Les statistiques occupent une place croissante au CRPE, tant dans la partie mathématique que dans la partie didactique. Tu dois savoir calculer une moyenne, une médiane, des quartiles, un écart-type, lire et interpréter des diagrammes, et surtout comprendre comment ces notions s’enseignent en cycle 3. Ce cours complet couvre tout le programme avec des exemples concrets, des exercices corrigés et les aspects pédagogiques attendus le jour de l’épreuve.
Vocabulaire de base des statistiques
Population, individu, caractère
Avant de calculer quoi que ce soit, il faut comprendre de quoi on parle. Une étude statistique porte toujours sur un ensemble d’éléments qu’on observe.
- La population est l’ensemble des individus étudiés. Exemple : les 28 élèves d’une classe de CM2.
- Un individu est un élément de la population. Exemple : chaque élève de la classe.
- Le caractère est la propriété qu’on observe chez chaque individu. Exemple : la taille, la note à un contrôle, la couleur des yeux.
- L’effectif est le nombre d’individus qui possèdent une même valeur du caractère. L’effectif total est le nombre total d’individus.
- La fréquence d’une valeur est le rapport de son effectif sur l’effectif total. Elle s’exprime en fraction, en décimal ou en pourcentage.
📐 À retenir
Fréquence = effectif de la valeur / effectif total
La somme de toutes les fréquences vaut toujours 1 (ou 100 %).
Caractère quantitatif et qualitatif
Un caractère est quantitatif quand ses valeurs sont des nombres (taille, poids, note). Il peut être discret (nombre fini de valeurs : nombre de frères et soeurs) ou continu (valeurs dans un intervalle : la taille en cm).
Un caractère est qualitatif quand ses valeurs ne sont pas des nombres (couleur des yeux, sport préféré). On ne peut pas calculer de moyenne sur un caractère qualitatif.
La moyenne
Moyenne simple
La moyenne est l’indicateur statistique le plus courant. Elle donne une valeur « centrale » qui résume la série.
📐 À retenir
Moyenne = somme de toutes les valeurs / nombre de valeurs
Exemple : pour les notes 12, 15, 8, 14, 11, la moyenne vaut (12 + 15 + 8 + 14 + 11) / 5 = 60 / 5 = 12.
Moyenne pondérée
Quand les valeurs sont regroupées avec des effectifs (ou des coefficients), on utilise la moyenne pondérée.
📐 À retenir
Moyenne pondérée = (n₁ × v₁ + n₂ × v₂ + … + nₖ × vₖ) / (n₁ + n₂ + … + nₖ)
où nᵢ est l’effectif (ou le coefficient) de la valeur vᵢ.
✏️ Exercice
Voici les notes d’un contrôle de mathématiques dans une classe de 30 élèves :
Note : 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18
Effectif : 2 | 4 | 7 | 8 | 5 | 3 | 1
Calcule la moyenne de la classe.
✅ Voir la correction
Somme pondérée = 2×6 + 4×8 + 7×10 + 8×12 + 5×14 + 3×16 + 1×18
= 12 + 32 + 70 + 96 + 70 + 48 + 18 = 346
Effectif total = 2 + 4 + 7 + 8 + 5 + 3 + 1 = 30
Moyenne = 346 / 30 ≈ 11,53
La moyenne de la classe est d’environ 11,5 sur 20.
⚠️ Erreur fréquente
Ne fais jamais la moyenne des valeurs sans tenir compte des effectifs. Si tu calcules (6+8+10+12+14+16+18)/7, tu trouves 12, ce qui est faux. Il faut pondérer chaque valeur par son effectif.
Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les probabilités au CRPE.
La médiane
Définition et calcul
La médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même taille : 50 % des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et 50 % sont supérieures ou égales.
📐 À retenir
Pour trouver la médiane, classe d’abord toutes les valeurs dans l’ordre croissant.
Si l’effectif total n est impair : la médiane est la valeur de rang (n+1)/2.
Si l’effectif total n est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rang n/2 et n/2 + 1.
Exemple avec n impair : Série ordonnée : 3, 5, 7, 8, 12. Effectif = 5 (impair). Rang de la médiane : (5+1)/2 = 3. La médiane est la 3ème valeur : 7.
