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Qu’est-ce qu’une transformation du plan? Imagine que tu peux déplacer, tourner ou même refléter des objets sans en altérer la forme. En classe de seconde, tu découvriras les translations, symétries et rotations qui sont comme des jeux géométriques.
Introduction aux transformations du plan
Les transformations du plan sont des processus mathématiques qui permettent de changer la position ou l’orientation d’une figure dans le plan. Ces outils en géométrie t’accompagnent à travers ton apprentissage pour te préparer aux modules sur les triangles isométriques et semblables. Que ce soit pour une translation, une symétrie ou une rotation, chaque transformation conserve certaines propriétés géométriques. Elles sont toutes des isométries, c’est-à-dire qu’elles conservent les distances et les angles.
Translation
Une translation déplace toutes les figures d’une certaine manière, sans rotation ni déformation. Imagine que chaque point d’une figure est déplacé dans la même direction et sur la même distance par un « vecteur de translation ».
📝Exemple : Prends un triangle sur une feuille de papier. Pour effectuer une translation, déplace-le en suivant la direction d’une flèche dessinée. La forme et la taille restent les mêmes !
💡Astuce : Utilise des quadrillages pour voir facilement comment les points se déplacent parallèlement.
Symétries
Lorsque tu parles de symétrie, tu évoques un miroir. La symétrie orthogonale ou axiale est une réflexion par rapport à une droite. Quant à la symétrie centrale, elle transforme chaque point en son symétrique par rapport à un centre.
📝Exemple : Imagine un papillon avec une ligne au milieu. Chaque côté est l’image miroir de l’autre !
💡Astuce : Plie une feuille en deux pour comprendre comment les figures se réfléchissent le long de l’axe de symétrie.
Rotation
La rotation concerne la rotation autour d’un point fixe appelé le centre. Chaque point tourne autour de ce centre par un angle spécifique. Imagine tourner une clé dans une serrure : chaque point de la clé suit un arc de cercle.
📝Exemple : Dessine une roue, place un crayon au centre et fais tourner la roue entière autour de ce point. Chaque point de la roue se déplace de la même manière.
💡Astuce : Utilise un rapporteur pour mesurer l’angle de rotation et assurer une rotation précise.
Vers une compréhension approfondie
Les transformations du plan sont des outils puissants pour comprendre des concepts plus complexes en mathématiques. Pour approfondir ton savoir, fais des exercices interactifs qui illustrent ces concepts de manière visuelle et pratique.
Pour en savoir plus, consulte Exercices et leçons de mathématiques.
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour que tu puisses t’entraîner et renforcer tes compétences en mathématiques.
Exercice sur les transformations du plan en seconde
Énoncé de l’exercice
👩🏫 Soit un triangle ABC dans le plan avec les points A(1, 2), B(4, 2) et C(1, 5). Applique une rotation de 90 degrés dans le sens trigonométrique autour du point O(0, 0) 🌟. Ensuite, décris la nouvelle position des sommets du triangle après la rotation. Assure-toi de vérifier les coordonnées finales de chaque sommet !
Instructions
- 🔍 Identifie les coordonnées des points initiaux A, B, et C.
- 🔄 Applique la formule de rotation de 90 degrés autour de l’origine à chacun des points : (x, y) → (-y, x).
- 📝 Écris les nouvelles coordonnées des sommets après la transformation.
- 💡 Simplifie tes calculs en travaillant étape par étape.
Correction
🟢 Comprenons d’abord les coordonnées initiales des sommets : A(1, 2), B(4, 2) et C(1, 5).
🔄 Pour appliquer la rotation de 90 degrés autour du point O(0, 0), utilise la formule (x, y) → (-y, x).
🟡 Pour le point A(1, 2) :
✏️ Applique la formule : (-2, 1). Ainsi, A devient A'(-2, 1).
🟡 Pour le point B(4, 2) :
✏️ Applique la formule : (-2, 4). Ainsi, B devient B'(-2, 4).
🟡 Pour le point C(1, 5) :
✏️ Applique la formule : (-5, 1). Ainsi, C devient C'(-5, 1).
✅ Les nouvelles coordonnées des sommets après la transformation sont : A'(-2, 1), B'(-2, 4), C'(-5, 1).
Analyser les transformations : Translation et symétrie
Énoncé de l’exercice
Dans un plan, considère le point A de coordonnées (2, 3). Effectue une translation qui l’envoie au point B de coordonnées (6, 7). Ensuite, fais une symétrie axiale par rapport à l’axe des x. 😃
Astuce : Souviens-toi que la translation se fait dans une direction et une distance données par un vecteur. 🔍
Instructions
- ✏️ Identifie d’abord le vecteur de translation qui permet de passer de A à B.
- 🔄 Applique cette translation au point A pour vérifier les coordonnées de B.
- 👥 Réalise ensuite la symétrie axiale de B par rapport à l’axe des x. Les coordonnées y changent de signe.
Correction
🔍 Étape 1 : Identification du vecteur de translation.
Le vecteur nécessaire pour passer de A(2, 3) à B(6, 7) est obtenu en calculant les différences des coordonnées :
Vecteur = (6 – 2 ; 7 – 3) = (4, 4).
🔄 Étape 2 : Application de la translation.
En appliquant le vecteur (4, 4) au point A, nous avons :
Nouveau point = (2 + 4, 3 + 4) = (6, 7). Le calcul conforte que le point B est correct.
👥 Étape 3 : Symétrie axiale par rapport à l’axe des x.
Pour la symétrie axiale de B(6, 7), les coordonnées x restent inchangées et les coordonnées y changent de signe :
Résultat : B'(6, -7).
Découverte des transformations du plan en seconde
Énoncé de l’exercice
Dans cet exercice, nous allons travailler les transformations du plan : translations, rotations et symétries. 🧩 Imagine une figure que tu souhaites transformer pour obtenir son image. L’objectif est de déterminer quelle transformation a été réalisée. 👀
Situons-nous dans le plan cartésien. Soit les points A(2, 3) et A'(5, 6). À partir de ces coordonnées, identifie la transformation effectuée. 🧐 Que remarques-tu ? Quelle transformation a eu lieu ? 🚀
Instructions
- 🔍 Identifie le type de transformation représentée par le passage de A à A’.
- 📐 Calcule le vecteur de translation s’il s’agit d’une translation, sinon identifie la nature de la rotation ou de la symétrie.
- 🖊️ Écris ta réponse en termes de transformation identifiée. Se rappeler des propriétés des transformations étudiées.
Correction
📝 Pour débuter, observons les coordonnées de A(2, 3) et A'(5, 6). Nous notons que le passage de A à A’ s’effectue simplement par la translation.
🔄 Calculons le vecteur de translation : de (2, 3) à (5, 6), le vecteur est noté (5 – 2, 6 – 3) soit (3, 3).
✨ Ainsi, nous constatons qu’il s’agit d’une translation de vecteur (3, 3). Cette transformation est bien une isométrie car elle conserve les distances.
💡 Enfin, pour conclure, nous pouvons affirmer que la transformation réalisée est une translation.
Conclusion
Durant ce chapitre, tu as découvert les différentes transformations du plan : translations, symétries et rotations. Chaque transformation se distingue par ses propriétés uniques, conservant certaines caractéristiques des figures.
Les liens avec les concepts de triangles isométriques et semblables te permettront d’élargir ta compréhension des géométries sans perdre les structures des figures étudiées. Rappelle-toi que ces connaissances sont des fondations pour analyser des problèmes plus complexes.
Pour aller plus loin dans l’apprentissage des transformations du plan, n’hésite pas à visiter ce cours de mathématiques pour la classe de seconde.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
