Nombres et calculs : fractions et décimaux – Cours de Maths CRPE

Fractions et nombres décimaux sont les deux faces d’une même pièce. Au CRPE, maîtriser le passage de l’une à l’autre est indispensable, tant pour les exercices de mathématiques que pour les questions de didactique. Tu dois savoir convertir, comparer, opérer, et surtout expliquer comment ces notions s’articulent dans l’esprit d’un élève de cycle 3. Cet article couvre l’ensemble du sujet, depuis le lien fondamental entre fractions et décimaux jusqu’aux exercices de synthèse les plus exigeants du concours.

Le lien fondamental entre fractions et décimaux

Tout nombre décimal peut s’écrire sous forme de fraction décimale, c’est-à-dire une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 :

• 0,7 = 7/10
• 0,35 = 35/100
• 2,125 = 2 125/1 000
• 0,003 = 3/1 000

Inversement, toute fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 donne directement un nombre décimal. Le nombre de zéros au dénominateur indique le nombre de chiffres après la virgule.

Fractions décimales et fractions quelconques

Il faut bien distinguer :

• Une fraction décimale a un dénominateur qui est une puissance de 10 : 7/10, 35/100, 247/1 000.
• Une fraction quelconque peut avoir n’importe quel dénominateur entier non nul : 3/7, 5/12, 11/4.

Toute fraction décimale donne un nombre décimal. Toute fraction quelconque donne soit un nombre décimal (si le dénominateur simplifié ne contient que des facteurs 2 et 5), soit un nombre à développement périodique (dans tous les autres cas).

Conversion d’une fraction en décimal

Plusieurs méthodes sont possibles selon le dénominateur de la fraction.

Méthode 1 : obtenir un dénominateur puissance de 10

Si tu peux transformer le dénominateur en 10, 100, 1 000, etc., tu obtiens directement l’écriture décimale.

Exemple : 3/4. Comme 4 × 25 = 100, on multiplie numérateur et dénominateur par 25 : 3/4 = 75/100 = 0,75.

Exemple : 7/8. Comme 8 × 125 = 1 000, on obtient 7/8 = 875/1 000 = 0,875.

Exemple : 3/20. Comme 20 × 5 = 100, on obtient 3/20 = 15/100 = 0,15.

Méthode 2 : la division

Quand le dénominateur ne se transforme pas facilement en puissance de 10, tu poses la division du numérateur par le dénominateur.

Exemple : 5/6. On divise 5 par 6 : 5,000… ÷ 6 = 0,8333… Le résultat est un décimal périodique : 0,8333… = 0,83̄.

Exemple : 2/7. On divise 2 par 7 : 2 ÷ 7 = 0,285714285714… Le résultat est périodique de période 6.

Méthode 3 : reconnaître les fractions classiques

Au CRPE, certaines correspondances doivent être instantanées :

• 1/2 = 0,5
• 1/3 ≈ 0,333…
• 1/4 = 0,25
• 1/5 = 0,2
• 1/6 ≈ 0,1666…
• 1/8 = 0,125
• 2/3 ≈ 0,666…
• 3/4 = 0,75
• 3/8 = 0,375
• 5/8 = 0,625
• 7/8 = 0,875

✅ Voir la correction

a) 11/4 = 275/100 = 2,75 (méthode 1 : on multiplie par 25).

b) 7/20 = 35/100 = 0,35 (méthode 1 : on multiplie par 5).

c) 5/12 : 12 ne se transforme pas en puissance de 10 (facteur 3 irréductible). Division : 5 ÷ 12 = 0,4166… C’est un décimal périodique.

Conversion d’un décimal en fraction

Écriture en fraction décimale

C’est la conversion directe : tu comptes les chiffres après la virgule pour déterminer le dénominateur.

• 0,6 = 6/10
• 0,47 = 47/100
• 3,125 = 3 125/1 000

Simplification en fraction irréductible

On divise numérateur et dénominateur par leur PGCD.

