Comment résoudre une inéquation du second degré? Pour y répondre, tu passeras par l’analyse de l’expression en la réduisant au signe de chaque facteur et en établissant un tableau de signes précis.
Comprendre les inéquations
Une inéquation est une expression mathématique où une relation de comparaison, soit <, ≤, > ou ≥, est utilisée au lieu de l’égalité. Pour résoudre une inéquation, comme dans le cas de 10x – 2x² ≥ 0, on cherche à déterminer l’ensemble des solutions pour x qui rendent la relation vraie.
Dans la plupart des cas, on commence par ramener tous les termes du même côté pour que l’autre côté soit égal à zéro. Cela aide à clarifier l’expression et à préparer le terrain pour la factorisation, une étape fondamentale dans la résolution.
Établir le tableau de signes
Une fois l’expression factorisée, par exemple 10x – 2x² = x(10 – 2x), on use des tableaux de signes pour comprendre la variation du signe du produit en fonction des valeurs prises par x.
L’étape suivante consiste à déterminer les valeurs de x qui annulent chaque facteur. Pour notre exemple, x = 0 et 10 – 2x = 0 *nous fournissent les points critiques*. Ces points marquent un passage potentiel du signe positif au négatif ou vice versa.
Exemple pratique
📚 Prenons le cas de l’inéquation x(10 – 2x) ≥ 0. Les solutions possibles sont synthétisées dans un tableau de signes, qui aide à examiner les intervalles sur lesquels chaque facteur conserve un signe constant.
| x | -∞ | 0 | 5 | +∞ |
|——|—-|———|—-|—-|
| x | — | 0 | + | + |
| 10-2x | + | + | 0 | — |
| Produit | — | 0 | 0 | — |
🚀 Astuce : Pour remplir le tableau de signes correctement, rappelle-toi d’inscrire une double barre lorsque le produit n’est pas défini (divisions par zéro par exemple).
Réseolution d’une inéquation du second degré
Résoudre une inéquation du second degré comprend plusieurs étapes méthodiques : passer tous les termes à gauche, factoriser l’expression, puis dresser le tableau de signes pour évaluer les intervalles où l’inéquation est satisfaite. Utiliser les techniques apprises pour simplifier et visualiser ces expressions complexes est très efficace.
Ainsi, l’étude des signes des expressions simplifie grandement *le processus de résolution*, te permettant d’identifier rapidement l’ensemble des solutions possibles.
Pour plus d’exercices et de cours de mathématiques sur les inéquations, tu peux consulter cette ressource précieuse.
Exercices de maths
Voici quelques exercices pour t’entraîner. Prends ton temps et n’hésite pas à réfléchir attentivement à chaque étape.
Résoudre une inéquation du second degré avec tableau de signes
Énoncé de l’exercice
Trouve les valeurs de x pour lesquelles l’inéquation (2x^2 – 8x + 6 leq 0) est vérifiée. 😉
(Indice : Pense à utiliser un tableau de signes pour t’aider !)
Instructions
- 🧐 Réécris l’inéquation en mettant tous les termes d’un seul côté pour avoir zéro de l’autre. C’est essentiel pour la prochaine étape !
- 🔍 Factorise l’expression quadratique.
- Exemple : utilise la propriété de factorisation ou cherche des racines.
- Exemple : utilise la propriété de factorisation ou cherche des racines.
- 📋 Dresse un tableau de signes pour étudier le signe de chaque facteur.
- ✔️ Identifie les intervalles pour lesquels le produit est négatif ou nul.
- Exemple : utilise la propriété de factorisation ou cherche des racines.
Correction
🎯 Commençons par réécrire l’inéquation : on a déjà (2x^2 – 8x + 6 leq 0).
🔍 Pour la factorisation, calculons le discriminant : Δ = b² – 4ac = (-8)² – 4×2×6 = 64 – 48 = 16.
🧮 Les racines de l’équation sont donc (x = frac{8 ± sqrt{16}}{4} = 3) et (1).
📝 Nous pouvons factoriser ainsi : (2x^2 – 8x + 6 = 2(x – 3)(x – 1)).
