En 5e, tu passes un cap en géométrie dans l’espace : tu apprends à calculer l’aire et le volume de deux solides fondamentaux, le prisme droit et le cylindre de révolution. Pour chacun, la démarche est la même : tu pars du patron, tu calcules l’aire latérale, puis l’aire totale, puis le volume. Ce cours détaillé t’accompagne étape par étape avec des formules claires, un tableau comparatif prisme vs cylindre, les erreurs classiques à éviter et des exercices corrigés pour consolider tes acquis.
Rappel : aire vs volume
Avant de plonger dans les calculs, il faut bien distinguer ces deux grandeurs qui sont souvent confondues : Pour aller plus loin, consultez notre cours sur l’aire d’une surface plane.
- L’aire mesure la surface d’un solide, c’est-à-dire la quantité de « peau » qui le recouvre. On l’exprime en unités carrées : cm², m², etc. Imagine que tu dois peindre un objet : l’aire te dit combien de peinture il te faut.
- Le volume mesure la place qu’occupe le solide dans l’espace, c’est-à-dire la quantité de matière qu’il contient. On l’exprime en unités cubes : cm³, m³, etc. Imagine que tu dois remplir un objet creux : le volume te dit combien de liquide il faut.
À retenir
Aire = surface extérieure → unités carrées (cm², m²)
Volume = espace intérieur → unités cubes (cm³, m³)
L’aire et le volume utilisent les mêmes dimensions du solide, mais les formules et les unités sont différentes.
Le prisme droit
Un prisme droit est un solide dont les deux bases sont des polygones identiques et parallèles, et dont les faces latérales sont des rectangles perpendiculaires aux bases. Les bases peuvent être des triangles, des rectangles, des pentagones… Le pavé droit que tu connais depuis la 6e est un cas particulier de prisme droit dont les bases sont des rectangles.
Patron du prisme droit
Le patron d’un solide, c’est le dessin à plat qu’on obtient quand on « déplie » toutes ses faces. Pour un prisme droit, le patron se compose de :
- 2 bases identiques (les deux polygones du dessus et du dessous).
- 1 rectangle latéral (ou plusieurs rectangles mis bout à bout) dont la longueur totale est le périmètre de la base et la largeur est la hauteur du prisme.
Prenons un prisme droit à base triangulaire. La base est un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm. La hauteur du prisme est 10 cm. Le patron comprend : 2 triangles identiques et 3 rectangles (3×10, 4×10 et 5×10), ou bien 2 triangles et 1 grand rectangle de 12 cm × 10 cm (12 cm = périmètre du triangle = 3 + 4 + 5).
Aire latérale du prisme droit
L’aire latérale, c’est l’aire de toutes les faces rectangulaires, sans les deux bases. Elle correspond à la « bande » qui entoure le prisme. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur le prisme droit.
À retenir
Aire latérale du prisme droit = Périmètre de la base × Hauteur du prisme
Alat = Pbase × h
Avec notre prisme à base triangulaire (côtés 3, 4, 5 cm et hauteur 10 cm) :
Pbase = 3 + 4 + 5 = 12 cm
Alat = 12 × 10 = 120 cm²
Aire totale du prisme droit
L’aire totale, c’est l’aire de toutes les faces du solide : les faces latérales plus les deux bases.
À retenir
Aire totale du prisme droit = Aire latérale + 2 × Aire de la base
Atotale = Pbase × h + 2 × Abase
Pour notre prisme, la base est un triangle rectangle de côtés 3 et 4 cm (l’hypoténuse fait 5 cm) :
Abase = (3 × 4) ÷ 2 = 6 cm²
Atotale = 120 + 2 × 6 = 120 + 12 = 132 cm²
Volume du prisme droit
Le volume du prisme droit suit une logique simple : on prend l’aire de la base (la « tranche ») et on la multiplie par la hauteur (combien de fois on empile cette tranche).
À retenir
Volume du prisme droit = Aire de la base × Hauteur
V = Abase × h
La hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur le cylindre de révolution.
Pour notre prisme :
V = 6 × 10 = 60 cm³
Le cylindre de révolution
Le cylindre de révolution est un solide dont les deux bases sont des disques identiques et parallèles, reliés par une surface latérale courbe. Pense à une boîte de conserve, un rouleau de papier toilette ou un tube de colle : ce sont des cylindres. On l’appelle « de révolution » parce qu’on peut l’obtenir en faisant tourner un rectangle autour d’un de ses côtés.
