Triangle isocèle : propriétés, formules et définition (5e)

Le triangle isocèle est l’un des triangles particuliers les plus utilisés en classe de 5ème. Il apparaît dans les exercices d’angles, de symétrie, de construction et de calcul d’aire. Cet article reprend, étape par étape, la définition officielle, les quatre propriétés à connaître, la méthode de construction à la règle et au compas, les formules (périmètre, hauteur, aire) et quatre exercices corrigés progressifs pour préparer le contrôle de 5ème.

Définition du triangle isocèle

Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés de même longueur. Ces deux côtés sont appelés les côtés égaux. Le troisième côté, celui qui n’a pas le même rôle, porte le nom de base du triangle. Le sommet commun aux deux côtés égaux est le sommet principal.

Quand on dit qu’un triangle ABC est isocèle en A, cela veut dire que le sommet principal est le point A, donc que AB = AC. Le côté [BC] est alors la base du triangle.

Le mot isocèle vient du grec isoskêles, qui signifie « à jambes égales ». Cette étymologie est très utile pour retenir la définition : deux « jambes » de même longueur qui partent du même sommet.

Différence entre triangle isocèle, équilatéral et rectangle

Pour ne pas confondre les triangles particuliers du cycle 4, il faut retenir trois points simples :

• un triangle isocèle a deux côtés de même longueur ;
• un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur (c’est un cas particulier de triangle isocèle) ;
• un triangle rectangle possède un angle droit, c’est-à-dire un angle qui mesure 90°.

Un triangle peut cumuler plusieurs de ces propriétés : c’est le cas du triangle isocèle rectangle, qui a à la fois deux côtés égaux et un angle droit au sommet principal. Ses deux angles à la base mesurent alors 45° chacun, puisque 90° + 45° + 45° = 180°.

Les propriétés du triangle isocèle

Au programme de 5ème, le triangle isocèle est associé à quatre propriétés à retenir par cœur. Elles reviennent dans la plupart des exercices et des contrôles.

Propriété 1 : les angles à la base sont égaux

Dans un triangle isocèle, les deux angles situés à la base ont la même mesure. Autrement dit, si le triangle ABC est isocèle en A, alors les angles ABC et ACB sont égaux.

Propriété 2 : un axe de symétrie

Tout triangle isocèle possède un axe de symétrie. Cet axe est la droite qui passe par le sommet principal et qui coupe la base en son milieu, perpendiculairement. Si l’on plie le triangle le long de cet axe, les deux côtés égaux se superposent exactement. Cette propriété est très utile lorsqu’on étudie la symétrie axiale en 5ème.

Propriété 3 : hauteur, médiane, médiatrice et bissectrice confondues

La particularité la plus puissante du triangle isocèle concerne la droite qui sort du sommet principal : elle joue quatre rôles à la fois. C’est en même temps la hauteur, la médiane, la médiatrice et la bissectrice relative au sommet principal.

Propriété 4 : la somme des angles vaut 180°

Comme dans tout triangle, la somme des trois angles d’un triangle isocèle vaut toujours 180°. Comme les deux angles à la base sont égaux, cela donne une relation très pratique : si l’angle au sommet mesure a, alors chaque angle à la base mesure (180° − a) ÷ 2. Inversement, si un angle à la base mesure b, alors l’angle au sommet mesure 180° − 2b.

Construction d’un triangle isocèle à la règle et au compas

Savoir construire un triangle isocèle est une compétence attendue en 5ème. La méthode ci-dessous utilise la règle graduée et le compas. Voici un exemple précis : on veut construire un triangle ABC isocèle en A, avec BC = 6 cm et AB = AC = 5 cm.

1. Tracer la base. À la règle, tracer un segment [BC] de 6 cm. Placer les lettres B et C aux extrémités.
2. Ouvrir le compas à 5 cm. Régler l’écartement du compas sur 5 cm exactement, en utilisant la règle graduée.
3. Tracer le premier arc de cercle. Pointer le compas en B et tracer un arc de cercle au-dessus de [BC].
4. Tracer le second arc de cercle. Sans changer l’écartement du compas, pointer en C et tracer un second arc qui coupe le premier.
5. Placer le point A. Le point d’intersection des deux arcs est le sommet A. Tracer à la règle les segments [AB] et [AC].
6. Vérifier. Mesurer AB et AC au double-décimètre : on doit bien trouver 5 cm pour chacun.