• 0,6 = 6/10 = 3/5 (PGCD = 2)
• 0,75 = 75/100 = 3/4 (PGCD = 25)
• 0,125 = 125/1 000 = 1/8 (PGCD = 125)
• 2,4 = 24/10 = 12/5 (PGCD = 2)

Comparer des fractions et des décimaux

Comparer deux fractions

Plusieurs stratégies :

• Même dénominateur : on compare les numérateurs. 5/7 < 6/7 car 5 < 6.
• Même numérateur : on compare les dénominateurs dans l’ordre inverse. 3/5 > 3/8 car 5 < 8 (les parts sont plus grandes quand le dénominateur est plus petit).
• Réduction au même dénominateur : on cherche le PPCM des deux dénominateurs. Pour comparer 3/4 et 5/7 : PPCM(4, 7) = 28. Donc 3/4 = 21/28 et 5/7 = 20/28. Conclusion : 3/4 > 5/7.
• Conversion en décimal : 3/4 = 0,75 et 5/7 ≈ 0,714, donc 3/4 > 5/7.
• Comparer à une référence : comparer chaque fraction à 1/2. Si l’une est supérieure à 1/2 et l’autre inférieure, c’est réglé.

Comparer un décimal et une fraction

Le plus efficace : convertis les deux nombres sous la même forme (tous en décimal ou tous en fraction) puis compare.

Exemple : comparer 0,45 et 4/9. On convertit 4/9 en décimal : 4 ÷ 9 = 0,444… Donc 0,45 > 4/9.

Autre méthode : 0,45 = 45/100 = 9/20. On compare 9/20 et 4/9 : produit en croix 9 × 9 = 81 vs 4 × 20 = 80, donc 9/20 > 4/9.

✅ Voir la correction

Conversions : 3/5 = 0,6 ; 7/12 ≈ 0,5833… Valeurs : 0,58 < 0,5833… < 0,6 = 0,6. Ordre croissant : 0,58 < 7/12 < 3/5 = 0,6. Note : 3/5 et 0,6 sont égaux.

Opérations mixtes fractions-décimaux

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire un décimal et une fraction, convertis tout sous la même forme. Le choix dépend du contexte :

Ce thème est développé dans notre article sur les fractions et leurs règles.

Exemple : 0,75 + 2/3. En fractions : 3/4 + 2/3 = 9/12 + 8/12 = 17/12. En décimal : 0,75 + 0,666… = 1,416… La forme fractionnaire est plus exacte ici.

Exemple : 1,5 − 3/8. En fractions : 3/2 − 3/8 = 12/8 − 3/8 = 9/8 = 1,125.

Multiplication

La multiplication d’un décimal par une fraction se fait directement en convertissant l’un des deux.

Exemple : 0,4 × 5/6 = 2/5 × 5/6 = 10/30 = 1/3.

Exemple : 1,2 × 3/4 = 6/5 × 3/4 = 18/20 = 9/10 = 0,9.

Division

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Diviser par un décimal revient à convertir en fraction d’abord.

Exemple : 0,6 ÷ 3/4 = 3/5 × 4/3 = 12/15 = 4/5 = 0,8.

Exemple : 7/8 ÷ 0,25 = 7/8 ÷ 1/4 = 7/8 × 4/1 = 28/8 = 7/2 = 3,5.

✅ Voir la correction

a) 2,5 = 5/2. Donc 5/2 + 7/4 = 10/4 + 7/4 = 17/4.

b) 0,6 = 3/5. Donc 3/5 × 5/9 = 15/45 = 1/3.

c) 0,75 = 3/4. Donc 3/8 ÷ 3/4 = 3/8 × 4/3 = 12/24 = 1/2.

Encadrement et valeurs approchées

Encadrer une fraction par deux décimaux consécutifs est un exercice classique du CRPE.

Encadrement au dixième

Pour encadrer 5/7 au dixième près, on divise : 5 ÷ 7 = 0,714… Donc 0,7 < 5/7 < 0,8.

