Perspective cavalière : règles et cours de Maths 2nde

En classe de seconde, tu dois savoir representer des solides de l’espace sur une feuille de papier. Le problème ? Une feuille, c’est plat (deux dimensions), alors qu’un cube ou un pave droit existent en trois dimensions. La perspective cavaliere est la méthode qui te permet de passer de l’un a l’autre sans trahir la géométrie de l’objet. Dans ce cours complet, tu vas apprendre les regles de cette représentation, apprendre a dessiner pas a pas un cube, un pave droit, un cylindre et un cone, puis maitriser les positions relatives des droites et des plans dans l’espace. Quatre exercices corriges t’attendent en fin d’article pour vérifier que tout est bien compris, et une FAQ repond aux questions les plus posees par les eleves de seconde.

Qu’est-ce que la perspective cavaliere ?

La perspective cavaliere est une technique de dessin géométrique qui permet de representer un objet en volume (3D) sur un support plan (2D). Contrairement a la perspective classique utilisee en art, elle ne comporte aucun point de fuite : les objets ne rapetissent pas quand ils s’eloignent du spectateur. C’est ce qui la rend particulierement adaptee aux mathematiques, ou l’on veut conserver certaines propriétés géométriques.

Cette technique tire son nom de la « vue cavaliere », c’est-a-dire la vue en hauteur qu’avait un cavalier sur une fortification ennemie. Historiquement, elle servait aux ingenieurs militaires pour dessiner des plans de fortifications en conservant les proportions utiles au calcul. Aujourd’hui, elle est au programme de mathematiques de la seconde jusqu’a la terminale.

Pourquoi l’utiliser en maths ?

En géométrie dans l’espace, tu dois raisonner sur des objets en 3D, mais tu travailles toujours sur une feuille ou un ecran en 2D. La perspective cavaliere te donne un cadre rigoureux pour faire ce passage sans perdre les informations géométriques essentielles (parallelisme, alignement, milieux). Elle est indispensable pour tracer des solides, determiner des sections de solides par un plan, et demontrer des propriétés de positions relatives. Tu la retrouveras tout au long du lycee, notamment en première et en terminale pour les vecteurs de l’espace et les produits scalaires.

Difference avec la perspective centrale

La perspective centrale (ou conique), utilisee en art et en architecture, possede un ou plusieurs points de fuite : les lignes parallèles convergent et les objets eloignes paraissent plus petits. En mathematiques au lycee, on utilise uniquement la perspective cavaliere car elle conserve les propriétés géométriques utiles aux démonstrations. Voici un comparatif rapide :

Critère	Perspective cavaliere	Perspective centrale
Point de fuite	Aucun	Un ou plusieurs
Parallelisme	Conserve	Non conserve
Taille des objets	Constante	Diminue avec la profondeur
Utilisation	Mathematiques, dessin technique	Art, architecture, photo

Les regles de la perspective cavaliere

La perspective cavaliere repose sur un ensemble de regles precises. Les connaitre te permet de dessiner correctement et, surtout, de lire une figure sans te tromper sur ce qu’elle represente reellement dans l’espace.

Les trois axes de représentation

On utilise un repère compose de trois axes :

• L’axe (Ox) : horizontal, oriente vers la droite. Il represente la largeur. Les longueurs sur cet axe sont dessinees en taille reelle (coefficient 1).
• L’axe (Oz) : vertical, oriente vers le haut. Il represente la hauteur. Les longueurs sur cet axe sont aussi en taille reelle (coefficient 1).
• L’axe (Oy) : oblique, oriente « vers l’arriere ». Il represente la profondeur. C’est cet axe qui cree l’illusion de la 3D. Les longueurs sont reduites par le coefficient k.

Toute figure situee dans un plan frontal (parallèle au plan Oxz) est representee en vraie grandeur : un carré reste un carré, un cercle reste un cercle. C’est uniquement la direction de profondeur (Oy) qui subit la deformation.

