Comment savoir si une fonction monte ou descend ? En classe de seconde, tu vas découvrir les fonctions croissantes et décroissantes, apprendre à dresser un *tableau de variations*
Variation de fonctions
Comprendre les variations d’une fonction permet de savoir comment elle se comporte lorsqu’on change la valeur de la variable x. Une fonction est dite croissante sur un intervalle lorsqu’en augmentant x, la valeur de f(x) augmente également. Inversement, une fonction est décroissante si en augmentant x, la valeur de f(x) diminue.
Pour bien t’accompagner dans l’étude des variations, nous utilisons généralement un tableau de variations. Ce tableau te permet de visualiser les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante.
Découvre un cours détaillé sur les variations de fonctions pour mieux maîtriser ce chapitre complexe !
Exemple de fonction croissante et décroissante
📘 Prenons la fonction ( f(x) = x^2 – 4x + 3 ). En étudiant cette fonction, on observe que :
– Elle est croissante sur ]2, +∞[.
– Elle est décroissante sur ]-∞, 2[.
Comment dresser un tableau de variations ?
Pour dresser un tableau de variations, tu dois d’abord identifier les intervalles de croissance et de décroissance. Voici les étapes :
1. Identifier les valeurs critiques, où la fonction change de comportement (comme les points où la dérivée s’annule).
2. Déterminer les ↑ ou ↓ de la fonction sur ces intervalles.
3. Synthétiser ces informations dans un tableau en indiquant la progression et le comportement de la fonction.
Par exemple, pour notre fonction ( f(x) = x^2 – 4x + 3 ), le tableau de variations se présenterait ainsi :
Définition des extremums
Un extremum est une valeur maximale ou minimale que prend une fonction sur un certain intervalle. On parle de minimum lorsque la fonction atteint une valeur plus petite que celles de son entourage, et de maximum lorsqu’elle atteint une valeur plus grande.
Comment identifier les extremums ?
🧠 Une astuce pour identifier facilement les extremums est d’observer où la dérivée de la fonction s’annule et change de signe. Ces points indiquent souvent des maximums ou minimums locaux.
Dans l’exemple de la fonction ( f(x) = x^2 – 4x + 3 ), le minimum est atteint pour x = 2 et vaut -1. Tu peux conclure que la parabole atteint son point le plus bas en ce point précis sur son intervalle de définition.
Pour te perfectionner et t’entraîner, n’hésite pas à consulter cette fiche de révision complète : Apprivoiser les extremums d’une fonction.
Exercices pratiques pour maîtriser les extremums
🎯 Pour t’assurer de bien assimiler ces notions, voici un exercice simple :
Considère la courbe de la fonction ( g(x) = -x^2 + 4x – 3 ). Détermine son ensemble de définition, puis dresse son tableau de variations pour identifier ces extremums.
Enfin, pour une révision efficace de ces notions, consulte ce lien vers des fiches complètes et consolidées. Pour davantage d’exercices et d’explications détaillées, visite notre site d’exercices de mathématiques.
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour t’entraîner et mieux comprendre les variations et extremums des fonctions en maths.
Analyse des Variations et Extrêmums d’une Fonction 2nd
Énoncé de l’exercice
Voici une fonction mathématique définie sur l’intervalle [0, 4]. À partir de l’image ci-dessous, déterminez l’ensemble de définition, créez le tableau de variations de la fonction, et identifiez ses extrêmums. ⚠️ Astuce : Observez les variations entre les points-clés pour mieux comprendre ! 📈
Instructions
- 🔍 Identifiez l’ensemble de définition de la fonction.
- ✍️ Réalisez le tableau de variations. Notez bien les points où la fonction change de sens.
- 🏔️ Déterminez les extrêmums, c’est-à-dire le minimum et le maximum de la fonction. Pensez aux valeurs les plus hautes et les plus basses.
Correction
🔍 Étape 1 : L’ensemble de définition de la fonction est l’intervalle [0, 4] car c’est là que la fonction est définie.
✍️ Étape 2 : Pour dresser le tableau de variations :
- La fonction est croissante de x = 0 à x = 2.
- La fonction est décroissante de x = 2 à x = 4.