Patron du cylindre
Le patron du cylindre se compose de :
- 2 disques identiques de rayon r (les deux bases).
- 1 rectangle dont la longueur est le périmètre du disque (2πr) et la largeur est la hauteur du cylindre (h).
C’est un point clé à retenir : quand tu déroules la surface courbe du cylindre, tu obtiens un rectangle. La longueur de ce rectangle correspond exactement au tour complet du disque, soit 2πr.
Aire latérale du cylindre
Puisque la surface latérale déroulée est un rectangle de dimensions 2πr × h :
À retenir
Aire latérale du cylindre = 2πr × h
où r est le rayon de la base et h la hauteur du cylindre.
Exemple : un cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 10 cm.
Alat = 2 × π × 4 × 10 = 80π ≈ 251,3 cm²
Aire totale du cylindre
On ajoute les deux disques à l’aire latérale : Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les conversions d’unités.
À retenir
Aire totale du cylindre = 2πrh + 2πr²
On peut factoriser : Atotale = 2πr(h + r)
Avec notre cylindre (r = 4 cm, h = 10 cm) :
Atotale = 2π × 4 × (10 + 4) = 2π × 4 × 14 = 112π ≈ 351,9 cm²
Volume du cylindre
Comme pour le prisme, le volume du cylindre est l’aire de la base multipliée par la hauteur. La base est un disque, donc son aire est πr².
À retenir
Volume du cylindre = πr²h
où r est le rayon de la base et h la hauteur du cylindre.
Avec notre cylindre (r = 4 cm, h = 10 cm) :
V = π × 4² × 10 = π × 16 × 10 = 160π ≈ 502,7 cm³
Tableau récapitulatif : prisme droit vs cylindre
| Caractéristique | Prisme droit | Cylindre de révolution |
|---|---|---|
| Bases | 2 polygones identiques | 2 disques identiques |
| Surface latérale | Rectangles (faces planes) | 1 rectangle enroulé (surface courbe) |
| Aire latérale | Pbase × h | 2πr × h |
| Aire totale | Pbase × h + 2 × Abase | 2πrh + 2πr² |
| Volume | Abase × h | πr²h |
| Point commun | Volume = Aire de la base × Hauteur | |
Astuce
La formule du volume est la même pour les deux solides : Aire de la base × Hauteur. Seul le calcul de l’aire de la base change (polygone pour le prisme, disque pour le cylindre). Retiens cette logique unique et tu ne te tromperas jamais.
Unités d’aire et de volume
Les unités d’aire et de volume ne se convertissent pas de la même façon. Voici un rappel des deux systèmes : Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les volumes étudiés en 6ème.
| Grandeur | Facteur entre unités consécutives | Colonnes dans le tableau de conversion |
|---|---|---|
| Longueur | × 10 | 1 par unité |
| Aire | × 100 | 2 par unité |
| Volume | × 1 000 | 3 par unité |
Pour les aires : 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm². Pour les volumes : 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³. N’oublie pas non plus que 1 dm³ = 1 L et 1 cm³ = 1 mL.
Erreurs fréquentes
️ Erreur fréquente
Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans les formules du cylindre.
L’énoncé donne souvent le diamètre (par exemple « un cylindre de diamètre 10 cm »). La formule utilise le rayon, qui est la moitié du diamètre. Si d = 10 cm, alors r = 5 cm. Vérifie systématiquement si l’énoncé te donne r ou d avant de te lancer dans le calcul.
️ Erreur fréquente
Oublier les 2 bases dans l’aire totale.
L’aire totale = aire latérale + 2 × aire de la base. Beaucoup d’élèves n’ajoutent qu’une seule base, ou oublient complètement les bases. Un prisme ou un cylindre a toujours deux bases identiques. Vérifie que ton calcul comprend bien le facteur 2.
️ Erreur fréquente
Confondre périmètre et aire de la base.
Pour l’aire latérale, tu utilises le périmètre de la base. Pour le volume, tu utilises l’aire de la base. Ce sont deux grandeurs différentes de la même base. Périmètre = le tour (en cm). Aire = la surface (en cm²).
Exercices corrigés
️ Exercice 1
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 8 cm. L’hypoténuse mesure 10 cm. La hauteur du prisme est 15 cm. Calcule son aire latérale, son aire totale et son volume.