L’angle de fuite

L’axe (Oy) forme un angle avec l’axe horizontal (Ox). Cet angle s’appelle l’angle de fuite (ou angle des fuyantes). En pratique, les deux valeurs les plus courantes sont :

• 30° : donne une représentation un peu ecrasee, souvent utilisee dans les manuels scolaires
• 45° : donne une représentation plus aeree, facile a tracer avec une equerre ou en suivant la diagonale d’un carreau

Le coefficient de reduction (ou coefficient de fuite)

Les longueurs portees sur l’axe de profondeur (Oy) ne sont pas dessinees en taille reelle. On leur applique un coefficient de reduction, note k, compris entre 0 et 1. Les valeurs habituelles sont :

• k = 0,5 : les longueurs en profondeur sont divisees par 2 (valeur la plus frequente en seconde)
• k = 0,7 : les longueurs en profondeur sont multipliees par 0,7

Par exemple, si un pave droit a une profondeur reelle de 6 cm et que le coefficient de reduction vaut 0,5, tu dessines 6 x 0,5 = 3 cm sur l’axe (Oy).

Ce que la perspective cavaliere conserve

C’est le point crucial du cours. La perspective cavaliere conserve :

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les volumes dans l’espace.

Propriété conservee	Ce que cela signifie
L’alignement	Si trois points sont alignes dans l’espace, leurs images sont alignees sur le dessin.
Le parallelisme	Deux droites parallèles dans l’espace sont representees par deux droites parallèles sur le dessin.
Les milieux	Le milieu d’un segment dans l’espace est represente par le milieu du segment sur le dessin.
Les rapports de longueur sur une meme droite	Si M partage [AB] dans le rapport 1/3, c’est aussi le cas sur le dessin.
Le contact (incidence)	Un point qui appartient a un plan ou a une droite dans l’espace y appartient aussi sur le dessin.

Ce que la perspective cavaliere ne conserve PAS

Propriété non conservee	Consequence
Les longueurs	Deux segments de meme longueur dans l’espace peuvent avoir des longueurs differentes sur le dessin (a cause du coefficient k sur l’axe Oy).
Les angles	Un angle droit dans l’espace n’apparait pas forcement comme un angle droit sur le dessin.
Les aires	Un carré dans l’espace peut apparaitre comme un parallelogramme sur le dessin.
La forme des cercles non frontaux	Un cercle situe dans un plan non frontal devient une ellipse sur le dessin.

Traits pleins et pointilles

Derniere convention importante :

• Les aretes visibles (celles que tu verrais si le solide etait opaque) sont tracees en trait plein.
• Les aretes cachees (celles qui se trouvent « derriere » le solide) sont tracees en pointilles.

Cette convention est obligatoire dans toute représentation en perspective cavaliere. Un dessin sans pointilles sera considere comme incomplet en evaluation.

Representer un cube en perspective cavaliere

Le cube est le solide de référence en géométrie dans l’espace. Si tu sais le tracer correctement, tu peux tracer tous les autres parallelepipedes. Voici la méthode pas a pas.

Donnees de depart

On prend un cube ABCDEFGH d’arete 4 cm, avec un angle de fuite de 45° et un coefficient de reduction k = 0,5.

Construction etape par etape

Etape 1 — Tracer la face frontale. Dessine le carré ABCD de 4 cm de cote. C’est la face « de devant », dans le plan (Oxz). Les longueurs sont en taille reelle, les angles droits sont conserves puisque cette face est dans un plan frontal.

Etape 2 — Tracer les fuyantes. Depuis chaque sommet A, B, C, D, trace un segment dans la direction de l’axe (Oy), c’est-a-dire a 45° vers la droite et vers le haut. La longueur de chaque segment vaut : 4 x 0,5 = 2 cm.

Etape 3 — Placer les sommets arriere. Les extremites de ces segments te donnent les sommets E, F, G, H de la face arriere.

Etape 4 — Relier les sommets arriere. Relie E, F, G, H pour former le carré arriere. Les cotes de ce carré sont parallèles a ceux du carré ABCD (le parallelisme est conserve). Sur le dessin, cette face apparait comme un parallelogramme, mais dans la realite c’est bien un carré.

Etape 5 — Mettre en pointilles les aretes cachees. En général, trois aretes sont cachees (celles qui partent du sommet le plus « enfonce »). Repasse-les en pointilles.

Nommer les sommets

La convention la plus repandue est de nommer ABCD la face de devant (dans le sens trigonometrique ou horaire, selon le manuel) et EFGH la face de derriere, de sorte que [AE], [BF], [CG], [DH] soient les aretes de profondeur. Vérifié toujours la convention utilisee dans ton enonce.