Exemple avec n pair : Série ordonnée : 4, 6, 9, 11, 13, 15. Effectif = 6 (pair). La médiane est la moyenne des 3ème et 4ème valeurs : (9+11)/2 = 10.
💡 Astuce
La médiane est souvent plus représentative que la moyenne quand la série contient des valeurs extrêmes. Par exemple, si tu as les salaires 1 500, 1 600, 1 700, 1 800 et 50 000 euros, la moyenne est 11 320 euros (déformée par le salaire de 50 000), mais la médiane est 1 700 euros, ce qui reflète mieux la réalité du groupe.
✏️ Exercice
Reprends le tableau de notes de l’exercice précédent (30 élèves). Détermine la médiane de cette série.
✅ Voir la correction
L’effectif total est 30 (pair). La médiane est la moyenne des 15ème et 16ème valeurs dans la série ordonnée.
Construisons les effectifs cumulés :
Note 6 : effectif cumulé = 2 (valeurs de rang 1 à 2)
Note 8 : effectif cumulé = 6 (valeurs de rang 3 à 6)
Note 10 : effectif cumulé = 13 (valeurs de rang 7 à 13)
Note 12 : effectif cumulé = 21 (valeurs de rang 14 à 21)
La 15ème valeur est une note de 12 (car les rangs 14 à 21 correspondent à la note 12).
La 16ème valeur est aussi une note de 12.
Médiane = (12 + 12) / 2 = 12.
L’étendue
L’étendue est l’indicateur de dispersion le plus simple. Elle mesure l’écart entre les valeurs extrêmes.
📐 À retenir
Étendue = valeur maximale − valeur minimale
Dans notre exemple : étendue = 18 − 6 = 12.
Retrouvez les détails dans notre fiche sur les opérations et propriétés.
L’étendue est facile à calculer, mais elle est sensible aux valeurs extrêmes. Une seule valeur aberrante peut modifier fortement l’étendue sans que le reste de la série ait changé.
Les quartiles
Définition
Les quartiles divisent la série ordonnée en quatre groupes de taille (à peu près) égale.
📐 À retenir
Le premier quartile Q₁ est la plus petite valeur telle qu’au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales.
Le troisième quartile Q₃ est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des données lui sont inférieures ou égales.
Le deuxième quartile Q₂ est la médiane.
L’écart interquartile = Q₃ − Q₁. Il mesure la dispersion des 50 % des valeurs centrales.
Méthode de calcul
Pour une série de n valeurs ordonnées :
- Q₁ est la valeur de rang n/4 (arrondi à l’entier supérieur).
- Q₃ est la valeur de rang 3n/4 (arrondi à l’entier supérieur).
✏️ Exercice
Toujours avec notre série de 30 notes, détermine Q₁ et Q₃, puis l’écart interquartile.
✅ Voir la correction
n = 30.
Q₁ : rang = 30/4 = 7,5 → arrondi à 8. La 8ème valeur dans la série ordonnée.
D’après les effectifs cumulés : rangs 3 à 6 → note 8, rangs 7 à 13 → note 10. La 8ème valeur est 10. Donc Q₁ = 10.
Q₃ : rang = 3×30/4 = 22,5 → arrondi à 23. La 23ème valeur.
Rangs 14 à 21 → note 12, rangs 22 à 26 → note 14. La 23ème valeur est 14. Donc Q₃ = 14.
Écart interquartile = Q₃ − Q₁ = 14 − 10 = 4.
Cela signifie que la moitié centrale des élèves a des notes comprises entre 10 et 14.
L’écart-type
Variance et écart-type
L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Plus il est grand, plus les valeurs sont étalées ; plus il est petit, plus elles sont concentrées.
📐 À retenir
La variance V est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
V = (1/n) × Σ nᵢ × (vᵢ − m)²
où m est la moyenne, vᵢ les valeurs et nᵢ les effectifs.
L’écart-type σ est la racine carrée de la variance : σ = √V
L’écart-type est exprimé dans la même unité que les données (contrairement à la variance qui est en unité²).
💡 Astuce
Il existe une formule alternative plus pratique pour le calcul : V = (moyenne des carrés) − (carré de la moyenne), soit V = (1/n) × Σ nᵢ × vᵢ² − m². Cette formule évite de calculer chaque écart à la moyenne individuellement.
Ce thème est développé dans notre article sur les fractions et décimaux.
