Développement et factorisation – 2nd

Te demandes-tu parfois comment dévélopper une expression algébrique ou comment la factoriser ? C’est simple ! Le développement transforme un produit en somme, et la factorisation fait l’inverse.

Développer une expression algébrique

Savoir développer une expression te permet de transformer un produit en une somme. Cela consiste à multiplier chaque terme du premier facteur par chaque terme du second facteur et à en faire la somme. Pour t’aider, il est essentiel de maîtriser les identités remarquables qui simplifient grandement cette tâche :

👉 Exemple : Considérons l’expression A = (3x + 2)4 + 6(2x + 7). En développant, tu obtiennes A = 12x + 8 + 12x + 42, ce qui simplifie à A = 24x + 50.

✨ Astuce : Utiliser les identités remarquables telles que (a+b)² = a² + 2ab + b² aide à gagner du temps et à éviter les erreurs !

La factorisation : de la somme au produit

La factorisation est l’opération inverse du développement. Elle te permet de transformer une somme algébrique en un produit. Le but est de repérer un facteur commun ou d’utiliser les identités remarquables. D’ailleurs, factoriser simplifie souvent la résolution d’équations.

👉 Exemple : Si l’on te demande de factoriser B = x² – 10x + 25, tu remarques que c’est une identité remarquable : (x-5)².

✨ Astuce : Lorsque tu cherches le facteur commun, pense toujours à vérifier chaque terme de l’expression pour identifier ce qu’ils partagent !

Exercices pratiques pour s’améliorer

Pour maîtriser le développement et la factorisation, rien de tel que la pratique. Voici quelques exercices pour t’entraîner :

1) Développer et réduire A = (x + 3)(2x – 1) + (x – 1).

2) Factoriser C = x + 5(2x – 3) + 8(3 – 2x).

Tu peux retrouver une série d’ exercices pour t’exercer davantage.

Tente ces exercices par toi-même et compare tes réponses aux corrigés pour progresser plus rapidement !

Réduire une expression algébrique

La réduction d’une expression consiste à simplifier une expression en combinant les termes semblables. Cela rend les équations plus faciles à manipuler et à comprendre. Ça permet également de vérifier une solution ou de s’assurer qu’elle est sous la forme la plus simple possible.

👉 Exemple : Prenons l’expression D = 2x + 4x – 5x. En la réduisant, tu obtiens D = x.

✨ Astuce : Dès que tu travailles avec des expressions, prends le temps d’observer les termes pour identifier ceux qui peuvent être combinés.

Pour découvrir plus d’exemples commentés, visite cette ressource sur les expressions algébriques.

Exercices de maths

Voici quelques exercices pour que tu puisses t’entraîner et approfondir tes connaissances en développement et factorisation.

Exercice sur le Développement et la Factorisation en Seconde

Énoncé de l’exercice

🎯 Dans l’expression A = (3x + 5)(2x – 4) + x(5 + 3x) + 8, développe et réduis chaque terme. N’oublie pas de changer les signes où c’est nécessaire ! 🔍

Instructions

1. 📘 Identifie les termes qui nécessitent un développement en premier.
2. ⚙️ Utilise la distributivité pour chaque parenthèse.
   • Par exemple : (ax + b)(cx + d) se développe en acx² + adx + bcx + bd. 💡

3. Par exemple : (ax + b)(cx + d) se développe en acx² + adx + bcx + bd. 💡
4. 🔄 Simplifie les termes similaires pour réduire l’expression.
5. ✏️ Vérifie ton calcul final pour toute erreur.

• Par exemple : (ax + b)(cx + d) se développe en acx² + adx + bcx + bd. 💡

Correction

🔍 Étape 1 : Développement du premier produit (3x + 5)(2x – 4).

Utilise la distributivité :
3x * 2x + 3x * (-4) + 5 * 2x + 5 * (-4) = 6x² – 12x + 10x – 20.

🔍 Étape 2 : Développement du deuxième produit x(5 + 3x).

Applique la distributivité :
x * 5 + x * 3x = 5x + 3x².

🔄 Étape 3 : Réduction des termes semblables.

Regroupe les termes :
6x² + 3x² = 9x² et -12x + 10x + 5x = 3x.

🌟 Étape 4 : Écris l’expression réduite finale.