Propriétés du cube a retenir

• Un cube possede 8 sommets, 12 aretes et 6 faces carrées.
• Toutes les aretes ont la meme longueur.
• Les 4 grandes diagonales du cube (par exemple [AG], [BH], [CE], [DF]) se coupent en un meme point : le centre du cube.
• La longueur de la diagonale d’une face de cote a vaut a racine de 2.
• La longueur de la grande diagonale du cube de cote a vaut a racine de 3.

Representer un pave droit

Le pave droit (ou parallelepipede rectangle) est la généralisation du cube : ses trois dimensions (longueur, largeur, hauteur) peuvent etre differentes.

Méthode de construction

La construction est identique a celle du cube, a une difference pres : les trois dimensions ne sont plus egales.

Prenons un pave droit de dimensions L = 6 cm, l = 4 cm, h = 3 cm, avec un angle de fuite de 30° et k = 0,7.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur l’orthogonalité dans l’espace.

Etape 1. Trace la face frontale : un rectangle de 6 cm (largeur, sur Ox) et 3 cm (hauteur, sur Oz). Les dimensions sont en taille reelle.

Etape 2. Depuis chaque sommet de ce rectangle, trace un segment a 30° de l’horizontale. Sa longueur vaut : 4 x 0,7 = 2,8 cm.

Etape 3. Relie les extremites pour former la face arriere (parallèle a la face avant).

Etape 4. Mets les aretes cachees en pointilles (3 aretes en pointilles).

Cas particuliers a connaitre

• Un pave droit dont les trois dimensions sont egales est un cube.
• Chaque face d’un pave droit est un rectangle.
• Un pave droit possede 8 sommets, 12 aretes et 6 faces.
• Les quatre diagonales d’un pave droit se coupent en leur milieu (centre de symétrie du pave).
• La diagonale d’un pave droit de dimensions L, l, h vaut racine de (L2 + l2 + h2).

Representer un cylindre et un cone

Les solides de revolution (cylindre, cone) demandent un peu plus de soin, car les cercles deviennent des ellipses en perspective cavaliere lorsqu’ils ne sont pas dans un plan frontal.

Le cylindre de revolution

Un cylindre de revolution est engendre par la rotation d’un rectangle autour d’un de ses cotes. Il est defini par son rayon r et sa hauteur h.

Méthode de trace :

1. Trace l’ellipse de la base inferieure. En perspective cavaliere, un cercle vu de face reste un cercle, mais un cercle dont le plan contient la direction de profondeur devient une ellipse. L’ellipse est aplatie dans la direction de l’axe (Oy).
2. Trace deux segments verticaux (les generatrices extremes) de longueur h, partant des bords gauche et droit de l’ellipse inferieure.
3. Trace l’ellipse supérieure, identique a l’inferieure, decalee vers le haut de h.
4. La partie arriere de l’ellipse inferieure (celle qu’on ne verrait pas) est tracee en pointilles.

Le cone de revolution

Un cone de revolution est engendre par la rotation d’un triangle rectangle autour d’un de ses cotes de l’angle droit. Il est defini par le rayon r de sa base et sa hauteur h.

Méthode de trace :

1. Trace l’ellipse de base (meme technique que pour le cylindre).
2. Place le sommet S du cone a la verticale du centre de l’ellipse, a une hauteur h.
3. Trace les deux droites qui partent de S et sont tangentes a l’ellipse (les generatrices extremes).
4. La partie arriere de l’ellipse de base est en pointilles. Tu peux aussi tracer en pointilles le segment vertical reliant le centre de la base au sommet (la hauteur du cone).

La pyramide et le tetraedre

Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont les faces laterales sont des triangles qui se rejoignent en un sommet appele apex. En seconde, tu rencontres surtout la pyramide a base carrée ou rectangulaire.

Méthode de trace d’une pyramide a base carrée :

1. Trace la base carrée en perspective cavaliere (comme pour un cube, mais sans face arriere).
2. Repère le centre de la base : c’est l’intersection des diagonales du carré.
3. Place le sommet S a la verticale de ce centre, a une hauteur h.
4. Relie S a chaque sommet de la base.
5. Les aretes cachees passent en pointilles.

