Médiatrice d’un segment 6ème : définition et propriétés

La médiatrice est l’une des figures géométriques les plus utiles du programme de seconde. Elle intervient dans les démonstrations, les constructions au compas et les problèmes de géométrie analytique. Derrière cette simple droite perpendiculaire se cache une propriété puissante : celle de l’équidistance. Dans cet article, tu vas apprendre la définition de la médiatrice, sa propriété fondamentale et sa réciproque, les méthodes de construction, son lien avec le cercle circonscrit et la symétrie axiale, et comment l’utiliser dans tes démonstrations. Le tout accompagné d’exercices corrigés de niveau seconde.

Définition de la médiatrice

La médiatrice d’un segment [AB] est la droite qui passe par le milieu de [AB] et qui est perpendiculaire à la droite (AB).

Prenons un exemple concret. Si A et B sont deux points du plan et que M est le milieu de [AB], alors la médiatrice est la droite passant par M qui forme un angle droit avec le segment [AB]. Chaque point de cette droite possède une propriété remarquable que nous allons voir tout de suite.

Caractérisation par les coordonnées

Si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), le milieu M a pour coordonnées :

Propriété fondamentale (équidistance)

Voici la propriété la plus forte de la médiatrice. C’est celle que tu utiliseras le plus dans les exercices et les démonstrations.

Démonstration

Soit M le milieu de [AB] et (d) la médiatrice de [AB]. Soit P un point de (d).

Puisque (d) est perpendiculaire à (AB) en M, les triangles PMA et PMB sont des triangles rectangles en M.

Dans le triangle PMA rectangle en M :

PA² = PM² + MA² (théorème de Pythagore)

Dans le triangle PMB rectangle en M :

PB² = PM² + MB² (théorème de Pythagore)

Comme M est le milieu de [AB], on a MA = MB. Les deux expressions sont donc égales :

PA² = PM² + MA² = PM² + MB² = PB²

Les distances PA et PB étant positives, PA² = PB² implique PA = PB. Le point P est bien équidistant de A et de B.

Réciproque de la propriété

La réciproque est tout aussi utile. Elle permet de démontrer qu’un point se trouve sur la médiatrice.

Démonstration

Soit P un point tel que PA = PB. Soit M le milieu de [AB]. Montrons que la droite (PM) est perpendiculaire à (AB).

Considérons le triangle PAB. Puisque PA = PB, ce triangle est isocèle en P.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur le triangle isocèle.

Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi la hauteur. La droite (PM), médiane issue de P, est donc perpendiculaire à [AB].

La droite (PM) passe par M (milieu de [AB]) et est perpendiculaire à (AB) : c’est la médiatrice de [AB]. Le point P appartient bien à cette droite.

Le théorème complet (caractérisation)

En combinant la propriété et sa réciproque, on obtient la caractérisation complète de la médiatrice :

Construire la médiatrice (règle + compas)

La construction au compas repose directement sur la réciproque de la propriété : il suffit de trouver deux points équidistants de A et de B pour tracer la médiatrice.

Méthode de construction

1. Ouvre ton compas à une ouverture strictement supérieure à la moitié de AB (sinon les arcs ne se croisent pas).
2. Pointe en A et trace un arc de cercle de chaque côté du segment [AB].
3. Sans changer l’ouverture, pointe en B et trace deux arcs de cercle qui coupent les précédents.
4. Les deux arcs se coupent en deux points, appelons-les I et J.
5. Trace la droite (IJ) à la règle : c’est la médiatrice de [AB].

Vérification

Pour vérifier ta construction, mesure la distance entre le point d’intersection de la médiatrice avec [AB] et chacune des extrémités. Ces deux distances doivent être égales (c’est le milieu). Vérifie aussi l’angle droit avec une équerre.

Construction avec l’équerre et la règle graduée

Méthode alternative :

1. Mesure la longueur AB avec la règle graduée.
2. Calcule AB/2 et marque le milieu M.
3. Place l’équerre en M avec un côté de l’angle droit aligné sur (AB).
4. Trace la droite perpendiculaire passant par M : c’est la médiatrice.

Médiatrice et cercle circonscrit

Le lien entre la médiatrice et le cercle est fondamental en géométrie.