Le même procédé fonctionne dans l’autre sens : si l’on connaît d’abord la longueur des deux côtés égaux et l’angle au sommet, on utilise le rapporteur pour tracer l’angle, puis la règle pour reporter les deux côtés égaux.

Formules du triangle isocèle : périmètre, hauteur, aire

Trois formules sont à connaître au programme de 5ème. On note c la longueur des deux côtés égaux et b la longueur de la base.

Formule du périmètre

Exemple chiffré : un triangle isocèle a deux côtés égaux de 7 cm et une base de 5 cm. Son périmètre vaut 2 × 7 + 5 = 14 + 5 = 19 cm.

Formule de l’aire

Pour l’aire d’un triangle, la règle est la même que pour n’importe quel triangle : un demi-produit base par hauteur.

Exemple chiffré : un triangle isocèle de base 8 cm et de hauteur 6 cm a pour aire (8 × 6) ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24 cm².

Calcul de la hauteur quand on connaît les trois côtés

Si l’on connaît la base b et les deux côtés égaux c, on peut retrouver la hauteur h issue du sommet principal. Cette hauteur arrive au milieu de la base (propriété 3) : elle sépare donc le triangle isocèle en deux triangles rectangles égaux. Dans chacun, on applique le théorème de Pythagore (vu en 4ème, mais utile pour comprendre dès la 5ème) :

Exemple chiffré : pour un triangle isocèle avec c = 13 cm et b = 10 cm, on calcule la moitié de la base : 10 ÷ 2 = 5. Puis h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc h = √144 = 12 cm. L’aire du triangle vaut alors (10 × 12) ÷ 2 = 60 cm².

Exercices corrigés sur le triangle isocèle (niveau 5ème)

Quatre exercices progressifs pour s’entraîner. Les corrections détaillées sont dépliables après ton essai. Ne triche pas, cherche d’abord sur ton cahier !

Exercice 1 : calcul d’un angle à la base

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La somme des trois angles d’un triangle vaut 180°. Les deux angles à la base sont égaux puisque ABC est isocèle en A.

On calcule d’abord la somme des deux angles à la base : 180° − 40° = 140°.

On divise par 2 pour obtenir un seul angle : 140° ÷ 2 = 70°.

Vérification : 40° + 70° + 70° = 180°.

Réponse : ABC = ACB = 70°.

Exercice 2 : calcul de l’angle au sommet

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Le triangle MNP est isocèle en M, donc les deux angles à la base sont égaux : MNP = MPN = 65°.

La somme des deux angles à la base vaut 65° + 65° = 130°.

L’angle au sommet M s’obtient en retirant cette somme de 180° : NMP = 180° − 130° = 50°.

Vérification : 65° + 65° + 50° = 180°.

Exercice 3 : calcul du périmètre et de l’aire

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Périmètre. On applique la formule P = 2 × c + b avec c = 13 cm et b = 10 cm.

P = 2 × 13 + 10 = 26 + 10 = 36 cm.

Aire. On applique la formule A = (base × hauteur) ÷ 2 avec base = 10 cm et hauteur = 12 cm.

A = (10 × 12) ÷ 2 = 120 ÷ 2 = 60 cm².

Exercice 4 : reconnaître un triangle isocèle par ses angles

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On commence par calculer le troisième angle. La somme des angles vaut 180°, donc :

DFE = 180° − 40° − 70° = 70°.

On observe deux angles de même mesure : DEF = DFE = 70°. D’après la propriété réciproque, si un triangle possède deux angles égaux, alors il est isocèle, et les deux côtés égaux sont ceux opposés à ces angles.

Les deux angles égaux sont en E et en F. Le sommet commun aux deux côtés opposés à ces angles est D. Donc DEF est isocèle en D, avec DE = DF.