Un tetraedre est une pyramide dont la base est un triangle. Il possede 4 faces triangulaires, 6 aretes et 4 sommets. Quand les quatre faces sont des triangles equilateraux, on parle de tetraedre régulier.

Ce thème est développé dans notre article sur les règles d’incidences dans l’espace.

Positions relatives dans l’espace

Savoir dessiner des solides, c’est bien. Mais le programme de seconde te demande aussi de comprendre comment les droites et les plans se positionnent les uns par rapport aux autres dans l’espace. C’est une partie fondamentale du chapitre, tres presente dans les controles et au baccalaureat.

Positions relatives de deux droites

Dans l’espace, deux droites d1 et d2 peuvent etre dans l’une de ces trois situations (contre deux seulement dans le plan) :

Position	Définition	Exemple sur un cube ABCDEFGH
Secantes	Elles ont exactement un point commun.	(AB) et (AD) sont secantes en A.
Parallèles	Elles sont coplanaires et n’ont aucun point commun (ou confondues).	(AB) et (EF) sont parallèles.
Non coplanaires	Elles ne sont contenues dans aucun plan commun. Elles ne se croisent pas et ne sont pas parallèles.	(AB) et (CG) sont non coplanaires.

Positions relatives d’une droite et d’un plan

Une droite d et un plan P peuvent etre dans l’une de ces trois positions :

• d est incluse dans P : tous les points de d appartiennent a P. La droite est « a plat » dans le plan.
• d est secante a P : d et P ont exactement un point commun (le point d’intersection).
• d est parallèle a P : d et P n’ont aucun point commun.

Positions relatives de deux plans

Deux plans P et Q dans l’espace peuvent etre :

• Secants : ils se coupent selon une droite (leur intersection est une droite).
• Parallèles : ils n’ont aucun point commun (ou ils sont confondus).

Contrairement aux droites, il n’y a que deux cas pour les plans (pas de notion de « non coplanaires » pour des plans).

Regles d’incidence utiles

Voici les propriétés que tu utiliseras le plus souvent dans les démonstrations :

1. Par trois points non alignes de l’espace, il passe un unique plan.
2. Si deux points d’une droite appartiennent a un plan, alors toute la droite est contenue dans ce plan.
3. Si deux plans sont secants, leur intersection est une droite.
4. Par un point exterieur a un plan, il passe une unique droite parallèle a une droite donnee de ce plan.
5. Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre, et les droites d’intersection sont parallèles.

Sections de solides par un plan

Determiner la section d’un solide par un plan, c’est trouver la figure formee par l’intersection du plan avec le solide. En seconde, tu dois savoir determiner des sections de cubes, de paves droits et de tetraedres.

La méthode repose sur deux principes :

• On cherche l’intersection du plan de coupe avec chaque face du solide.
• On utilise la regle : si le plan de coupe est parallèle a une arete, alors la section contient un segment parallèle a cette arete.

Les sections d’un cube par un plan peuvent donner un triangle, un quadrilatere, un pentagone ou un hexagone, selon la position du plan de coupe. La section la plus classique en exercice est celle qui passe par les milieux de trois aretes.

Erreurs frequentes a eviter

Voici les pieges dans lesquels tombent la plupart des eleves de seconde sur ce chapitre. Lis-les attentivement pour ne pas perdre de points betement.

Exercices corriges

Mets-toi en conditions de controle : lis l’enonce, cherche la réponse sur brouillon, puis vérifié avec la correction.

Voir la correction

a) La longueur dessinee pour les aretes de profondeur vaut :

l x k = 3 x 0,5 = 1,5 cm

b) En placant le pave avec la face ABCD devant et la face EFGH derriere, les aretes cachees sont typiquement [AE], [DH] et [EH] (les trois aretes partant du sommet inferieur gauche arriere ou formant la face arriere basse). Les aretes exactes dependent de l’orientation choisie, mais tu dois avoir exactement 3 aretes en pointilles.

c) V = L x l x h = 5 x 3 x 4 = 60 cm3

Attention : on utilise les dimensions reelles, pas les longueurs du dessin.

d) La diagonale vaut racine de (L2 + l2 + h2) = racine de (25 + 9 + 16) = racine de 50 = 5 racine de 2 soit environ 7,07 cm.

