Les transformations du plan sont au coeur du programme de seconde en mathematiques. Translation, symétrie centrale, symétrie axiale, rotation et homothetie : chacune de ces transformations modifie la position ou la taille des figures selon des regles precises, et tu dois savoir les reconnaitre, les construire et les composer. Cet article te propose un tour complet de toutes les transformations du plan au programme de 2nde, avec des explications détaillées, des exemples en coordonnees et des exercices corriges pour maitriser chaque notion.
La translation
Définition et propriétés
Une translation est une transformation qui deplace tous les points du plan dans la meme direction, le meme sens et la meme distance. Elle est definie par un vecteur de translation, note generalement vec(u). Si tu appliques la translation de vecteur vec(u) au point A, tu obtiens le point A’ tel que le vecteur AA’ est egal au vecteur u.
La translation conserve les distances, les angles, les aires, le parallelisme et l alignement. L image d un segment par une translation est un segment de meme longueur, l image d un cercle est un cercle de meme rayon, et l image d un triangle est un triangle isometrique a l original. La translation ne possede aucun point fixe (sauf si le vecteur est nul, auquel cas on obtient l identite).
À retenir
La translation de vecteur vec(u) transforme tout point M en un point M’ tel que le vecteur MM’ = vec(u). Elle conserve les distances, les angles et les aires. C est une isometrie directe du plan.
Translation en coordonnees
Dans un repère orthonorme, si le vecteur de translation a pour coordonnees (a ; b), alors l image du point M(x ; y) par cette translation est le point M'(x + a ; y + b). C est la formule fondamentale que tu dois connaitre pour resoudre les exercices en repère.
Par exemple, si le vecteur de translation est vec(u)(3 ; -2) et que tu veux l image du point A(1 ; 5), tu calcules A'(1 + 3 ; 5 + (-2)) = A'(4 ; 3). Pour vérifier, tu constates que le vecteur AA’ a pour coordonnees (4 – 1 ; 3 – 5) = (3 ; -2), qui correspond bien au vecteur u.
La translation transforme aussi les droites. Si une droite a pour équation y = mx + p, son image par la translation de vecteur (a ; b) a pour équation y = m(x – a) + p + b, soit y = mx + (p + b – ma). Les droites image et originale sont parallèles.
️ Exercice
Dans un repère orthonorme, on considere les points A(2 ; 3), B(-1 ; 4) et C(5 ; -2). Determine les images A’, B’ et C’ par la translation de vecteur vec(u)(4 ; -1). Vérifié que le triangle A’B’C’ a le meme périmètre que le triangle ABC.
Voir la correction
A'(2 + 4 ; 3 + (-1)) = A'(6 ; 2)
B'(-1 + 4 ; 4 + (-1)) = B'(3 ; 3)
C'(5 + 4 ; -2 + (-1)) = C'(9 ; -3)
Vérification du périmètre :
AB = racine((2-(-1))² + (3-4)²) = racine(9 + 1) = racine(10)
A’B’ = racine((6-3)² + (2-3)²) = racine(9 + 1) = racine(10). Les cotes sont egaux.
De meme pour BC et B’C’, AC et A’C’. La translation conserve les distances, donc les périmètres sont identiques.
La symétrie centrale
Définition et construction
La symétrie centrale de centre O est la transformation qui a tout point M associe le point M’ tel que O est le milieu du segment [MM’]. Autrement dit, le vecteur OM’ est egal a l oppose du vecteur OM, ce qui s ecrit OM’ = -OM.
Pour construire l image d un point M par la symétrie de centre O, tu traces la droite (OM), puis tu reportes la distance OM de l autre cote de O. Le point obtenu est M’. Si M et O sont confondus, alors M’ = M : le centre de symétrie est le seul point invariant de cette transformation.
Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur le triangle isocèle.
La symétrie centrale conserve les distances, les angles et les aires. L image d une droite est une droite parallèle. L image d un segment est un segment de meme longueur. C est une isometrie directe du plan.
Astuce
La symétrie centrale de centre O est equivalente a une rotation de 180 degrés autour de O. C est aussi une homothetie de centre O et de rapport -1. Retenir ces trois visions de la meme transformation t aide a resoudre les exercices de composition.