Cercle et médiatrice d’une corde

Si [AB] est une corde d’un cercle de centre O, alors O appartient à la médiatrice de [AB]. C’est logique : le centre d’un cercle est à la même distance de tous les points du cercle, donc OA = OB, et par la réciproque, O est sur la médiatrice de [AB].

Cercle circonscrit à un triangle

Le cercle circonscrit à un triangle ABC est le cercle qui passe par les trois sommets A, B et C. Son centre est le point équidistant des trois sommets.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur les configurations du plan.

Comment trouver ce centre ?

• Le centre O vérifie OA = OB → il est sur la médiatrice de [AB].
• Le centre O vérifie OB = OC → il est sur la médiatrice de [BC].
• Le centre O vérifie OA = OC → il est sur la médiatrice de [AC].

Position du centre selon le triangle

Type de triangle	Position du centre O
Triangle acutangle (tous les angles aigus)	O est à l’intérieur du triangle
Triangle rectangle	O est le milieu de l’hypoténuse
Triangle obtusangle (un angle obtus)	O est à l’extérieur du triangle

Médiatrice et axe de symétrie

La médiatrice de [AB] est aussi l’axe de symétrie du segment [AB]. Cela signifie que si tu plies la feuille le long de la médiatrice, le point A se superpose exactement au point B.

Conséquences de la symétrie

• Si tu prends n’importe quel point P sur la médiatrice, les triangles PMA et PMB sont symétriques par rapport à la médiatrice.
• Le symétrique de A par rapport à la médiatrice est B, et réciproquement.
• Toute figure symétrique par rapport à la médiatrice de [AB] envoie A sur B et B sur A.

Lien avec le triangle isocèle

Un triangle isocèle en P (avec PA = PB) possède un axe de symétrie : la médiatrice de sa base [AB]. Cette droite passe par P et par le milieu de [AB]. C’est aussi la hauteur issue de P, la médiane issue de P et la bissectrice de l’angle en P.

Démontrer qu’un point appartient à la médiatrice

Dans un exercice de démonstration, tu peux être amené à prouver qu’un point est sur la médiatrice d’un segment. Voici les différentes stratégies possibles.

Stratégie 1 : Montrer l’équidistance (méthode directe)

Montre que PA = PB. Par la réciproque de la propriété, P est sur la médiatrice de [AB].

C’est la méthode la plus fréquente. Tu peux utiliser :

Ce thème est développé dans notre article sur le radian, les degrés et le cercle.

• La formule de la distance entre deux points (en géométrie analytique)
• Le théorème de Pythagore (si tu as des triangles rectangles)
• Des propriétés de figures (parallélogramme, losange…)

Stratégie 2 : Montrer les deux conditions de la définition

Montre que la droite passant par P :

1. passe par le milieu de [AB]
2. est perpendiculaire à (AB)

Stratégie 3 : Utiliser le cercle

Si A et B sont sur un cercle de centre P, alors PA = PB (rayons du cercle), donc P est sur la médiatrice de [AB].

Exemple de démonstration rédigée

Soit A(1 ; 3), B(5 ; 1) et P(4 ; 4). Montrons que P appartient à la médiatrice de [AB].

Calculons PA² et PB² :

• PA² = (4 − 1)² + (4 − 3)² = 9 + 1 = 10
• PB² = (4 − 5)² + (4 − 1)² = 1 + 9 = 10

PA² = PB² = 10, donc PA = PB.

Le point P est équidistant de A et de B. Par la réciproque de la propriété de la médiatrice, P appartient à la médiatrice de [AB].

Erreurs fréquentes

Exercices corrigés

Voir la correction

Milieu M :
x_M = (2 + 8) / 2 = 5
y_M = (5 + 1) / 2 = 3
Donc M(5 ; 3).

Vecteur directeur de (AB) : AB = (8 − 2 ; 1 − 5) = (6 ; −4).

Un vecteur directeur de la médiatrice (perpendiculaire à AB) est (4 ; 6), soit simplifié (2 ; 3).

Équation de la médiatrice : elle passe par M(5 ; 3) avec un vecteur normal (6 ; −4) (qui est le vecteur AB).