✏️ Exercice
Calcule l’écart-type de la série suivante : 4, 6, 8, 10, 12.
✅ Voir la correction
Moyenne : m = (4 + 6 + 8 + 10 + 12) / 5 = 40 / 5 = 8
Moyenne des carrés : (16 + 36 + 64 + 100 + 144) / 5 = 360 / 5 = 72
Variance : V = 72 − 8² = 72 − 64 = 8
Écart-type : σ = √8 = 2√2 ≈ 2,83
Les valeurs s’écartent en moyenne d’environ 2,83 de la moyenne (qui est 8).
Les représentations graphiques
Le diagramme en bâtons
Le diagramme en bâtons est utilisé pour les caractères quantitatifs discrets. Chaque valeur est représentée par un bâton vertical dont la hauteur correspond à l’effectif (ou à la fréquence).
Les bâtons ne se touchent pas, car les valeurs sont isolées les unes des autres. C’est ce qui le distingue de l’histogramme.
L’histogramme
L’histogramme est utilisé pour les caractères quantitatifs continus, regroupés en classes (intervalles). Chaque classe est représentée par un rectangle dont la largeur correspond à l’amplitude de la classe et dont l’aire est proportionnelle à l’effectif.
⚠️ Erreur fréquente
Ne confonds pas histogramme et diagramme en bâtons. Dans un histogramme, les rectangles se touchent (car les classes sont contiguës) et c’est l’aire qui est proportionnelle à l’effectif, pas la hauteur. Si les classes n’ont pas la même largeur, des rectangles de même hauteur ne représentent pas le même effectif.
Le diagramme circulaire (camembert)
Le diagramme circulaire représente les fréquences par des secteurs angulaires. L’angle de chaque secteur est proportionnel à la fréquence :
📐 À retenir
Angle du secteur = fréquence × 360°
Ou de manière équivalente : Angle = (effectif / effectif total) × 360°
✏️ Exercice
Dans une classe de 30 élèves, 12 pratiquent le football, 6 la natation, 9 le tennis et 3 la danse. Calcule l’angle de chaque secteur pour construire un diagramme circulaire.
✅ Voir la correction
Football : (12/30) × 360° = 0,4 × 360° = 144°
Natation : (6/30) × 360° = 0,2 × 360° = 72°
Tennis : (9/30) × 360° = 0,3 × 360° = 108°
Danse : (3/30) × 360° = 0,1 × 360° = 36°
Vérification : 144° + 72° + 108° + 36° = 360°. Le total est bien 360°.
Voir aussi : les calculs posés et écrits pour compléter vos connaissances.
Le diagramme en boîte (boîte à moustaches)
Le diagramme en boîte résume une série statistique à l’aide de cinq valeurs : le minimum, Q₁, la médiane, Q₃ et le maximum. Il permet de visualiser rapidement la position et la dispersion des données, et de comparer plusieurs séries entre elles.
La « boîte » s’étend de Q₁ à Q₃ (elle contient les 50 % centraux des données), un trait vertical marque la médiane à l’intérieur de la boîte, et les « moustaches » relient la boîte au minimum et au maximum.
Lire et interpréter un tableau statistique
Tableau d’effectifs et de fréquences
Au CRPE, tu seras souvent amené à compléter ou interpréter un tableau. Voici les colonnes classiques :
- Valeur du caractère (ou classe)
- Effectif (nombre d’individus par valeur)
- Fréquence (effectif / total, en % ou en décimal)
- Effectif cumulé croissant (somme des effectifs jusqu’à cette valeur)
- Fréquence cumulée croissante
L’effectif cumulé croissant est indispensable pour déterminer la médiane et les quartiles. Il te permet de localiser le rang d’une valeur dans la série ordonnée.
✏️ Exercice
Voici les tailles (en cm) de 20 plants de tomate après 4 semaines :
Classe [10 ; 15[ : effectif 3
Classe [15 ; 20[ : effectif 5
Classe [20 ; 25[ : effectif 7
Classe [25 ; 30[ : effectif 4
Classe [30 ; 35[ : effectif 1
a) Calcule la moyenne de cette série (en utilisant les centres de classe).
b) Dans quelle classe se trouve la médiane ?