Symétrie centrale en coordonnees
Si le centre de symétrie est le point O(a ; b), alors l image du point M(x ; y) est le point M'(2a – x ; 2b – y). Cette formule provient du fait que O est le milieu de [MM’] : on a a = (x + x’)/2 et b = (y + y’)/2, ce qui donne x’ = 2a – x et y’ = 2b – y.
Cas particulier tres frequent : si le centre est l origine O(0 ; 0), alors M'(-x ; -y). Tu changes simplement le signe des deux coordonnees.
️ Exercice
On considere le point A(3 ; -1) et le centre de symétrie I(2 ; 4). Determine les coordonnees de l image A’ de A par la symétrie de centre I. Vérifié que I est bien le milieu de [AA’].
Voir la correction
On applique la formule : A'(2 x 2 – 3 ; 2 x 4 – (-1)) = A'(4 – 3 ; 8 + 1) = A'(1 ; 9).
Vérification : le milieu de [AA’] est ((3 + 1)/2 ; (-1 + 9)/2) = (2 ; 4) = I. C est correct.
La symétrie axiale
Définition et propriétés
La symétrie axiale d axe (d) est la transformation qui a tout point M associe le point M’ tel que la droite (d) est la médiatrice du segment [MM’]. La droite (d) passe par le milieu de [MM’] et est perpendiculaire a (MM’).
Tout point situe sur l axe de symétrie est invariant : il est sa propre image. La symétrie axiale conserve les distances et les aires, mais elle inverse l orientation des angles. On dit que c est une isometrie indirecte, par opposition a la translation et a la rotation qui sont des isometries directes.
L image d une droite par une symétrie axiale est une droite. L image d un cercle est un cercle de meme rayon. L image d un angle de mesure alpha est un angle de mesure alpha, mais d orientation opposee.
️ Erreur fréquente
Ne confonds pas symétrie axiale et symétrie centrale. La symétrie axiale s effectue par rapport a une droite (un axe), tandis que la symétrie centrale s effectue par rapport a un point (un centre). La symétrie axiale inverse l orientation des angles, pas la symétrie centrale.
Symétrie axiale en coordonnees
Les formules dependent de l axe choisi. Voici les trois cas classiques :
- Par rapport a l axe des abscisses (Ox) : l image de M(x ; y) est M'(x ; -y).
- Par rapport a l axe des ordonnees (Oy) : l image de M(x ; y) est M'(-x ; y).
- Par rapport a la première bissectrice (y = x) : l image de M(x ; y) est M'(y ; x).
Pour un axe de symétrie quelconque, la méthode consiste a projeter orthogonalement le point M sur la droite (d) pour obtenir le milieu H de [MM’], puis a calculer M’ par la relation M’ = 2H – M en coordonnees. En pratique, au niveau seconde, les axes proposes restent presque toujours les axes du repère ou la droite y = x.
Retrouvez les détails dans notre fiche sur les configurations du plan.
️ Exercice
Determine l image de chaque point par la symétrie indiquee :
- A(3 ; 5) par rapport a l axe (Ox)
- B(-2 ; 7) par rapport a l axe (Oy)
- C(4 ; -1) par rapport a la droite y = x
Voir la correction
Par rapport a (Ox) : on change le signe de y. A'(3 ; -5).
Par rapport a (Oy) : on change le signe de x. B'(2 ; 7).
Par rapport a y = x : on echange x et y. C'(-1 ; 4).
La rotation
Définition et propriétés
La rotation de centre O et d angle theta est la transformation qui a tout point M associe le point M’ tel que OM’ = OM et l angle oriente (vecteur OM ; vecteur OM’) = theta. Le centre O est le seul point invariant de la rotation (sauf si theta est un multiple de 360 degrés, auquel cas c est l identite).
La rotation conserve les distances, les angles et les aires. C est une isometrie directe. L image d un segment est un segment de meme longueur, l image d un cercle de centre C et de rayon r est un cercle de centre C’ (image de C par la rotation) et de meme rayon r.
Les angles de rotation les plus courants au programme de seconde sont 90 degrés, -90 degrés, 180 degrés et 60 degrés. La rotation de 180 degrés correspond a la symétrie centrale, comme on l a vu plus haut.