Voir aussi : les calculs avec les puissances pour compléter vos connaissances.

Encadrement au centième

On affine : 5 ÷ 7 = 0,714… Donc 0,71 < 5/7 < 0,72.

Troncature et arrondi

• La troncature au centième de 5/7 = 0,714… est 0,71 (on coupe).
• L’arrondi au centième de 5/7 est aussi 0,71 (car le chiffre suivant, 4, est inférieur à 5).
• L’arrondi au dixième de 5/7 est 0,7 (car le chiffre suivant, 1, est inférieur à 5).

L’angle didactique : enseigner fractions et décimaux au cycle 3

Progression au CM1-CM2

En CM1, les élèves découvrent les fractions simples (1/2, 1/4, 3/4) et les fractions décimales (1/10, 1/100). Le lien entre fraction décimale et écriture à virgule est construit progressivement, souvent à l’aide de la droite graduée et du tableau de numération.

En CM2, on travaille les fractions quelconques, la comparaison, le rangement, et on commence les opérations (addition de fractions de même dénominateur, multiplication d’une fraction par un entier). Les décimaux sont approfondis : toutes les opérations sont au programme.

Difficultés des élèves

• La double nature de la fraction : une fraction est à la fois un rapport (3 parts sur 4) et un nombre (le point 0,75 sur la droite graduée). Les élèves qui ne perçoivent que l’aspect « partage » peinent à comparer des fractions ou à les placer sur une droite.
• Les règles du calcul décimal : beaucoup d’élèves appliquent les règles des entiers aux décimaux. Par exemple, ils pensent que 0,12 > 0,9 « parce que 12 > 9 ». Ou que 0,3 × 0,2 = 0,6.
• L’équivalence fraction-décimal : le fait que 1/4 et 0,25 désignent le même nombre n’est pas immédiat. Il faut multiplier les allers-retours entre les deux écritures.

Activités recommandées

1. Le ruban gradué : un ruban de 1 mètre divisé en 10, puis en 100 parties. Les élèves y placent des fractions et des décimaux, constatant physiquement que 1/4 et 25/100 tombent au même endroit.
2. Le jeu de conversion : cartes avec des fractions d’un côté, leur écriture décimale de l’autre. L’élève doit donner l’autre forme avant de retourner la carte.
3. Le tableau de numération étendu : ajouter les colonnes des dixièmes, centièmes, millièmes. L’élève y inscrit le même nombre sous forme de fraction décimale et d’écriture à virgule.
4. Les situations de partage : « Partage 3 gâteaux entre 4 personnes. » L’élève obtient la fraction 3/4 puis vérifie que cela correspond à 0,75 gâteau.

Exercices de synthèse type CRPE

✅ Voir la correction

a) 0,375 = 375/1 000. PGCD(375, 1 000) = 125. Donc 375/1 000 = 3/8.

b) 7 ÷ 6 = 1,1666… = 1,16̄.

c) 0,25 = 1/4. Donc 3/8 + 1/4 − 1/6. PPCM(8, 4, 6) = 24. On obtient 9/24 + 6/24 − 4/24 = 11/24.

✅ Voir la correction

a) L’ajout représente 3/4 − 2/5 = 15/20 − 8/20 = 7/20 de la capacité.

b) 7/20 de la capacité = 12,5 litres. Capacité totale = 12,5 ÷ 7/20 = 12,5 × 20/7 = 250/7 ≈ 35,71 litres. En fraction exacte : 250/7 litres.

Le passage entre fractions et décimaux est une compétence transversale au CRPE : elle intervient dans les pourcentages, la proportionnalité, les mesures, les aires. Maîtriser les conversions dans les deux sens, savoir comparer et opérer en choisissant la forme la plus adaptée, c’est la base. Et du côté didactique, retiens que le lien fraction-décimal se construit lentement chez l’élève, à travers des manipulations concrètes et des allers-retours répétés entre les écritures.