✅ Voir la correction
a) Centres de classe : 12,5 ; 17,5 ; 22,5 ; 27,5 ; 32,5
Somme pondérée = 3×12,5 + 5×17,5 + 7×22,5 + 4×27,5 + 1×32,5
= 37,5 + 87,5 + 157,5 + 110 + 32,5 = 425
Moyenne = 425 / 20 = 21,25 cm
b) Effectifs cumulés :
[10 ; 15[ : 3
[15 ; 20[ : 3 + 5 = 8
[20 ; 25[ : 8 + 7 = 15
[25 ; 30[ : 15 + 4 = 19
[30 ; 35[ : 19 + 1 = 20
n = 20 (pair). La médiane se situe entre les 10ème et 11ème valeurs. Les rangs 9 à 15 appartiennent à la classe [20 ; 25[.
La médiane se trouve dans la classe [20 ; 25[.
Aspects didactiques : les statistiques en cycle 3
Ce que disent les programmes
En cycle 3, les statistiques sont abordées dans le domaine « Organisation et gestion de données ». Les attendus sont :
Nous vous conseillons également notre cours sur les problèmes et stratégies de résolution.
- CM1-CM2 : lire et interpréter des tableaux et des diagrammes (en bâtons, circulaires). Construire un diagramme simple. Calculer la moyenne d’une série simple.
- 6ème : approfondir le calcul de la moyenne. Découvrir la notion de fréquence. Savoir choisir le type de graphique adapté.
Difficultés des élèves et remédiations
- La moyenne n’est pas toujours une valeur de la série : beaucoup d’élèves pensent que la moyenne doit être un nombre qui apparaît dans les données. Si les notes sont 6, 8 et 10, la moyenne est 8, ce qui conforte cette croyance. Propose des exemples où la moyenne n’apparaît pas (7, 9, 11 → moyenne = 9, puis 7, 10, 12 → moyenne = 9,67).
- Confusion entre moyenne et médiane : il faut multiplier les exemples où elles diffèrent. La série 1, 1, 1, 1, 100 a une moyenne de 20,8 mais une médiane de 1.
- Lecture de graphiques : les élèves confondent souvent les axes ou ne lisent pas les graduations. Travaille la lecture d’échelles et la signification de chaque axe.
💡 Astuce
Pour le CRPE, montre que tu sais proposer des situations concrètes pour enseigner les statistiques : enquête sur les moyens de transport des élèves, relevé de températures sur un mois, comptage des mots dans les titres de livres de la bibliothèque. Les données réelles motivent les élèves et donnent du sens aux calculs.
✏️ Exercice type CRPE (didactique)
Un enseignant de CM2 demande à ses élèves de calculer la moyenne de la série : 5, 7, 3, 12, 3. Un élève répond 3, car « c’est le nombre qui revient le plus souvent ». Analyse l’erreur et propose une remédiation.
✅ Voir la correction
Analyse de l’erreur : L’élève confond la moyenne et le mode (la valeur la plus fréquente). Le mode de cette série est effectivement 3 (il apparaît 2 fois), mais la moyenne est (5+7+3+12+3)/5 = 30/5 = 6.
Origine de la confusion : L’élève n’a pas compris que la moyenne est un calcul (somme puis division), pas une simple observation de la valeur la plus fréquente. Il utilise une stratégie de repérage visuel plutôt qu’un algorithme de calcul.
Remédiation :
1. Utiliser la métaphore du partage équitable : « Si 5 élèves ont respectivement 5, 7, 3, 12 et 3 bonbons, combien chacun en aurait-il si on les redistribuait équitablement ? » On met tout en commun (30 bonbons) et on partage en 5 : chacun a 6 bonbons. La moyenne, c’est ce partage.
2. Différencier les indicateurs : Présenter aux élèves les trois notions (mode, médiane, moyenne) sur la même série pour qu’ils voient qu’elles donnent des résultats différents.
3. Manipuler : Avec des cubes empilés représentant chaque valeur, l’élève « nivelle » les piles pour obtenir des colonnes de même hauteur : cette hauteur commune est la moyenne.
Tu disposes maintenant de toutes les clés pour aborder sereinement les questions de statistiques au CRPE. Retiens la différence entre les indicateurs de position (moyenne, médiane) et les indicateurs de dispersion (étendue, écart interquartile, écart-type), sache choisir le bon type de diagramme et prépare-toi aux questions de didactique en mobilisant des situations concrètes et en analysant finement les erreurs des élèves.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