À retenir
La rotation de centre O et d angle theta conserve les distances (OM’ = OM) et fait tourner chaque point d un angle theta autour de O. Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d une montre (sens trigonometrique). Le sens negatif est le sens des aiguilles d une montre (sens horaire).
Rotation en coordonnees
Pour une rotation de centre O(0 ; 0) et d angle theta, l image du point M(x ; y) est M'(x cos(theta) – y sin(theta) ; x sin(theta) + y cos(theta)). En seconde, tu utilises surtout les cas particuliers suivants :
- Rotation de 90 degrés autour de l origine : M(x ; y) → M'(-y ; x).
- Rotation de -90 degrés : M(x ; y) → M'(y ; -x).
- Rotation de 180 degrés : M(x ; y) → M'(-x ; -y).
Pour une rotation dont le centre n est pas l origine, tu appliques la méthode en trois etapes : tu translates pour ramener le centre a l origine, tu effectues la rotation, puis tu fais la translation inverse. Concretement, si le centre est C(a ; b), tu remplaces x par (x – a) et y par (y – b), tu appliques la formule de rotation, puis tu ajoutes a et b au résultat.
️ Exercice
Determine l image du point A(3 ; 1) par la rotation de centre O(0 ; 0) et d angle 90 degrés dans le sens trigonometrique. Puis determine l image du point B(5 ; 2) par la rotation de centre C(1 ; 1) et d angle 90 degrés.
Voir la correction
Image de A(3 ; 1) par rotation de centre O et angle 90 degrés :
Ce thème est développé dans notre article sur le radian, les degrés et le cercle.
On applique la formule M'(-y ; x) : A'(-1 ; 3).
Vérification : OA = racine(9 + 1) = racine(10) et OA’ = racine(1 + 9) = racine(10). Les distances sont egales. Le produit scalaire OA . OA’ = 3 x (-1) + 1 x 3 = 0, ce qui confirme l angle droit.
Image de B(5 ; 2) par rotation de centre C(1 ; 1) et angle 90 degrés :
Etape 1 : translation de vecteur -vec(OC). On travaille avec B – C = (5 – 1 ; 2 – 1) = (4 ; 1).
Etape 2 : rotation de 90 degrés autour de l origine : (4 ; 1) → (-1 ; 4).
Etape 3 : translation inverse, on ajoute C : (-1 + 1 ; 4 + 1) = B'(0 ; 5).
L homothetie
Définition et propriétés
L homothetie de centre O et de rapport k (avec k different de 0) est la transformation qui a tout point M associe le point M’ tel que le vecteur OM’ = k x vecteur OM. Le nombre k est appele rapport de l homothetie et peut etre positif ou negatif.
L homothetie ne conserve pas les distances quand |k| est different de 1. L image d un segment de longueur L est un segment de longueur |k| x L. L image d une aire S est une aire de valeur k² x S. En revanche, l homothetie conserve les angles, le parallelisme et l alignement.
Si k > 0, le point M’ est du meme cote que M par rapport a O. Si k < 0, M' est du cote oppose. Si k = 1, c est l identite. Si k = -1, c est la symétrie centrale de centre O. Si |k| > 1, la figure est agrandie. Si |k| < 1, la figure est reduite.
À retenir
L homothetie de centre O et de rapport k multiplie les distances par |k| et les aires par k². Si |k| > 1, la figure est agrandie. Si |k| < 1, la figure est reduite. Le centre O est le seul point invariant.
Homothetie en coordonnees
Si le centre de l homothetie est l origine O(0 ; 0), l image de M(x ; y) est M'(kx ; ky). Si le centre est un point quelconque C(a ; b), la formule devient M'(a + k(x – a) ; b + k(y – b)).
Exemple : l homothetie de centre C(1 ; 2) et de rapport 3 appliquee au point M(3 ; 4) donne M'(1 + 3(3 – 1) ; 2 + 3(4 – 2)) = M'(1 + 6 ; 2 + 6) = M'(7 ; 8). On vérifié que CM’ = 3 x CM : CM = racine(4 + 4) = 2 racine(2) et CM’ = racine(36 + 36) = 6 racine(2) = 3 x 2 racine(2).
Astuce
Pour vérifier tes calculs d homothetie, mesure toujours les distances CM et CM’. Tu dois trouver CM’ = |k| x CM. Si ce rapport n est pas respecte, reprends tes coordonnees.