📋 Le tableau de signes est basé sur les racines 1 et 3. Les signes sont positifs, négatifs, puis positifs.
✔️ Pour (2(x – 3)(x – 1) leq 0), il nous faut un intervalle incluant les racines :
Donc, la solution est : (x in [1, 3]).
Exercice sur les Inéquations et Tableaux de Signes – Seconde
Énoncé de l’exercice
🎉 Résous l’inéquation suivante en utilisant un tableau de signes : 3x² – 5x – 2 ≤ 0. Rappelle-toi que factoriser peut t’aider à voir les choses plus clairement ! 🔍
Instructions
- 🔢 Passe tous les termes de l’inéquation à gauche pour avoir 0 à droite.
- 🧩 Factorise l’expression du côté gauche. Utilise le produit remarquable ou essaie de décomposer selon les racines.
- 📊 Dresse un tableau de signes pour chaque facteur.
- 📈 Interprète le tableau pour trouver les valeurs de x qui vérifient l’inéquation initiale.
Correction
✨ Étape 1 : On commence par écrire l’inéquation : 3x² – 5x – 2 ≤ 0.
🛠 Étape 2 : Il est utile de factoriser le trinôme : on recherche deux nombres dont le produit est égal à -6 (car (3 times -2)) et la somme est égale à -5. Ces nombres sont -6 et 1. Ainsi, le trinôme se factorise en ((3x + 1)(x – 2) ≤ 0).
📊 Étape 3 : On dresse le tableau de signes pour les facteurs (3x + 1) et (x – 2).
- Pour (3x + 1 = 0), (x = -frac{1}{3}).
- Pour (x – 2 = 0), (x = 2).
🔍 Étape 4 : Analyser le tableau de signes donne les intervalles où l’inéquation est vérifiée : x ∈ [-frac{1}{3}, 2].
Résolution d’une inéquation avec tableau de signes – Niveau Seconde
Énoncé de l’exercice
Résoudre l’inéquation suivante en utilisant un tableau de signes :
3x² – 12x ⩾ 0.
Trouver les valeurs de x pour lesquelles l’inéquation est vérifiée.
Astuce : Pense à la factorisation par mise en évidence pour simplifier ! 😊
Instructions
- 🔍 Réécris l’inéquation sous une forme factorisée.
- 🧮 Dresse un tableau de signes pour étudier le signe de chaque facteur.
- 📊 Analyse le tableau de signes pour déterminer les intervalles de solution.
- ✅ Exprime la solution sous forme d’intervalle.
Correction
🔍 Pour factoriser l’expression, nous commençons par mettre 3x en facteur :
3x² – 12x = 3x(x – 4).
🧮 Posons le tableau de signes :
– Le facteur 3x réagit de manière positive lorsque x > 0 et négative lorsque x < 0.
– Le facteur (x – 4) est positif lorsque x > 4 et négatif lorsque x < 4.
– Inscrivons dans le tableau les zéros des facteurs : 0 et 4.
📊 En croisant les lignes dans le tableau de signes, on obtient :
Intervalles : (-∞, 0), (0, 4), (4, +∞)
Signe : -, +, +
✅ Les solutions de l’inéquation 3x(x – 4) ⩾ 0 sont les intervalles où l’inégalité est vérifiée par un signe positif, ainsi que les points où le produit est nul. Donc, la solution est :
x ∈ [0, 4] ∪ [4, +∞[
En maîtrisant les inéquations et les tableaux de signes, tu possèdes des outils efficaces pour aborder les maths du niveau seconde. Leur compréhension te permet de résoudre des équations complexes en décomposant le problème et en étudiant le signe des expressions.
Grâce à ces techniques, comme la réduction d’une inéquation à une comparaison à zéro ou la création de tableaux de signes, tu seras capable de structurer ta démarche et de vérifier la validité des solutions. Ces compétences te seront précieuses pour progresser en mathématiques.
Pour approfondir encore davantage ces notions, n’hésite pas à consulter les cours de maths de seconde.
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
