Comment déterminer l’ensemble de définition d’une fonction? Voyons les notions de fonctions paires et impaire.
Ensemble de définition d’une fonction
Pour bien comprendre les fonctions, il est bon d’identifier leur ensemble de définition. Cela représente toutes les valeurs de x pour lesquelles la fonction est définie. Par exemple, si une fonction est décrite par f(x) = 1 / (x – 1), il est nécessaire de savoir que f(x) est définie partout sauf là où le dénominateur s’annule. Ainsi, dans cet exemple, l’ensemble de définition est :
] -∞ ; 1 [ ∪ ] 1 ; +∞ [.
🔍 Pour bien visualiser, trace la courbe de la fonction avec ton calculatrice graphique pour observer directement les valeurs interdites de x.
Fonctions paires et impaires
Une fonction paire conserve la même valeur lorsqu’on remplace x par –x : f(x) = f(-x). L’exemple classique est la fonction carrée f(x) = x². En revanche, une fonction impaire change de signe : f(x) = -f(-x). La fonction cube f(x) = x³ en est un bon exemple.
🔹💡Astuces : pense à utiliser la symétrie du graphe pour déterminer visuellement si une fonction est paire ou impaire. Regarde si le graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées pour les fonctions paires, ou au point (0,0) pour les impaires.
Position relative de deux courbes
Pour comparer deux fonctions f et g définies sur le même intervalle, on note f ≤ g si, pour tout x, f(x) est inférieur ou égal à g(x). Une nouvelle fois, le graphe est un outil puissant : voir les courbes l’une sous l’autre est souvent plus évident que de simplement lire des équations.
🔎 Utilise ton calculatrice pour tracer f(x) et g(x) et observer leurs positions relatives. Cela te permet de comprendre facilement si une fonction est toujours inférieure à une autre.
Convexité d’une fonction
Calculer la convexité peut être simple avec certaines astuces. Si la fonction est deux fois dérivable, sa dérivée seconde, notée f′′, indique sa convexité : si f′′(x) > 0, la fonction est convexe et si f′′(x) < 0, elle est concave. Le tableau de variations est un allié précieux pour résumer ces informations.
🔍 Astuce visuelle : une fonction convexe « sourit », c’est-à-dire que sa courbe s’ouvre vers le haut, tandis qu’une fonction concave « fronce les sourcils ».
Étude des variations
Pour aborder les variations d’une fonction, utilise la dérivée première f′. Si f′(x) > 0, la fonction est croissante sur cet intervalle ; si f′(x) < 0, elle est décroissante.
📈 Une méthode rapide : trace le tableau de signes de la dérivée pour visualiser directement les segments croissants et décroissants.
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour te perfectionner et renforcer ta compréhension des fonctions à travers la pratique régulière.
Analyser et déterminer l’ensemble de définition
Énoncé de l’exercice
🎓 Soit la fonction f définie par f(x) = (x² – 4) / (x – 2). 😃 Trouvez l’ensemble de définition de cette fonction. N’oubliez pas de vérifier les valeurs qui pourraient rendre le dénominateur égal à zéro ! 🚀
Instructions
- 🔍 Identifiez le dénominateur de la fonction.
- 🔎 Trouvez les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur est égal à zéro.
- 🗂️ Déduisez l’ensemble de définition en excluant ces valeurs de l’ensemble des réels.
- 📚 Note : Bien s’assurer de la simplicité du dénominateur.
Correction
🔍 Commençons par identifier le dénominateur de f(x), qui est x – 2.
🔎 Nous recherchons la valeur de x qui rend le dénominateur égal à zéro. Pour cela, résolvons l’équation x – 2 = 0 :
- x = 2
🗂️ L’ensemble de définition de la fonction f(x) est donc tous les réels sauf x = 2. On écrit cela comme :
D = ℝ {2}
📚 Ce résultat signifie que la fonction n’est pas définie pour x = 2 car cela entraînerait une division par zéro. Toute autre valeur de x est acceptable.