️ Exercice
On considere le triangle ABC avec A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(0 ; 4). Determine les coordonnees des sommets du triangle A’B’C’, image de ABC par l homothetie de centre A et de rapport 1/2. Calcule les aires des deux triangles.
Voir la correction
Le centre est A(0 ; 0) et le rapport est k = 1/2. On applique M'(kx ; ky).
A’ = A(0 ; 0) (le centre est invariant).
B'(1/2 x 6 ; 1/2 x 0) = B'(3 ; 0).
C'(1/2 x 0 ; 1/2 x 4) = C'(0 ; 2).
Aire de ABC : base AB = 6, hauteur = 4. Aire = 6 x 4 / 2 = 12.
Voir aussi : les triangles semblables pour compléter vos connaissances.
Aire de A’B’C’ : l homothetie de rapport 1/2 multiplie les aires par (1/2)² = 1/4. Aire = 12 x 1/4 = 3.
Vérification directe : A’B’ = 3, hauteur = 2. Aire = 3 x 2 / 2 = 3. C est coherent.
Composition de transformations
Principe de la composition
Composer deux transformations, c est appliquer la première puis la seconde. Si f est une transformation et g une autre, la composee g ∘ f (lire « g rond f ») transforme le point M en g(f(M)). L ordre est essentiel : g ∘ f n est pas forcement egal a f ∘ g.
La composee de deux translations de vecteurs vec(u) et vec(v) est la translation de vecteur vec(u) + vec(v). Ici l ordre ne change rien car l addition des vecteurs est commutative.
Compositions classiques a connaitre
La composee de deux symétries centrales de centres differents A et B est une translation de vecteur 2 vec(AB). Ce résultat est fondamental et tombe tres regulierement en exercice.
La composee de deux symétries axiales d axes parallèles distants de d est une translation perpendiculaire aux axes et de norme 2d. La composee de deux symétries axiales d axes secants en un point O formant un angle alpha est une rotation de centre O et d angle 2 alpha.
La composee de deux homotheties de meme centre O et de rapports k et k’ est une homothetie de centre O et de rapport k x k’. La composee d une rotation de 180 degrés avec elle-meme donne l identite.
À retenir
Compositions essentielles : deux symétries centrales de centres A et B donnent une translation de vecteur 2 vec(AB). Deux symétries axiales d axes secants en O d angle alpha donnent une rotation de centre O et d angle 2 alpha.
️ Erreur fréquente
Quand tu composes des transformations, fais bien attention a l ordre d application. La composee de la symétrie d axe (d1) puis de la symétrie d axe (d2) n est pas la meme que dans l ordre inverse : la rotation resultante tourne dans le sens oppose.
️ Exercice
On considere la symétrie centrale S_A de centre A(1 ; 0) et la symétrie centrale S_B de centre B(3 ; 2). Determine la nature et les elements de la composee S_B ∘ S_A. Vérifié en calculant l image du point M(0 ; 0).
Voir la correction
La composee de deux symétries centrales de centres A et B est la translation de vecteur 2 vec(AB).
vec(AB) = (3 – 1 ; 2 – 0) = (2 ; 2), donc 2 vec(AB) = (4 ; 4).
La composee est la translation de vecteur (4 ; 4).
Vérification avec M(0 ; 0) :
S_A(M) : image de (0;0) par symétrie de centre A(1;0) → M_1(2 x 1 – 0 ; 2 x 0 – 0) = M_1(2 ; 0).
S_B(M_1) : image de (2;0) par symétrie de centre B(3;2) → M'(2 x 3 – 2 ; 2 x 2 – 0) = M'(4 ; 4).
Le vecteur MM’ = (4 – 0 ; 4 – 0) = (4 ; 4). Cela confirme la translation de vecteur (4 ; 4).
Tableau recapitulatif des transformations
Voici un resume structurant toutes les transformations du plan au programme de seconde :
Nous vous conseillons également notre cours sur la médiatrice et ses propriétés.
- Translation : definie par un vecteur. Conserve distances, angles, aires, orientation. Isometrie directe. Aucun point fixe.
- Symétrie centrale : definie par un centre. Conserve distances, angles, aires, orientation. Isometrie directe. Un point fixe (le centre).