Voir la correction
Aire latérale :
Pbase = 6 + 8 + 10 = 24 cm
Alat = 24 × 15 = 360 cm²
Aire de la base :
Abase = (6 × 8) ÷ 2 = 24 cm²
Aire totale :
Atotale = 360 + 2 × 24 = 360 + 48 = 408 cm²
Volume :
V = Abase × h = 24 × 15 = 360 cm³
️ Exercice 2
Un cylindre a un rayon de 5 cm et une hauteur de 12 cm. Calcule son aire latérale et son volume. Donne les résultats exacts en fonction de π, puis une valeur approchée à l’unité.
Voir la correction
Aire latérale :
Alat = 2πr × h = 2 × π × 5 × 12 = 120π cm² ≈ 377 cm²
Volume :
V = πr²h = π × 5² × 12 = π × 25 × 12 = 300π cm³ ≈ 942 cm³
️ Exercice 3
Un cylindre a un diamètre de 14 cm et une hauteur de 20 cm. Calcule son volume. Donne la valeur exacte puis la valeur approchée au cm³ près.
Voir la correction
Attention, l’énoncé donne le diamètre. Le rayon est la moitié : r = 14 ÷ 2 = 7 cm.
V = πr²h = π × 7² × 20 = π × 49 × 20 = 980π cm³ ≈ 3 079 cm³
️ Exercice 4
Un prisme droit a pour base un rectangle de 7 cm sur 4 cm. Sa hauteur est 9 cm. Calcule l’aire totale de ce prisme.
Voir la correction
Périmètre de la base :
Pbase = 2 × (7 + 4) = 2 × 11 = 22 cm
Aire latérale :
Alat = 22 × 9 = 198 cm²
Aire de la base :
Abase = 7 × 4 = 28 cm²
Aire totale :
Atotale = 198 + 2 × 28 = 198 + 56 = 254 cm²
️ Exercice 5
Une boîte de conserve cylindrique a un rayon de 3,5 cm et une hauteur de 11 cm. Quelle est sa contenance en mL ? (Rappel : 1 cm³ = 1 mL)
Voir la correction
V = πr²h = π × 3,5² × 11 = π × 12,25 × 11 = 134,75π ≈ 423 cm³
Puisque 1 cm³ = 1 mL, la contenance est d’environ 423 mL.
Questions fréquentes
Comment savoir quelle face est la base d’un prisme droit ?
La base d’un prisme droit, c’est le polygone qui se répète deux fois (en haut et en bas). Les faces latérales sont toujours des rectangles. Si un solide a deux faces triangulaires identiques et trois faces rectangulaires, les bases sont les triangles. Parfois, dans un exercice, le prisme est « couché » : les deux bases ne sont pas forcément en haut et en bas sur le dessin. Cherche les deux faces identiques et parallèles.
Faut-il donner la valeur exacte ou approchée pour le cylindre ?
En contrôle de 5e, l’énoncé le précise. S’il demande la « valeur exacte », laisse π dans ta réponse (par exemple 120π cm³). S’il demande une « valeur approchée », utilise π ≈ 3,14 ou la touche π de ta calculatrice et arrondis selon la consigne. En l’absence de précision, donne les deux : la valeur exacte d’abord, puis la valeur approchée. Tu montres ainsi que tu maîtrises les deux niveaux.
Pourquoi la formule du volume est la même pour le prisme et le cylindre ?
Parce que le principe est identique : on « empile » la base sur toute la hauteur. Le prisme empile un polygone, le cylindre empile un disque, mais dans les deux cas, le volume est le nombre de « tranches » (la hauteur) multiplié par la surface d’une tranche (l’aire de la base). C’est cette logique commune V = Abase × h qui te permet de calculer le volume de n’importe quel solide dont la section reste constante sur toute la hauteur.
Peut-on calculer le volume d’un prisme dont la base n’est pas un triangle ?
Absolument. La base peut être n’importe quel polygone : rectangle, trapèze, hexagone… La formule V = Abase × h marche toujours. Il suffit de savoir calculer l’aire du polygone qui sert de base. En 5e, les exercices portent le plus souvent sur des bases triangulaires ou rectangulaires, mais le raisonnement est le même pour toutes les formes.
Comment vérifier si mon résultat est réaliste ?
Compare ton résultat à un objet concret. Un cylindre de rayon 5 cm et hauteur 12 cm, c’est à peu près la taille d’une grande boîte de conserve. Son volume devrait tourner autour de 900-1 000 cm³, soit environ 1 litre. Si tu trouves 94 cm³ ou 9 420 cm³, vérifie tes calculs. Penser en litres (1 dm³ = 1 L) aide beaucoup à repérer les erreurs grossières.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