Repérer un triangle isocèle dans une figure

En 5ème, beaucoup d’énoncés demandent de repérer les triangles isocèles dans une figure plus grande (un quadrilatère, un pentagone, une figure codée). Trois indices reviennent en permanence et il faut les connaître.

Indice n°1 : le codage des longueurs

Sur une figure, les côtés de même longueur sont repérés par un même codage (un ou plusieurs petits traits perpendiculaires au côté). Si deux côtés d’un triangle portent le même codage, alors ces deux côtés sont égaux : le triangle est isocèle, et le sommet commun aux deux côtés codés est le sommet principal.

Indice n°2 : le codage des angles

De la même manière, les angles égaux sont marqués par de petits arcs identiques. Si deux angles d’un triangle portent le même codage d’arc, les deux angles sont égaux, donc le triangle est isocèle (propriété réciproque). Le sommet principal est alors celui qui n’est pas codé, et la base est le côté opposé à ce sommet.

Indice n°3 : les données numériques de l’énoncé

Parfois, la figure n’est pas codée, mais l’énoncé donne les mesures. Il faut alors lire attentivement : si deux côtés ont la même longueur, ou si deux angles ont la même mesure, le triangle est isocèle. Un bon réflexe consiste à entourer les égalités dès la lecture de l’énoncé.

Erreurs fréquentes à éviter

Ces erreurs reviennent souvent dans les copies de 5ème. Les repérer dès maintenant évite de perdre des points au contrôle.

FAQ : questions fréquentes sur le triangle isocèle en 5ème

Un triangle équilatéral est-il un triangle isocèle ?

Oui. Un triangle équilatéral possède trois côtés égaux. Il possède donc, entre autres, deux côtés égaux : il vérifie la définition du triangle isocèle. On dit que le triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle. En revanche, l’inverse est faux : un triangle isocèle n’est pas forcément équilatéral.

Combien d’axes de symétrie a un triangle isocèle ?

Un triangle isocèle non équilatéral possède un seul axe de symétrie. Cet axe passe par le sommet principal et par le milieu de la base. Un triangle équilatéral, lui, possède trois axes de symétrie.

Comment prouver qu’un triangle est isocèle en 5ème ?

Deux méthodes sont possibles au programme de 5ème. Soit on montre que deux côtés ont la même longueur (souvent grâce à un codage sur la figure ou à une mesure). Soit on montre que deux angles ont la même mesure, et on applique la propriété réciproque : si deux angles sont égaux, alors le triangle est isocèle.

Qu’est-ce qu’un triangle isocèle rectangle ?

Un triangle isocèle rectangle est un triangle qui est à la fois isocèle et rectangle. L’angle droit se trouve au sommet principal, entre les deux côtés égaux. Ses deux angles à la base valent donc toujours 45°, puisque 90° + 45° + 45° = 180°. Cette configuration se retrouve dans la diagonale d’un carré. Pour aller plus loin sur les propriétés des triangles (angles et côtés), une fiche dédiée reprend l’ensemble des cas particuliers.

La médiatrice d’un côté d’un triangle isocèle a-t-elle une particularité ?

Oui : la médiatrice de la base d’un triangle isocèle passe par le sommet principal. Elle est confondue avec la hauteur, la médiane et la bissectrice issues de ce sommet. C’est une conséquence directe de la symétrie du triangle isocèle.

Ce qu’il faut retenir

Un triangle isocèle, c’est avant tout deux côtés de même longueur et, par conséquent, deux angles à la base égaux. Sa droite issue du sommet principal joue quatre rôles d’un coup (hauteur, médiane, médiatrice, bissectrice). Pour calculer un angle manquant, on utilise la somme 180°. Pour calculer le périmètre, on additionne les trois côtés. Pour calculer l’aire, on utilise la formule (base × hauteur) ÷ 2 avec la hauteur perpendiculaire à la base. Avec ces quatre réflexes, la plupart des exercices de 5ème se résolvent en quelques lignes.