📉 Placez ces informations dans un tableau pour clarifier le comportement entre les points-clés.
🏔️ Étape 3 : Les extrêmums sont identifiés comme suit :
- Le maximum est atteint en x = 2 avec une valeur de f(2) = M.
- Le minimum est à x = 4 avec une valeur de f(4) = m.
Étude d’une fonction : Variations et Extremums en Seconde
Énoncé de l’exercice
👩🏫 On considère une fonction f définie sur l’intervalle [0, 5]. À l’aide des indices ci-dessous, détermine les extremums de cette fonction et dresse son tableau de variations. 🤔 Astuce : Pense à vérifier le sens de variation de f sur chaque sous-intervalle.
Instructions
- 🔍 Identifie les valeurs initiale et finale de f sur l’intervalle donné.
- 📈 Analyse le sens de variation de la fonction f sur [0, 5].
- 📝 Complète le tableau de variations de f en utilisant les informations obtenues.
- 🌟 Détermine les extremums de f en analysant le tableau.
Correction
✅ Étape 1 : Tout d’abord, nous identifions les valeurs de la fonction f aux points 0 et 5.
🔍 Étape 2 : Ensuite, nous analysons le sens de variation sur l’intervalle [0, 5]. Observons si f(x) est croisissant ou décroissant. Par exemple, si f(0) < f(5), alors f est croisissante.
📝 Étape 3 : En utilisant ces informations, complétons le tableau de variations :
- Si f(x) est croissante sur [0, 5], alors nous avons une flèche montante dans le tableau.
- Si f(x) est décroissante, alors une flèche descendante.
🌟 Étape 4 : Finalement, identifions les extremums. Si f a un maximum au point final 5, cela signifie que f(5) est le maximum. Inversement, le minimum est souvent au point initial 0.
✨ Réponse finale : Le maximum de la fonction est f(5) et le minimum est f(0), tels que déterminés par le tableau de variations.
Étudier les Variations et Trouver les Extremums
Énoncé de l’exercice
Voici la représentation graphique d’une fonction f. 📈 Votre tâche consiste à analyser les variations et à identifier les extremums de cette fonction sur l’ensemble de définition donné. 🔍 Astuce : Vérifiez si la courbe monte ou descend pour déterminer le sens de variation !
⚠️Faites attention aux points critiques où la fonction change de sens !
Instructions
- 🔢 Identifiez l’ensemble de définition de la fonction f. Regardez où la courbe est tracée sur l’axe des abscisses !
- 🗺️ Décrivez le sens de variation de f : croissante ou décroissante.
- 📊 Dressez le tableau de variations de la fonction.
- 📍 Identifiez et nommez les extremums (maximum et minimum) de la fonction.
Correction
🔍 Pour l’ensemble de définition : La courbe est tracée de x = -3 à x = 5, donc l’ensemble de définition est [-3, 5].
🔼 Pour le sens de variation : La fonction f est croissante sur l’intervalle [-3, 1] et décroissante sur l’intervalle [1, 5].
📋 Pour le tableau de variations :
- De x = -3 à x = 1 : La fonction croît. 🟢
- De x = 1 à x = 5 : La fonction décroît. 🔴
📍 Les extremums : Il y a un maximum en x = 1 avec f(1) = 8 et un minimum en x = -3 avec f(-3) = 2.
💡 Réponse finale : L’ensemble de définition est [-3, 5], avec un maximum de 8 en x = 1 et un minimum de 2 en x = -3.
Comprendre les variations de fonctions et leurs extremums te permet d’analyser comment une fonction évolue en fonction de sa courbe représentative. Cela t’aidera non seulement à résoudre des problèmes de mathématiques, mais aussi à mieux appréhender les notions de croissance et de décroissance.
En abordant ces concepts, tu apprendras à dresser un tableau de variations, ce qui te servira d’outil clé pour suivre le sujet qui te passionne. Cela te guidera vers le bon chemin où tu pourras facilement identifier les maximums et minimums d’une fonction.
Pour approfondir ta compréhension, n’hésite pas à explorer le cours complet sur les variations de fonctions et extremums en seconde.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
