Fonction logarithme Népérien

Pourquoi le logarithme est-il si spécial en mathématiques ? Découvre l’énigme du logarithme népérien ou logarithme naturel. Cette fonction dévoile l’unique solution de l’équation e^x = a, synonyme de réciprocité avec l’exponentielle.

La fonction logarithme népérien, notée ln(x), est au cœur de nombreux concepts en mathématiques et sciences. Ce logarithme utilise comme base le nombre irrationnel e, aussi appelé nombre d’Euler, qui vaut environ 2,718. Puisqu’il est primordial pour l’étude des fonctions exponentielles, il mérite toute notre attention.

Qu’est-ce que la fonction logarithme népérien ?

Le logarithme népérien d’un nombre positif a est la solution de l’équation e^x = a. Cette définition permet à la fonction logarithme d’être la fonction réciproque de l’exponentielle. Autrement dit, si tu as un nombre x, alors ln(x) te donnera l’exposant pour lequel e, élevé à cette puissance, te redonnerait x.

Son domaine est l’ensemble des réels strictement positifs, c’est-à-dire tous les nombres au-dessus de zéro. La fonction est à valeurs réelles, et elle nous offre un point de vue fascinant sur la relation entre des nombres autrement complexes.

Propriétés de la fonction logarithme népérien

La fonction ln(x) possède plusieurs propriétés essentielles, dont certaines facilitent énormément les calculs. Elle est en effet strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[, ce qui signifie que si x₁ < x₂, alors ln(x₁) < ln(x₂).

La fonction possède aussi des propriétés algébriques utiles. Par exemple, ln(ab) = ln(a) + ln(b). Cette propriété de base te permet de transformer des multiplicateurs en addition simple, ce qui est incroyablement pratique. De plus, pour tout a réel et positif, ln(a^r) = r * ln(a).

Exemples d’utilisation du logarithme népérien

📘 Voyons un exemple simple : Si tu souhaites résoudre e^x=5, tu peux réorganiser l’équation en x=ln(5). Grâce à une calculatrice, tu peux trouver que ln(5) ≈ 1.609. Cela signifie que e ^1.609 ≈ 5.

Astuce pour réussir avec les logarithmes népériens

🌟 Pense toujours à la relation inverse entre la fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle. Comprendre que ln(e^x) = x et e^ln(x) = x est souvent la clé pour résoudre de nombreux problèmes.

Tableau de valeurs usuelles

Tu peux utiliser le tableau ci-dessous pour quelques valeurs de ln(x) afin de vérifier par toi-même certains calculs.

x	ln(x)
1	0
e	1
10	≈ 2.303

Pour aller plus loin, tu peux consulter des exercices pratiques sur Exercices de mathématiques en ligne.

Exercices de maths

Découvre ci-dessous quelques exercices pour s’entraîner et améliorer ta compréhension des concepts mathématiques essentiels.

Exercice sur la Fonction Logarithme Népérien : Comprendre le ln

Énoncé de l’exercice

Soit la fonction logarithme népérien notée ln. Trouvez la valeur de x telle que ln(x) = 2 🌟. Souvienes-toi que le logarithme népérien est l’opposé de l’exponentielle ! 📘

Instructions

1. 🔎 Identifie quelle équation exponentielle est équivalente à ln(x) = 2.
2. 🎯 Calcule la valeur de x utilisant cette équation.
3. 💡 Astuce : Rappelle-toi que si ln(a) = b, alors a = e^b. Utilise cette propriété pour résoudre le problème.

Correction

📘 Étape 1 : Comprendre l’équation exponentielle. L’équation ln(x) = 2 signifie que x est l’unique solution de l’équation exponentielle e² = x. Cela se lit comme quand l’exponentielle de 2 donne x.

⚙️ Étape 2 : Calculez la valeur de x. Puisque e² est égal à x, vous devez calculer e².

✅ La valeur de x qui satisfait ln(x) = 2 est x = e² ≈ 7.39.

Découvrir la Fonction Logarithme Népérien

Énoncé de l’exercice

Considérons la fonction logarithme népérien, notée ln. Résoudre l’équation suivante pour x : ln(x) = 1.
Indice : 🌟 Rappelez-vous que ln est la fonction inverse de l’exponentielle! 🔄

Instructions

1. 🔍 Identifier ce que signifie l’équation ln(x) = 1 en termes de fonction inverse.
2. 📝 Écrire l’équation correspondante en fonction exponentielle.
3. 🔢 Calculer la valeur de x qui satisfait cette équation.
4. 🎯 Vérifier votre réponse en substituant x dans la fonction ln.

Correction

🔍 Commençons par préciser que l’équation donnée, ln(x) = 1, signifie que nous cherchons un x tel que l’exponentielle de 1 soit égale à x.

📝 En utilisant la propriété que la fonction ln est la fonction inverse de l’exponentielle, nous pouvons réécrire : e^1 = x.

🔢 Calculons la valeur de x: l’exponentielle de 1 est simplement le nombre e. Ainsi, x = e.

🎯 Pour vérifier, substituons x = e dans la fonction logarithme népérien : ln(e) = 1, ce qui est conforme à notre équation initiale.

Exercice sur la Compréhension du Logarithme Népérien

Énoncé de l’exercice

😊 On vous donne le nombre x = 7. Calculez le logarithme népérien de ce nombre, noté ln(x). Rappel: Cherchez la valeur qui résout l’équation e^y = x, où e est le nombre d’Euler (environ 2,718).
🔍 Indice : Utilisez votre calculatrice pour obtenir une réponse précise. Bonne chance !

Instructions

1. 🔢 Entrez 7 dans votre calculatrice et utilisez la fonction ln pour trouver la réponse.
2. 🔍 Vérifiez que l’équation e^y = 7 est validée par le résultat obtenu. Le résultat devrait être un nombre raisonnable compte tenu de la croissance de l’exponentielle.
3. 🎯 Notez le résultat avec au moins trois chiffres après la virgule pour la précision.

Correction

📘 Première étape : En utilisant une calculatrice, entrez 7 et appuyez sur la touche ln. Cela vous donnera environ 1,9459.

🔍 Seconde étape : Vérifiez votre résultat. Calculez e^1,9459 à l’aide de votre calculatrice. Vous devriez obtenir une valeur très proche de 7, confirmant ainsi votre calcul.

🗝️ Finalement : La valeur de ln(7) est 1,9459.

Comprendre la fonction logarithme népérien t’offre une perspective plus claire sur la résolution d’équations exponentielles. Ce concept repose sur l’idée que le logarithme népérien, noté ln, est la solution de l’équation où la base de l’exponentielle est le nombre irrationnel e.

L’intérêt du logarithme népérien réside dans sa capacité à transformer les multiplications en additions, rendant les calculs plus simples. Connaître les propriétés de la fonction ln te permettra de naviguer plus facilement dans des domaines comme l’analyse ou les probabilités, où le logarithme naturel joue un rôle central.

Pour approfondir tes connaissances sur les logarithmes et d’autres fonctions mathématiques, tu peux consulter la section cours de mathématiques de ExoMath.

@lucas_classmath

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♬ son original – Lu Lu – Lu Lu