6(x − 5) + (−4)(y − 3) = 0
6x − 30 − 4y + 12 = 0
6x − 4y − 18 = 0
En simplifiant par 2 : 3x − 2y − 9 = 0

Vérification : M(5 ; 3) → 3(5) − 2(3) − 9 = 15 − 6 − 9 = 0

Voir la correction

Calculons PA² et PB² :

PA² = (3 − (−1))² + (7 − 2)² = 4² + 5² = 16 + 25 = 41

PB² = (3 − 5)² + (7 − 4)² = (−2)² + 3² = 4 + 9 = 13

PA² = 41 ≠ 13 = PB², donc PA ≠ PB.

Le point P n’appartient pas à la médiatrice de [AB].

Voir la correction

Le centre O(x ; y) du cercle circonscrit vérifie OA = OB et OA = OC.

OA² = OB² :
x² + y² = (x − 6)² + y²
x² = x² − 12x + 36
12x = 36
x = 3

OA² = OC² :
x² + y² = (x − 2)² + (y − 4)²
x² + y² = x² − 4x + 4 + y² − 8y + 16
0 = −4x − 8y + 20
4x + 8y = 20
En remplaçant x = 3 : 12 + 8y = 20 → 8y = 8 → y = 1

Le centre du cercle circonscrit est O(3 ; 1).

Vérification : OA² = 9 + 1 = 10, OB² = 9 + 1 = 10, OC² = 1 + 9 = 10
Le rayon vaut √10.

Voir la correction

Dans un losange, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc O est le milieu de [BD] et le milieu de [AC].

De plus, dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires : (AC) ⊥ (BD).

La droite (AC) passe par O, milieu de [BD], et est perpendiculaire à (BD).

Par définition, (AC) est la médiatrice de [BD].

On peut aussi le démontrer par l’équidistance : comme ABCD est un losange, AB = AD, donc A est équidistant de B et D. De même, CB = CD, donc C est équidistant de B et D. Les points A et C appartiennent à la médiatrice de [BD], donc la droite (AC) est la médiatrice de [BD].

Voir la correction

L’ensemble des points M tels que MA = MB est la médiatrice de [AB].

Cherchons son équation en écrivant MA² = MB² :

(x − 1)² + (y − 1)² = (x − 7)² + (y − 5)²

x² − 2x + 1 + y² − 2y + 1 = x² − 14x + 49 + y² − 10y + 25

−2x − 2y + 2 = −14x − 10y + 74

12x + 8y = 72

En simplifiant par 4 : 3x + 2y = 18

Vérification : le milieu de [AB] est I(4 ; 3). Vérifions que I est sur la droite : 3(4) + 2(3) = 12 + 6 = 18

FAQ

La médiatrice est-elle toujours perpendiculaire au segment ?

Oui, par définition. La perpendiculité au segment est l’une des deux conditions qui définissent la médiatrice (l’autre étant le passage par le milieu). Si une droite passe par le milieu du segment sans être perpendiculaire, ce n’est pas la médiatrice.

Combien de médiatrices faut-il tracer pour trouver le centre du cercle circonscrit ?

Deux suffisent. Puisque les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes, l’intersection de deux d’entre elles donne le point cherché. La troisième médiatrice passe automatiquement par le même point. Tu peux tracer la troisième pour vérifier ta construction.

Peut-on tracer la médiatrice d’un segment avec un compas uniquement (sans règle) ?

Avec un compas seul, tu peux trouver deux points de la médiatrice (les intersections des arcs). Mais pour tracer la droite elle-même, tu as besoin d’une règle (non graduée suffit) pour relier ces deux points. La construction classique utilise donc règle et compas.

La médiatrice et la hauteur d’un triangle, est-ce la même chose ?

Non. La hauteur d’un triangle est perpendiculaire à un côté mais passe par le sommet opposé. La médiatrice d’un côté est perpendiculaire à ce côté mais passe par son milieu. Ces deux droites ne coïncident que dans un cas particulier : le triangle isocèle, pour le côté qui est la base.

Comment trouver l’équation de la médiatrice en géométrie analytique ?

Deux méthodes sont possibles. Méthode 1 : calcule le milieu M et utilise le fait que le vecteur AB est un vecteur normal à la médiatrice pour écrire l’équation. Méthode 2 : écris la condition MA² = MB² pour un point M(x ; y) quelconque et développe. Les deux approches donnent le même résultat. La méthode 2 est souvent plus rapide et plus sûre en contrôle.