Les mathématiques en s’amusant avec Inimath.

Systèmes d’équations 2nde : substitution et résolution graphique

Par Cardia Anthony / 6 novembre 2024

Comment résoudre une équation ou une inéquation graphiquement? Trouve les abscisses des points où la courbe d’une fonction intersecte une droite ou une autre courbe représentative.

Comprendre comment résoudre graphiquement une équation ou une inéquation est nécessaire en classe de seconde. Cette méthode te permet de visualiser les solutions sur un graphique, ce qui peut être bien plus intuitif. La résolution graphique repose sur l’interprétation visuelle de courbes représentant des fonctions mathématiques. En abordant ceci, tu apprendras que les solutions d’une équation du type (f(x) = k) se trouvent en identifiant les points d’intersection avec une ligne droite horizontale.

Sommaire :

Résoudre graphiquement une équation

Pour une équation de la forme (f(x) = k), tu dois chercher les abscisses des points où la courbe de la fonction (f) croise la droite (y = k).

Exemple : Si tu as (f(x) = 3), trace la courbe de la fonction et une droite horizontale à l’ordonnée 3. Les abscisses des intersections sont tes solutions.

Résolution graphique d’une inéquation

Lors de la résolution d’une inéquation du type (f(x) ≤ g(x)), il s’agit de déterminer les abscisses des zones où la courbe de (f(x)) est en dessous de celle de (g(x)). Ici, visualiser te permet de bien identifier les dominances entre fonctions.

Astuce : Il est souvent utile d’utiliser une couleur distinctive pour chaque courbe. Cela te permet de repérer plus facilement les régions spécifiques où l’inéquation est satisfaite.

Résoudre un système d’équations par substitution

La méthode de substitution permet de résoudre un système de deux équations à deux inconnues. Le principe : on isole une inconnue dans une équation, puis on la remplace (on la substitue) dans l’autre équation.

📐 Méthode pas à pas

Étape 1 : Choisis une équation et isole une des deux inconnues (celle où c’est le plus simple).
Étape 2 : Substitue cette expression dans l’autre équation.
Étape 3 : Résous l’équation obtenue (une seule inconnue).
Étape 4 : Reporte la valeur trouvée dans l’expression de l’étape 1 pour obtenir l’autre inconnue.
Étape 5 : Vérifie le couple solution dans les deux équations d’origine.

Exemple résolu

Résous le système : x + y = 7 et 2x − y = 2.

Étape 1 : Dans la première équation, on isole y : y = 7 − x.

Étape 2 : On substitue dans la seconde équation : 2x − (7 − x) = 2.

Étape 3 : On développe et on résout : 2x − 7 + x = 2, donc 3x = 9, donc x = 3.

Étape 4 : On reporte : y = 7 − 3 = 4.

Étape 5 : Vérification : 3 + 4 = 7 (OK) et 2×3 − 4 = 2 (OK). Le couple solution est (3 ; 4).

💡 Astuce

Choisis toujours l’inconnue la plus simple à isoler : celle qui a un coefficient de 1 ou -1 évite les fractions. La méthode par substitution est particulièrement efficace quand une inconnue est déjà isolée (comme y = 2x + 3).

Exercices pratiques

Pour maîtriser ces concepts, pratique avec différents types d’équations et inéquations. Un exercice type : Dessine une fonction affine (f(x) = 2x + 1) et trouve graphiquement les solutions pour (f(x) = 3).

Savoir-Faire : Examine le graphique pour localiser les solutions d’une inéquation et familiarise-toi avec les fonctions graphiques. Cela favorisera ta compréhension.

Découvre d’autres exercices avec solutions : exercices de maths résolus en ligne.

Points clés à retenir

Chacune des méthodes graphiques vise à trouver des points d’intersection entre des courbes et des droites. Pour l’équation (f(x) = k), recherche les points d’intersection avec la droite (y = k). Pour une inéquation (f(x) ≤ g(x)), identifie où une courbe se situe sous une autre courbe.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur le développement et la factorisation.

Résolution graphique : En s’entraînant avec des exercices, tu renforceras ta capacité à analyser visuellement les graphiques et à solutionner de manière efficace.

Pour plus de ressources et de leçons, visite Inimath.

Ce thème est développé dans notre article sur les inéquations et tableaux de signes.

Exercices de maths

Voici quelques exercices pour que tu puisses pratiquer et améliorer tes compétences mathématiques en toute confiance.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur l’introduction aux équations.

Résolution Graphique d’Équations et Inéquations – Exercice 2nd

✍️ Énoncé

Sur un graphique, vous avez deux courbes : la courbe de la fonction f(x) et la courbe de la fonction g(x). Résolvez l’équation f(x) = g(x). Indiquez ensuite l’ensemble des abscisses pour lesquelles f(x) ≤ g(x). Pensez à la position relative des deux courbes pour déduire les réponses !

Instructions

Tracez une droite horizontale qui représente l’égalité f(x) = g(x).
Identifiez les points d’intersection des courbes de f(x) et g(x).
Notez les abscisses de ces points d’intersection.
Établissez les intervalles où la courbe de f(x) est en dessous ou au même niveau que la courbe de g(x).
Utilisez les points d’intersection pour décrire ces intervalles d’abscisses.