L’expression simplifiée est : 9x² + 3x – 20 + 8.

🚧 Étape 5 : Ajout et simplification finale.

Calcule : -20 + 8 = -12. L’expression finale est donc : 9x² + 3x – 12.

Développement et factorisation : Passez de la formule au produit !

Énoncé de l’exercice

Transformez les expressions suivantes en les développant puis en les factorisant 🌟. (Pensez à chercher un facteur commun) 🤔. Travaillez sur :
A = (3x + 2)(x – 1)
B = 4x(x + 5) – 20x

Instructions

1. 🔍 Recherchez des identités remarquables ou des facteurs communs possibles. C’est la clé du succès ! 🔑
2. ➗ Développez chaque expression en multipliant les termes.
3. 🔄 Réduisez les termes similaires pour simplifier l’expression.
4. 🔧 Factorisez l’expression simplifiée si possible.

Correction

📝 Pour l’expression A = (3x + 2)(x – 1) :

– Développons l’expression : (3x + 2)(x – 1) = 3x(x – 1) + 2(x – 1).
– Cela donne : 3x² – 3x + 2x – 2.
– Regroupons les termes similaires : 3x² – x – 2.
– Réponse développée : 3x² – x – 2.

– Essayons maintenant de factoriser si possible. En observant les termes, il est clair qu’il n’y a pas de facteur commun évident. L’expression ne se factorise pas davantage avec les outils appris.

📝 Pour l’expression B = 4x(x + 5) – 20x :

– Développons l’expression : 4x(x + 5) = 4x² + 20x.
– Assemblons cela avec l’expression entière : 4x² + 20x – 20x.
– Simplifions : 4x² + 0x.
– Réponse développée : 4x².

– Pour factoriser : remarquez que chaque terme contient un 4x en facteur.
– En extrayant ce facteur, on obtient : 4x(x).
– Réponse factorisée : 4x(x).

Développement et Factorisation : Exercice Pratique en 2nd

Énoncé de l’exercice

Transformez l’expression algébrique suivante en développant puis réduisez 🌟 : A = (3x + 2)(2x – 1) + x(x + 4).

Factorisez ensuite l’expression réduite 🧩.

Instructions

1. 🔍 Identifiez les produits à développer. Regardez bien les expressions entre parenthèses 🌿.
2. 📝 Appliquez la distributivité sur chaque produit pour développer toutes les parties de l’expression.
3. ➗ Réduisez l’expression obtenue en combinant les termes semblables.
4. 🔄 Analysez l’expression réduite pour y déceler un facteur commun potentiel 🎯.
5. 🧩 Facteurisez l’expression réduite à l’aide du facteur commun trouvé.

Correction

🔍 Commençons par développer l’expression. D’abord, appliquez la distributivité au produit (3x + 2)(2x – 1) :

(3x + 2)(2x – 1) = 3x * 2x + 3x * (-1) + 2 * 2x + 2 * (-1)

= 6x² – 3x + 4x – 2

📝 Pour l’autre terme x(x + 4) :

x(x + 4) = x² + 4x

➗ Maintenant, combinez toutes les parties développées :

6x² – 3x + 4x – 2 + x² + 4x

➗ Réduisez les termes semblables :

= 7x² + x – 2

🔄 Identifiez un potentiel facteur commun. Ici, il existe un facteur de 1. Cependant, pour le format de factorisation, aucun autre facteur commun n’est trouvable :

🧩 La forme facteur qui se manifeste directement à la simplification est donc la réponse :

7x² + x – 2

En final, l’expression développée, réduite et factoriée se résume à 7x² + x – 2.

Te familiariser avec le développement et la factorisation des expressions algébriques te permet de mieux comprendre les concepts mathématiques fondamentaux. Ces compétences sont essentielles non seulement pour les résolutions d’équations complexes, mais aussi pour simplifier tes calculs quotidiens.

En appliquant les techniques de développement et de réduction, tu pourras transformer des expressions compliquées en une forme plus accessible. La maîtrise des identités remarquables et la détection des facteurs communs te faciliteront le travail dans tes exercices et examens.

N’oublie pas que pratiquer régulièrement ces concepts mathématiques renforce non seulement ta compréhension, mais te prépare aussi aux défis futurs en mathématiques. Pour découvrir plus de ressources, consulte cet espace.

Cardia Anthony

Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.