π × 3³ = 12π × 27 = 324π. Rapport des volumes : 27 (ce qui est bien k³ = 3³).

La didactique de la géométrie

Progression de l’enseignement par cycle

Cycle 1 (maternelle) : manipulation d’objets concrets, tri de formes, reconnaissance globale. Les élèves empilent des cubes, reconnaissent des ronds et des carrés, décrivent la position d’objets (devant, derrière, dessus, dessous).

Cycle 2 (CP-CE1-CE2) : description des figures par leurs propriétés (nombre de côtés, angles droits, axes de symétrie). Construction à la règle et à l’équerre. Reproduction de figures sur quadrillage. Symétrie axiale par pliage.

Cycle 3 (CM1-CM2-6e) : classification des figures par propriétés. Construction au compas. Programme de construction. Symétrie axiale et centrale. Patrons de solides. Agrandissement et réduction.

Les obstacles classiques

L’effet du prototype : les élèves ne reconnaissent un triangle que « pointe en haut » ou un carré que « posé sur un côté ». Remédiation : varier systématiquement les orientations des figures.
La confusion entre voir et savoir : les élèves déduisent des propriétés en regardant la figure au lieu de raisonner. Un segment « semble » plus court qu’un autre, mais les mesures prouvent le contraire.
Le passage du plan à l’espace : les élèves peinent à interpréter les représentations en perspective. Remédiation : manipuler des solides réels avant de travailler sur les dessins.
La confusion périmètre/aire : deux figures de même périmètre n’ont pas forcément la même aire. Contre-exemple classique : un carré de 4 cm de côté (P = 16 cm, A = 16 cm²) et un rectangle de 7 cm × 1 cm (P = 16 cm, A = 7 cm²).

️ Exercice

Nous vous conseillons également notre cours sur les périmètres et aires.

Un enseignant de CE2 propose l’exercice suivant : « Dessine tous les rectangles différents dont le périmètre est 20 cm (dimensions entières). » Quels rectangles les élèves doivent-ils trouver ? Lequel a la plus grande aire ? Quel obstacle didactique cet exercice met-il en jeu ?

Voir la correction

P = 2(L + l) = 20, donc L + l = 10. Les rectangles à dimensions entières :

9 × 1 : aire = 9 cm²
8 × 2 : aire = 16 cm²
7 × 3 : aire = 21 cm²
6 × 4 : aire = 24 cm²
5 × 5 : aire = 25 cm² (c’est un carré)

Le carré (5 × 5) a la plus grande aire. C’est un résultat général : à périmètre fixé, le rectangle d’aire maximale est le carré.

Obstacle didactique : cet exercice travaille la dissociation périmètre/aire. Les élèves constatent que des figures de même périmètre ont des aires différentes, ce qui déconstruit la croyance « même périmètre = même aire ».

Exercices de synthèse

Exercice de synthèse 1

️ Exercice

Un prisme droit a pour base un trapèze isocèle dont les bases mesurent 8 cm et 4 cm, et dont les côtés non parallèles mesurent 5 cm. La hauteur du prisme est 10 cm. Calcule l’aire de la base, le volume du prisme et son aire totale.

Voir la correction

Hauteur du trapèze : la différence entre les bases est 8 − 4 = 4 cm, répartie symétriquement de chaque côté (trapèze isocèle), soit 2 cm de chaque côté. Par Pythagore : h² + 2² = 5², donc h² = 25 − 4 = 21, h = √21 ≈ 4,58 cm.

Aire de la base = (B + b) × h / 2 = (8 + 4) × √21 / 2 = 12√21/2 = 6√21 ≈ 27,5 cm²

Volume = aire de la base × hauteur du prisme = 6√21 × 10 = 60√21 ≈ 274,9 cm³

Aire totale : 2 bases + 4 faces latérales rectangulaires. Périmètre de la base = 8 + 4 + 5 + 5 = 22 cm. Aire latérale = périmètre × hauteur du prisme = 22 × 10 = 220 cm². Aire totale = 2 × 6√21 + 220 = 12√21 + 220 ≈ 275 cm²

Exercice de synthèse 2

️ Exercice

Une boule de pétanque a un diamètre de 7,2 cm. Calcule son volume et son aire. On veut ranger 13 boules dans une boîte rectangulaire. Propose des dimensions pour cette boîte et calcule le volume d’air restant dans la boîte.

Voir la correction

Rayon = 7,2/2 = 3,6 cm.

Volume d’une boule = (4/3)π × 3,6³ = (4/3)π × 46,656 = 62,208π ≈ 195,4 cm³

Aire d’une boule = 4π × 3,6² = 4π × 12,96 = 51,84π ≈ 162,9 cm²

Rangement de 13 boules : une disposition possible est 4 × 3 + 1, par exemple une couche de 4 × 3 = 12 boules et 1 boule au-dessus. Boîte : 4 × 7,2 = 28,8 cm de long, 3 × 7,2 = 21,6 cm de large, 2 × 7,2 = 14,4 cm de haut.

Volume de la boîte = 28,8 × 21,6 × 14,4 = 8 957,95 cm³

Volume de 13 boules = 13 × 195,4 = 2 540,2 cm³

Volume d’air = 8 957,95 − 2 540,2 ≈ 6 417,8 cm³

La géométrie dans le plan et dans l’espace forme un bloc cohérent au CRPE. Les notions du plan (droites, angles, polygones, transformations) sont les briques de base qui permettent d’aborder l’espace (solides, patrons, volumes, sections). Travaille les définitions, les propriétés, les formules et les pistes didactiques pour être prêt le jour du concours.

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Cardia Anthony

Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.

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