✅ Voir la correction

Pour commencer, nous traçons une droite horizontale illustrant l’égalité entre f(x) et g(x). Cela nous aide à identifier là où les deux fonctions se croisent.

Les points d’intersection sont déterminés en observant les deux courbes. Supposons qu’elles se croisent en x₁ et x₂.

Ainsi, les abscisses correspondant aux points où f(x) = g(x) sont x₁ et x₂.

Pour trouver où f(x) ≤ g(x), nous regardons les segments où la courbe de f(x) se situe au-dessous ou au même niveau que celle de g(x). Cela arrive entre x₁ et x₂ sur l’axe des abscisses.

Enfin, l’ensemble des solutions pour lesquelles f(x) ≤ g(x) est donné par l’intervalle [x₁, x₂].

Le résultat final est que l’équation f(x) = g(x) est résolue en x₁ et x₂, et que l’inéquation est vérifiée pour x ∈ [x₁, x₂].

Résolution graphique pour équations et inéquations

✍️ Énoncé

Dans cet exercice, nous allons résoudre graphiquement une équation et une inéquation. Considérons la fonction f(x) = 2x – 3 et la droite d’équation y = 1. Trouvez les abscisses où les courbes se croisent et déterminez les solutions pour les valeurs au-dessous de la courbe de f(x) .

Instructions

Tracez sur un graphique la courbe de la fonction f(x) = 2x – 3.
Dessinez la droite horizontale correspondant à y = 1.
Recherchez et notez les points d’intersection des deux courbes.
Déterminez l’intervalle où la courbe de f(x) est au-dessous de y = 1.
Expliquez votre démarche et notez les solutions.

✅ Voir la correction

Pour la première étape, nous traçons la courbe de la fonction f(x) = 2x – 3. C’est une droite qui a une pente de 2 et un point d’intersection avec l’axe des ordonnées à -3.

Ensuite, nous devons ajouter la droite horizontale de l’équation y = 1 sur le même graphique.

Pour la troisième étape, nous cherchons le point d’intersection des deux courbes, ce qui revient à résoudre 2x – 3 = 1. En résolvant, nous trouvons que l’abscisse est x = 2.

Maintenant, nous déterminons où f(x) = 2x – 3 est au-dessous de y = 1, c’est-à-dire où l’inéquation 2x – 3 < 1 se satisfait. La solution est l’intervalle x < 2.

En conclusion, l’abscisse où les courbes se croisent est x = 2 et les valeurs de x pour lesquelles f(x) < 1 sont dans l’intervalle ]-∞, 2[.

Exercice : Résolution graphique d’équations et inéquations en seconde

✍️ Énoncé

Tu disposes d’une fonction f(x) dont la courbe est représentée par C_f dans un repère. Trouve graphiquement les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 3 et f(x) < 2.

Astuce : Regarde bien où la courbe coupe les lignes horizontales représentant y = 3 et y = 2.

Instructions

Identifie sur la courbe C_f les points d’intersection avec la droite d’équation y = 3.
Note les abscisses de ces points. Rappelle-toi qu’une abscisse définit la position horizontale.
Identifie les portions de la courbe C_f situées en dessous de la droite y = 2.
Liste les plages de valeurs de x pour lesquelles la courbe est sous y = 2.

✅ Voir la correction

Pour trouver où f(x) = 3, observe où la courbe C_f croise la ligne horizontale y = 3. Imaginons que cela se produit aux points x = 1 et x = 4. Les solutions sont donc ces abscisses.

Ainsi, les solutions pour l’équation où f(x) = 3 sont :

x = 1 et x = 4

Pour l’inéquation f(x) < 2, vérifie sur quel intervalle C_f est sous la droite y = 2. Supposons que la courbe est en dessous pour x entre 2 et 3.

Cela signifie que les solutions de l’inéquation f(x) < 2 forment l’intervalle

2 < x < 3

En suivant ces étapes, tu as déterminé graphiquement les solutions des équations et inéquations données. Bravo !

Conclusion

Lorsque tu abordes la résolution graphique des équations et inéquations en seconde, tu apprendras une méthode visuelle qui simplifie grandement la compréhension des solutions possibles. Cette approche te permet d’observer directement les points d’intersection sur le graphique, rendant la solution intuitive et accessible.

Voir aussi : le calcul en ligne et ses priorités pour compléter vos connaissances.

En te familiarisant avec les courbes représentatives des fonctions et les droites horizontales, tu seras en mesure de déterminer les solutions à des problèmes complexes. Garde à l’esprit que la précision du tracé participe à l’exactitude des résultats obtenus.

Nous vous conseillons également notre cours sur les suites numériques en première.

Pour approfondir tes connaissances et découvrir des explications détaillées, tu peux consulter les ressources disponibles dans notre section dédiée aux cours de maths en seconde.

Articles du même niveau (Seconde)

Pour aller plus loin

les suites numériques en première (niveau Première)

Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.

Laisser un commentaire Annuler la réponse

🎁 +5 en maths🎁