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Tu te demandes peut-être comment déterminer si deux vecteurs sont colinéaires? En 2nde, tu découvriras que deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction et que leurs coordonnées sont proportionnelles.
Qu’est-ce qu’un vecteurs colinéaires au juste?
Comprendre ce qu’est la colinéarité des vecteurs est bon dans l’étude de la géométrie au niveau seconde. Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction, ce qui signifie qu’ils peuvent être représentés par des segments de droites parallèles. En termes mathématiques, cela signifie qu’il existe un réel (lambda) tel que le vecteur u = λv. Ainsi, lorsque tu vois deux vecteurs, pose-toi la question: peut-on les exprimer comme des multiples l’un de l’autre? La notion de direction compte pour beaucoup. Il est également intéressant de noter que le vecteur nul, qui a une norme égale à zéro, est considéré colinéaire à tout vecteur.
Comment reconnaître des vecteurs colinéaires
Pour déterminer si deux vecteurs sont colinéaires, tu peux vérifier si leurs coordonnées sont proportionnelles. En d’autres termes, pour des vecteurs u = (x₁, y₁) et v = (x₂, y₂), les composants doivent respecter la proportion suivante : x₁/x₂ = y₁/y₂.
🧮 Exemple : Soit u = (2, 4) et v = (3, 6). La relation de proportionnalité 2/3 = 4/6 est vérifiée, alors u et v sont colinéaires.
Utilisation dans le repérage de points
En géométrie, les vecteurs sont importants pour repérer des points dans un plan. Lorsque tu as trois points A, B, et C, si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, cela signifie que les points sont alignés sur une même droite. Cette propriété est particulièrement utile pour résoudre des problèmes de géométrie plane impliquant l’alignement des points.
💡 Astuce : Une méthode rapide pour vérifier la colinéarité de deux vecteurs est d’utiliser le déterminant. Si le déterminant formé par les vecteurs est nul, alors les vecteurs sont colinéaires. Cela peut être particulièrement efficace dans des exercices complexes.
Exemples pratiques
Exemple : Soit trois points A(1, 2), B(2, 4), C(3, 6). Les vecteurs AB et AC ont les mêmes directions, ce qui signifie que A, B, et C sont alignés.
Pour aller plus loin
Si tu souhaites approfondir tes connaissances sur les vecteurs colinéaires, n’hésite pas à consulter notre site pour des exercices supplémentaires sur les vecteurs et la colinéarité.
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour que tu puisses t’entraîner et renforcer tes compétences en vecteurs colinéaires.
Exercice sur la colinéarité des vecteurs en classe de 2nd
Énoncé de l’exercice
Considérons les vecteurs u et v dans un plan, avec des coordonnées respectives u(2, 3) et v(4, 6). 🤔 Trouvez un réel k tel que u = kv.
N’oubliez pas que si les vecteurs sont colinéaires, leurs coordonnées sont proportionnelles ! 📏
Instructions
- 🔍 Calculez le rapport entre les coordonnées x des vecteurs u et v.
- 📐 Vérifiez si le même rapport s’applique aux coordonnées y.
- ✍️ Si les deux rapports sont égaux, déduisez la valeur du réel k et concluez que les vecteurs sont colinéaires.
- 💡 Assurez-vous que vos calculs sont précis pour chaque étape.
Correction
✅ Étape 1 : Calculons le rapport des coordonnées x. Pour u et v, nous avons :
u : x = 2, v : x = 4. Ainsi, le rapport est 2 / 4 = 0,5.
🟠 Étape 2 : Passons maintenant aux coordonnées y. Pour u et v, nous avons :
u : y = 3, v : y = 6. Donc, le rapport est 3 / 6 = 0,5.
🔎 Étape 3 : Les deux rapports sont identiques ! Cela signifie que le réel k est 0,5.
🎯 Conclusion : Les vecteurs u et v sont colinéaires, car il existe un réel k = 0,5 tel que u = kv. 🥳
Exercice sur la colinéarité de deux vecteurs dans le plan
Énoncé de l’exercice
Considérons les vecteurs u et v de coordonnées respectives (3, 6) et (1, 2). 🌟 Vérifiez si ces deux vecteurs sont colinéaires. 🧐
Astuce : Pensez à la proportionnalité des coordonnées !
Instructions
- 🔍 Calculez le rapport entre les coordonnées des deux vecteurs.
- ⚖️ Comparez ces rapports pour déterminer s’ils sont égaux.
- ✍️ Concluez sur la colinéarité des vecteurs.
Correction
🧮 Tout d’abord, observons les coordonnées du vecteur u (3, 6) et du vecteur v (1, 2).
🧩 Calculons le rapport des coordonnées correspondantes de u et v: Le rapport des abscisses est 3/1 = 3 et le rapport des ordonnées est 6/2 = 3.
🔍 Puisque ces deux rapports sont égaux, nous pouvons conclure que les vecteurs u et v sont colinéaires.
✅ Les vecteurs u et v sont colinéaires car leurs coordonnées sont proportionnelles.
Comprendre la colinéarité de vecteurs en seconde
Énoncé de l’exercice
Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs 𝐮(1, 2) et 𝐯(3, 6). 🤔
Déterminez si les vecteurs 𝐮 et 𝐯 sont colinéaires. Rappel : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils sont dans la même direction.
Instructions
- 🔍 Repérez si un réel k existe tel que 𝐮 = k𝐯 ou 𝐯 = k𝐮.
- 📝 Vérifiez les proportions entre les coordonnées des vecteurs :
- Comparaison entre les abscisses : 1 et 3;
- Comparaison entre les ordonnées : 2 et 6.
Indice : Si le même k fonctionne pour les deux coordonnées, les vecteurs sont colinéaires. 😉
- Comparaison entre les abscisses : 1 et 3;
- Comparaison entre les ordonnées : 2 et 6.
- ✅ Concluez en déterminant si les vecteurs sont vraiment colinéaires.
- Comparaison entre les abscisses : 1 et 3;
- Comparaison entre les ordonnées : 2 et 6.
Correction
🔍 Étape 1 : Nous allons vérifier s’il existe un réel k tel que 𝐮 = k𝐯.
🧮 Écrivons les équations des proportions :
Pour les abscisses : (1 = 3k). Donc, (k = frac{1}{3}).
Pour les ordonnées : (2 = 6k). Donc, (k = frac{1}{3}).
📝 Étape 2 : Les deux coordonnées donnent le même (k = frac{1}{3}), les vecteurs sont donc colinéaires.
✅ Conclusion : Les vecteurs 𝐮 et 𝐯 sont colinéaires car (𝐮 = frac{1}{3}𝐯). 🎉
Conclusion
Comprendre les vecteurs colinéaires te permet de mieux appréhender les concepts de géométrie dans ton programme de seconde. En maîtrisant cette notion, tu pourras identifier plus aisément si deux vecteurs sont colinéaires et même utiliser des outils mathématiques comme le calcul vectoriel pour faciliter ton repérage dans l’espace.
Les vecteurs colinéaires te sollicitent à démontrer tes compétences avec des exercices variés et corrigés et tu peux vérifier tes résultats en utilisant le déterminant. La multiplication d’un vecteur par un réel est une technique pour tester la colinéarité, que tu peux approfondir grâce à des ressources en ligne.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
