Probabilités : bases et calculs simples – Cours de Maths CRPE

Les probabilités font partie des thèmes les plus redoutés du CRPE, et pourtant la logique derrière est parfaitement accessible. Expériences aléatoires, événements, arbres, tableaux à double entrée : tout repose sur quelques définitions solides et des règles de calcul simples. Dans cet article, tu trouveras le cours complet, les méthodes de calcul indispensables, un éclairage didactique pour l’enseignement en cycle 3 et des exercices dans l’esprit du concours.

Vocabulaire des probabilités

Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, même en connaissant parfaitement les conditions de départ. Lancer un dé, tirer une carte, choisir un élève au hasard dans une classe : ce sont des expériences aléatoires.

À l’inverse, calculer 3 + 5 n’est pas une expérience aléatoire : le résultat est toujours 8.

Issue (ou résultat élémentaire)

Une issue est un résultat possible de l’expérience aléatoire. On dit aussi « résultat élémentaire » ou « éventualité ». Pour un dé à 6 faces, les issues sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Univers

L’univers, noté Ω (oméga), est l’ensemble de toutes les issues possibles. Pour un dé à 6 faces : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Le nombre d’éléments de l’univers est souvent noté n(Ω) ou |Ω|. Ici, |Ω| = 6.

Événement

Un événement est un sous-ensemble de l’univers, c’est-à-dire un ensemble d’issues. Par exemple, avec un dé : « obtenir un nombre pair » est l’événement A = {2, 4, 6}.

Cas particuliers :

• Événement certain : il se réalise toujours. C’est l’univers entier Ω. Exemple : « obtenir un nombre entre 1 et 6 » avec un dé classique.
• Événement impossible : il ne se réalise jamais. C’est l’ensemble vide ∅. Exemple : « obtenir 7 » avec un dé à 6 faces.
• Événement élémentaire : il contient une seule issue. Exemple : « obtenir exactement 3 ».

Définition d’une probabilité

Situation d’équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même probabilité de se produire, on parle d’équiprobabilité. C’est le cas d’un dé équilibré, d’une pièce non truquée ou d’un tirage au hasard dans une urne.

Dans cette situation, la probabilité d’un événement A se calcule par la formule :

Exemple : avec un dé équilibré, P(obtenir un nombre pair) = 3/6 = 1/2.

Approche fréquentiste

Quand on ne peut pas calculer la probabilité théorique, on peut l’estimer en répétant l’expérience un grand nombre de fois. La fréquence observée tend vers la probabilité théorique quand le nombre de répétitions augmente. C’est la loi des grands nombres.

Exemple : si tu lances une punaise 1000 fois et qu’elle tombe sur la pointe 370 fois, tu estimes P(pointe) ≈ 370/1000 = 0,37.

Événements incompatibles et contraires

Événements incompatibles

Deux événements A et B sont incompatibles (ou mutuellement exclusifs) s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Autrement dit, ils n’ont aucune issue en commun : A ∩ B = ∅.

Exemple avec un dé : « obtenir 1 » et « obtenir 6 » sont incompatibles. En revanche, « obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre supérieur à 4 » ne sont pas incompatibles (le 6 appartient aux deux).

Événement contraire

L’événement contraire de A, noté A̅ (A barre), est l’ensemble de toutes les issues qui ne sont pas dans A. C’est tout ce qui reste de l’univers quand on enlève A.

Cette propriété est extrêmement utile. Quand il est compliqué de calculer P(A) directement, il est parfois beaucoup plus simple de calculer P(A̅) et d’en déduire P(A) = 1 – P(A̅).

P(A ou B) et P(A et B)

Réunion : P(A ou B)

« A ou B » (au sens mathématique) signifie « A se réalise, ou B se réalise, ou les deux ». C’est la réunion A ∪ B.

On soustrait P(A et B) dans la formule générale pour ne pas compter deux fois les issues qui appartiennent à la fois à A et à B.

Exemple avec un dé : A = « obtenir un nombre pair » = {2, 4, 6}, B = « obtenir un nombre > 4 » = {5, 6}.

P(A) = 3/6, P(B) = 2/6, P(A et B) = P({6}) = 1/6.

P(A ou B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6 = 2/3.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur les opérations et propriétés.

Intersection : P(A et B)

« A et B » signifie « A se réalise et B aussi en même temps ». C’est l’intersection A ∩ B.

En situation d’équiprobabilité, on compte simplement les issues communes :

P(A et B) = nombre d’issues dans A ∩ B / nombre total d’issues.