- Symétrie axiale : definie par un axe. Conserve distances, aires. Inverse l orientation. Isometrie indirecte. Points fixes : tous les points de l axe.
- Rotation : definie par un centre et un angle. Conserve distances, angles, aires, orientation. Isometrie directe. Un point fixe (le centre).
- Homothetie : definie par un centre et un rapport k. Multiplie les distances par |k|, les aires par k². Conserve angles, parallelisme. Un point fixe (le centre).
Astuce
Pour identifier une transformation inconnue dans un exercice, pose-toi ces questions dans l ordre : les distances sont-elles conservees ? Si oui, c est une isometrie. L orientation est-elle conservee ? Si oui, c est une isometrie directe (translation, rotation ou symétrie centrale). Si non, c est une symétrie axiale. Y a-t-il des points fixes ? Combien ? Les réponses te guident vers la bonne transformation.
Exercices de synthese
️ Exercice
Dans un repère orthonorme, on donne le carré ABCD avec A(0 ; 0), B(4 ; 0), C(4 ; 4) et D(0 ; 4).
- 1. Determine l image du carré par la rotation de centre A et d angle 90 degrés.
- 2. Determine l image du carré par l homothetie de centre C et de rapport -1/2.
- 3. Quelle est la nature de la transformation qui envoie B sur D et A sur C ?
Voir la correction
1. Rotation de centre A(0 ; 0) et d angle 90 degrés.
Formule : M(x ; y) → M'(-y ; x).
A’ = A(0 ; 0). B'(0 ; 4). C'(-4 ; 4). D'(-4 ; 0).
Le carré image est situe dans le deuxieme quadrant.
2. Homothetie de centre C(4 ; 4) et de rapport -1/2.
Formule : M'(4 + (-1/2)(x – 4) ; 4 + (-1/2)(y – 4)).
A » = (4 + (-1/2)(0-4) ; 4 + (-1/2)(0-4)) = (4 + 2 ; 4 + 2) = A »(6 ; 6).
B » = (4 + (-1/2)(4-4) ; 4 + (-1/2)(0-4)) = (4 ; 6) = B »(4 ; 6).
C » = C(4 ; 4) (point fixe). D » = (4 + (-1/2)(0-4) ; 4 + (-1/2)(4-4)) = (6 ; 4) = D »(6 ; 4).
Le carré image a un cote de 2 (la moitie de 4) et se situe de l autre cote de C par rapport au carré original.
3. Transformation envoyant B sur D et A sur C.
vec(BD) = (-4 ; 4) et vec(AC) = (4 ; 4). Ce ne sont pas des vecteurs egaux, donc ce n est pas une translation. On cherche une rotation. Le milieu de [BD] est (2 ; 2) et le milieu de [AC] est (2 ; 2) : c est le meme point, le centre du carré. C est la rotation de centre I(2 ; 2) et d angle 90 degrés.
Vérification : vec(IA) = (-2 ; -2), apres rotation de 90 degrés : (2 ; -2) = vec(IC). Correct.
️ Exercice
On compose la symétrie axiale d axe (Ox) avec la symétrie axiale d axe (Oy). Quelle est la nature de la transformation obtenue ? Vérifié avec un point M(x ; y) quelconque.
Voir la correction
Symétrie par rapport a (Ox) : M(x ; y) → M_1(x ; -y).
Symétrie par rapport a (Oy) : M_1(x ; -y) → M'(-x ; -y).
La composee transforme M(x ; y) en M'(-x ; -y). C est la symétrie centrale de centre O(0 ; 0), autrement dit la rotation de 180 degrés autour de O.
Ce résultat est coherent avec la regle générale : les axes (Ox) et (Oy) sont secants en O et forment un angle de 90 degrés, donc la composee est une rotation de centre O et d angle 2 x 90 = 180 degrés.
Les transformations du plan constituent un outil puissant pour la géométrie en seconde. En maitrisant les formules en coordonnees et les propriétés de conservation de chaque transformation, tu peux traiter tous les exercices du programme, y compris ceux qui demandent de composer plusieurs transformations. Entraine-toi regulierement avec les exercices ci-dessus et vérifié toujours tes résultats par le calcul des distances et des milieux.
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Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.
