Équations d’une droite – Cours de Maths 2nde

Comment détermine-t-on l’équation d’une droite quand on est en 2nde ? Imagine que tu puisses relier chaque point aligné avec une formule simple en utilisant la forme réduite : y = mx + p. Voyons ensemble cette notation essentielle !

L’équation réduite d’une droite

Quand on parle de l’équation réduite d’une droite, on fait référence à la formule bien connue : y = mx + p. Ici, m est le coefficient directeur et p est l’ordonnée à l’origine. Ces deux valeurs permettent de définir la pente de la droite et sa position par rapport à l’axe des ordonnées.

Exemple : Si l’équation d’une droite est y = 3x + 2, cela signifie que la pente (ou la variation) est de 3 et que la droite coupe l’axe des ordonnées en 2.

Équation cartésienne d’une droite

L’équation cartésienne d’une droite est une autre manière de la représenter. Elle est de la forme ax + by + c = 0. Contrairement à l’équation réduite, elle utilise trois coefficients. Plusieurs équations cartésiennes différentes peuvent représenter la même droite.

Exemple : La droite d’équation réduite y = −2x + 3 peut aussi s’écrire en équation cartésienne par 2x + y − 3 = 0.

Déterminer l’équation d’une droite avec deux points

Pour trouver l’équation d’une droite à l’aide de deux points A(x₁; y₁) et B(x₂; y₂), calcule d’abord le coefficient directeur m avec la formule m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁). Enfin, résous pour trouver l’ordonnée à l’origine p.

Exemple : Pour A(2, 3) et B(-1, 7), m = (7 − 3) / (−1 − 2) = −4/3. L’équation de la droite est donc de la forme y = −4/3x + p.

Astuce : Quand tu cherches l’équation d’une droite, pense à toujours vérifier que tes calculs de pente sont corrects. Un signe incorrect peut changer la résolution du problème !

Astuce : Si tu trouves une droite verticale, utilise x = c pour l’équation, car la pente est indéfinie dans ce cas.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur le triangle isocèle.

Position relative de deux droites

Comprendre la position relative de deux droites est crucial pour de nombreux problèmes. Deux droites peuvent être soit parallèles, soit concurrentes. Si elles sont parallèles, elles possèdent le même coefficient directeur m. Si elles se coupent, leurs coefficients directeurs diffèrent, ce qui entraîne la résolution d’un système d’équations.

Pour approfondir ta compréhension des droites et étudier exercices corrigés, consulte cette ressource : Exercices sur les droites.

Ce thème est développé dans notre article sur le radian, les degrés et le cercle.

Exercices de maths

Voici quelques exercices pour t’entraîner et mieux comprendre les équations de droites. Amuse-toi à les résoudre !

Retrouvez les détails dans notre fiche sur les configurations du plan.

Équation réduite d’une droite passant par 2 points

Instructions

1. Calculez le coefficient directeur en utilisant les coordonnées des points A et B.
   • Formule : m = (y2 – y1) / (x2 – x1)

2. Formule : m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
3. Utilisez une des équations de la forme y = mx + p pour déterminer p.
4. Écrivez l’équation finale de la droite sous la forme y = mx + p.

• Formule : m = (y2 – y1) / (x2 – x1)

✅ Voir la correction

Étape 1 : Trouvons le coefficient directeur m :

Utilisons les coordonnées des points A(2, 3) et B(5, 7).

m = (7 – 3) / (5 – 2) = 4 / 3.

Donc, le coefficient directeur est m = 4/3.

Étape 2 : Trouvons l’ordonnée à l’origine p :

Utilisons l’équation y = 4/3x + p avec le point A(2, 3) :

3 = (4/3)*2 + p → 3 = 8/3 + p.

Résolvons pour p : p = 3 – 8/3 = 1/3.

Étape 3 : Écrivons l’équation réduite :

y = 4/3x + 1/3

Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir de deux points

Instructions

1. Trouve le coefficient directeur de la droite en utilisant les coordonnées des deux points donnés.
2. Utilise ensuite ce coefficient pour trouver l’équation réduite de la forme y = mx + p.
3. Assure-toi que l’équation fonctionne avec les deux points A et B.

✅ Voir la correction

Pour déterminer le coefficient directeur (m), utilise la formule : m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁). Ici, A(3; 2) et B(7; -6), donc :

m = ( -6 – 2 ) / ( 7 – 3 ) = -8 / 4 = -2.

Avec m = -2, l’équation de la droite devient y = -2x + p. Utilise les coordonnées du point A(3; 2) pour trouver p.

Pour A(3; 2), 2 = -2(3) + p, donc 2 = -6 + p. Ainsi, p = 8.

L’équation réduite de la droite est y = -2x + 8.

Vérifions avec B(7; -6) : y = -2(7) + 8 = -14 + 8 = -6. Cela fonctionne !

Trouver l’équation d’une droite à partir de deux points

Instructions

1. Détermine le coefficient directeur de la droite passant par A et B.
   • Utilise la formule : ( m = frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} )

2. Utilise la formule : ( m = frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} )
3. Calcule l’ordonnée à l’origine en remplaçant ( x ) et ( y ) par les coordonnées de l’un des deux points dans l’équation ( y = mx + p ).
4. Écris l’équation finale de la droite sous la forme ( y = mx + p ).
5. Assure-toi que toutes les étapes sont correctement suivies avant de finaliser ta réponse.

• Utilise la formule : ( m = frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} )

✅ Voir la correction

Pour calculer le coefficient directeur ( m ) :

Utilisons la formule : ( m = frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} ). Ainsi, ( m = frac{-1 – 3}{4 – 2} = frac{-4}{2} = -2 ).

Ensuite, nous trouvons l’ordonnée à l’origine (p) :

En utilisant le point A(2 ; 3), substituons dans ( y = -2x + p ) pour trouver ( p ) :


( 3 = -2 times 2 + p )

( 3 = -4 + p )

( p = 7 )

L’équation de la droite est donc :

y = -2x + 7

Conclusion

Tu as découvert comment les équations de droites décrivent les relations entre points dans le plan. Grâce aux formes élémentaires y = mx + p et ax + by + c = 0, tu peux facilement identifier et comparer des droites.

Voir aussi : les triangles semblables pour compléter vos connaissances.

En te familiarisant avec ces concepts, tu es désormais capable de déterminer la position relative de deux droites, qu’elles soient parallèles ou non, et d’établir une équation à partir de points donnés. Ces compétences sont précieuses pour aborder des systèmes linéaires et bien d’autres aspects des mathématiques, rendant ainsi ton parcours d’apprentissage encore plus enrichissant.

Nous vous conseillons également notre cours sur la médiatrice et ses propriétés.

Continue afin de développer ta connaissance en mathématique. Pour plus de ressources et de cours, consulte cette page dédiée aux maths en seconde.

@mistermaths

Les équations les plus dures du brevet de maths. Je te montre la résolution détaillée de ces équations tombées au brevet de mathématiques. #maths #brevet #apprendresurtiktok #brevetmaths #brevet2024 #collège #equation

♬ Chill Song – Andy Ms