Dans le cas d’épreuves successives (comme deux tirages), on utilise la règle de multiplication :

Arbres de probabilités

L’arbre de probabilités est l’outil principal pour représenter les expériences à plusieurs épreuves. Il est indispensable au CRPE.

Construction

1. Trace les branches de la 1ère épreuve à partir d’un noeud de départ. Inscris la probabilité de chaque issue sur sa branche.
2. À chaque extrémité, trace les branches de la 2ème épreuve. Les probabilités peuvent changer selon le résultat de la 1ère épreuve (tirage sans remise).
3. Chaque chemin complet (de la racine à une feuille) représente un résultat global.

Règles de lecture

• Règle de la multiplication : la probabilité d’un chemin = produit des probabilités le long de ce chemin.
• Règle de l’addition : pour un événement correspondant à plusieurs chemins, on additionne les probabilités de chaque chemin.
• Vérification : la somme de toutes les feuilles doit valoir 1.

Prenons un exemple. Un sac contient 3 jetons verts (V) et 2 jetons rouges (R). On tire un jeton, on le remet, puis on tire un second jeton.

Chemin	Calcul	Probabilité
V puis V	3/5 × 3/5	9/25
V puis R	3/5 × 2/5	6/25
R puis V	2/5 × 3/5	6/25
R puis R	2/5 × 2/5	4/25

Vérification : 9/25 + 6/25 + 6/25 + 4/25 = 25/25 = 1.

Tableaux à double entrée

Le tableau à double entrée est un autre outil pour organiser les données de probabilité, particulièrement utile quand on a deux critères de classification.

Principe

On place un critère en ligne et l’autre en colonne. Chaque case contient l’effectif (ou la probabilité) correspondant aux deux critères. Les marges (dernière ligne et dernière colonne) contiennent les totaux.

Exemple : dans une classe de 30 élèves, on s’intéresse au sexe (fille/garçon) et à la pratique d’un sport (oui/non).

	Sport : Oui	Sport : Non	Total
Filles	8	6	14
Garçons	12	4	16
Total	20	10	30

Si on choisit un élève au hasard :

• P(fille et sportive) = 8/30 = 4/15
• P(garçon) = 16/30 = 8/15
• P(sportif) = 20/30 = 2/3
• P(fille ou sportif) = P(fille) + P(sportif) – P(fille et sportive) = 14/30 + 20/30 – 8/30 = 26/30 = 13/15

Angle didactique : enseigner les probabilités en cycle 3

Le CRPE évalue aussi ta capacité à enseigner les probabilités aux élèves de cycle 3 (CM1, CM2, 6ème). Voici les points clés pour cette partie du concours.

Ce que disent les programmes

En cycle 3, les élèves doivent comprendre la notion d’incertitude et de hasard. Ils doivent savoir :

• Reconnaître des situations d’équiprobabilité (dé équilibré, tirage au sort)
• Calculer des probabilités simples dans des situations d’équiprobabilité
• Appréhender la notion de fréquence et son lien avec la probabilité

Démarche d’enseignement recommandée

L’entrée par l’expérimentation est fondamentale. Voici une progression type :

1. Manipuler d’abord. Lance des dés, tire des billes dans un sac, joue à pile ou face. Fais collecter les résultats dans un tableau de fréquences. Les élèves constatent que les fréquences se stabilisent au fur et à mesure des lancers.
2. Comparer fréquence et prédiction. Avant l’expérience, demande aux élèves de prédire les résultats. Après l’expérience, compare les prédictions aux observations. Introduis le vocabulaire : « probable », « certain », « impossible », « équiprobable ».
3. Formaliser progressivement. Passe du « il y a 3 chances sur 6 » à l’écriture fractionnaire 3/6 = 1/2. Relie la probabilité théorique aux fréquences observées.
4. Traiter les conceptions erronées. Beaucoup d’élèves pensent que « si le 6 n’est pas sorti depuis longtemps, il va bientôt sortir ». Travaille sur le fait que le dé n’a pas de mémoire.

Erreurs typiques des élèves de cycle 3

• Confondre « possible » et « probable » (croire que tout ce qui est possible a autant de chances de se produire)
• Le biais de représentativité : « PFPPFP est plus probable que PPPPPP » lors de lancers de pièce (les deux suites ont exactement la même probabilité)
• Le biais du joueur : « ça fait 5 fois pile, donc la prochaine sera forcément face »
• Confondre la probabilité d’un événement et le nombre d’issues favorables (dire « 3 » au lieu de « 3 sur 6 »)

Erreurs fréquentes

Exercices CRPE corrigés

Exercice 1 : Probabilité simple

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Nombre total de jetons : 5 + 3 + 2 = 10.