Étude de l’ensemble de définition d’une fonction
Énoncé de l’exercice
👩🏫 Déterminez l’ensemble de définition de la fonction f(x) = 1/(x – 1). Réfléchissez aux valeurs interdites qui rendent le dénominateur égal à zéro. ⚠️ Trouvez l’ensemble de valeurs pour lesquelles la fonction est bien définie. 😄🔍
Instructions
- 🕵️ Identifiez les valeurs interdites de x qui rendent le dénominateur nul.
- 📐 Utilisez les valeurs trouvées pour exprimer l’ensemble de définition sous forme d’intervalle.
- 🔎 Vérifiez si d’autres valeurs x posent problème pour la définition de la fonction.
Correction
🔍Étape 1 : Pour déterminer les valeurs interdites, nous devons résoudre l’équation où le dénominateur est zéro : x – 1 = 0. La solution est x = 1.
✍️Étape 2 : Puisque x = 1 est une valeur interdite, l’ensemble de définition de f(x) est donc constitué de toutes les valeurs réelles sauf 1. En notation d’intervalle, cela s’écrit ] -∞ ; 1 [ ∪ ] 1 ; +∞ [.
🔎Étape 3 : Il n’y a pas d’autres valeurs qui posent problème dans cette fonction, car le terme 1/(x – 1) est défini pour tous les x autres que 1. Donc, la vérification est complète et fiable.
Identification et nature des fonctions
Énoncé de l’exercice
🧮 Considérons deux fonctions f et g définies sur l’ensemble des réels sauf leur valeur interdite indiquée. La fonction f(x) = x² – 4 et la fonction g(x) = 1 / (x – 1). Déterminez si chacune de ces fonctions est paire, impaire, ou aucune des deux et justifiez votre réponse. 🔍 Indice : Rappelez-vous des symétries par rapport à l’axe des ordonnées et le centre du repère. 😃
Instructions
- 🔎 Vérifiez la parité de f(x) en remplaçant x par -x et comparez à f(x).
Astuce : Si f(-x) = f(x), la fonction est paire ! - 🔄 Testez si la fonction f(x) est impaire en comparant avec -f(x).
Si f(-x) = -f(x), alors la fonction est impaire ! - 💡 Répétez les étapes 1 et 2 pour la fonction g(x).
- ✍️ Concluez sur la nature de chaque fonction en vous basant sur vos calculs.
Correction
📝 Étape 1 : Calculons f(-x) pour la fonction f(x) = x² – 4 :
f(-x) = (-x)² – 4 = x² – 4. 🌟 On observe que f(-x) = f(x). Donc, la fonction f est paire.
🔗 Étape 2 : Vérifions si f(x) est impaire. Calculons -f(x):
-f(x) = -(x² – 4) = -x² + 4. Puisque -f(x) ≠ f(-x), f n’est pas impaire.
📝 Étape 3 : Calculons g(-x) pour g(x) = 1 / (x – 1) :
g(-x) = 1 / (-x – 1). Comme g(-x) ≠ g(x), la fonction g n’est pas paire.
🔗 Étape 4 : Vérifions si g(x) est impaire. Calculons -g(x):
-g(x) = -1 / (x – 1). Comme g(-x) ≠ -g(x), la fonction g n’est pas impaire.
🔍 Conclusion : La fonction f(x) est paire, tandis que la fonction g(x) n’est ni paire ni impaire.
Conclusion
Tu as pu apprendre de nombreux points concernant les fonctions. Leur étude passe par des notions telles que les fonctions paires et impaires, la détermination de l’ensemble de définition et l’analyse des variations et des extremums.
N’hésite pas à approfondir tes connaissances sur le sujet, cela te servira tout au long de tes études. Pour plus de ressources, découvre notre page dédiée aux cours de mathématiques en 2nde.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.