Méthode 1 (directe) : jetons non rouges = 3 bleus + 2 jaunes = 5. P(non rouge) = 5/10 = 1/2.

Méthode 2 (contraire) : P(non rouge) = 1 – P(rouge) = 1 – 5/10 = 1 – 1/2 = 1/2.

Exercice 2 : Tableau à double entrée

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Construisons le tableau :

– Cantine et CM2 : 45

– Cantine et pas CM2 : 120 – 45 = 75

– Pas cantine et CM2 : 70 – 45 = 25

– Pas cantine et pas CM2 : 80 – 25 = 55

a) P(cantine et CM2) = 45/200 = 9/40

b) P(cantine ou CM2) = P(cantine) + P(CM2) – P(cantine et CM2) = 120/200 + 70/200 – 45/200 = 145/200 = 29/40

Exercice 3 : Arbre de probabilités

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P(N) = 4/10 = 2/5 et P(B) = 6/10 = 3/5.

Tirage avec remise, donc épreuves indépendantes.

« Exactement une noire » = (N puis B) OU (B puis N).

P(N puis B) = 2/5 × 3/5 = 6/25

P(B puis N) = 3/5 × 2/5 = 6/25

P(exactement une noire) = 6/25 + 6/25 = 12/25

Exercice 4 : Question didactique

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Analyse de l’erreur : L’élève confond la valeur d’un nombre avec sa probabilité d’apparition. La taille du nombre n’a aucun rapport avec le nombre de façons de l’obtenir comme somme de deux dés.

En réalité, l’élève a raison sur le résultat (7 est plus probable que 6) mais pour une mauvaise raison. Les décompositions de 7 sont : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 6 façons. Celles de 6 sont : (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) = 5 façons. Donc P(somme=7) = 6/36 et P(somme=6) = 5/36.

Activité proposée : Faire lancer deux dés 100 fois par la classe et noter les sommes obtenues. Construire un tableau de fréquences. Les élèves constateront que 7 sort le plus souvent. Puis faire construire un tableau à double entrée (dé 1 / dé 2) pour visualiser toutes les combinaisons et compter les décompositions de chaque somme. L’élève comprendra que c’est le nombre de décompositions qui compte, pas la valeur de la somme.

Exercice 5 : Événements contraires et tirage

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On utilise le passage par le contraire.

P(au moins un 6) = 1 – P(aucun 6 en 3 lancers)

P(pas de 6 sur un lancer) = 5/6

Les lancers sont indépendants, donc :

P(aucun 6 en 3 lancers) = 5/6 × 5/6 × 5/6 = 125/216

P(au moins un 6) = 1 – 125/216 = 91/216

En décimal : 91/216 ≈ 0,421, soit environ 42,1 %.

FAQ

Quelle est la différence entre probabilité et fréquence ?

La probabilité est une valeur théorique, calculée à partir du modèle (par exemple, P(pile) = 1/2 pour une pièce équilibrée). La fréquence est une valeur observée, calculée à partir des résultats réels d’une expérience. Plus on répète l’expérience, plus la fréquence se rapproche de la probabilité (loi des grands nombres).

Les probabilités tombent-elles souvent au CRPE ?

Oui. Quasiment chaque session du CRPE comporte un exercice sur les probabilités, souvent couplé avec une question didactique. Les thèmes récurrents sont : les tirages dans une urne, les arbres de probabilités, les tableaux à double entrée et les questions sur l’enseignement des probabilités en cycle 3.

Faut-il connaître les formules de dénombrement (arrangements, combinaisons) ?

Non. Le CRPE ne demande pas de connaître les formules de dénombrement avancées (factorielles, arrangements, combinaisons). Il suffit de savoir compter les cas favorables et les cas totaux de manière organisée, en utilisant des arbres ou des tableaux.

Comment distinguer un tirage simultané d’un tirage successif sans remise ?

Un tirage simultané de 2 objets parmi n est mathématiquement équivalent à un tirage successif sans remise de 2 objets parmi n, quand l’ordre ne compte pas. Le résultat est le même. La seule différence est dans la manière de compter : en tirage simultané, on compte les paires sans tenir compte de l’ordre.

Quel lien avec les fractions au cycle 3 ?

Les probabilités sont une application directe des fractions. « 3 chances sur 6 » s’écrit 3/6 = 1/2. C’est une excellente occasion de travailler la simplification de fractions, la comparaison de fractions et le passage fraction-décimal-pourcentage dans un contexte concret et motivant pour les élèves.