Voir la correction

a) (AB) et (EF) sont parallèles.

En effet, ABFE est une face du cube (un rectangle), donc (AB) et (EF) sont dans un meme plan et ne se coupent pas (elles sont des cotes opposes du rectangle). Elles sont parallèles.

b) (AB) et (CG) sont non coplanaires.

(AB) est contenue dans le plan de la face inferieure ABCD. (CG) est une arete verticale. Ces deux droites ne se coupent pas (elles n’ont aucun point commun) et ne sont pas parallèles (l’une est horizontale, l’autre verticale). Elles sont non coplanaires.

c) (AG) et (BH) sont secantes.

Ce sont les deux diagonales du pave. Elles se coupent au centre du cube, au point d’intersection des quatre grandes diagonales.

d) (AE) et (FG) sont non coplanaires.

(AE) est une arete verticale sur la face gauche. (FG) est une arete horizontale sur la face supérieure. Elles n’ont pas de point commun et ne sont pas parallèles (directions differentes). Elles sont non coplanaires.

Nous vous conseillons également notre cours sur le triangle isocèle.

Voir la correction

a) V = pi x r2 x h = pi x 32 x 7 = pi x 9 x 7 = 63pi soit environ 198 cm3

b) A_lat = 2pi x r x h = 2pi x 3 x 7 = 42pi soit environ 132 cm2

c) En perspective cavaliere, l’ellipse a pour grand axe le diametre reel : 2 x 3 = 6 cm (direction frontale, pas de reduction). Le petit axe est dans la direction de profondeur : 2 x 3 x 0,5 = 3 cm.

Le petit axe de l’ellipse mesure donc 3 cm.

d) La hauteur du cylindre sur le dessin mesure 7 cm. En effet, la hauteur est portee par l’axe vertical (Oz), qui est un axe frontal. Les longueurs sur les axes (Ox) et (Oz) sont dessinees en taille reelle. Seul l’axe de profondeur (Oy) subit la reduction par k.

Voir la correction

a) Considerons le plan de la face ABFE. Dans ce rectangle :

– I est le milieu de [AE]

– J est le milieu de [BF]

Dans un rectangle, le segment qui joint les milieux de deux cotes opposes est parallèle aux deux autres cotes.

Or [AE] et [BF] sont des cotes opposes du rectangle ABFE. Donc (IJ) est parallèle a (AB) (et aussi a (EF)).

b) (IJ) est parallèle a (AB) (demontre en a). Or la droite (AB) est contenue dans le plan (ABCD). De plus, les points I et J ne sont pas dans le plan (ABCD) (ils sont a mi-hauteur du cube). Donc (IJ), qui est parallèle a une droite du plan (ABCD) sans etre elle-meme dans ce plan, est parallèle au plan (ABCD).

c) Les plans (IJF) et (ABF) ne sont pas parallèles. En effet, le point F appartient aux deux plans (F est dans le plan (IJF) puisque J est le milieu de [BF], et F est dans le plan (ABF) par définition). Deux plans qui ont un point commun ne peuvent pas etre strictement parallèles. Ils sont donc secants.

FAQ — Questions frequentes

Quel angle de fuite et quel coefficient utiliser ?

En controle, l’angle et le coefficient sont donnes par l’enonce. S’ils ne le sont pas, les conventions les plus frequentes sont un angle de 45° et un coefficient k = 0,5. Certains manuels utilisent 30° avec k = 0,7. Les deux choix sont corrects tant qu’ils sont appliques de maniere coherente sur tout le dessin.

Comment savoir quelles aretes mettre en pointilles ?

Imagine que le solide est opaque et que tu le regardes depuis le point de vue impose par la perspective (en haut a gauche, en général). Toute arete que tu ne verrais pas doit etre en pointilles. Pour un cube en position standard, il y a exactement 3 aretes cachees qui forment un « coin » au sommet le plus eloigne. En cas de doute, prends un objet reel (une boite, un de) et observe-le sous le bon angle.

Pourquoi un cercle devient-il une ellipse en perspective cavaliere ?

Un cercle qui se trouve dans un plan frontal (parallèle au plan Oxz) reste un cercle sur le dessin. Mais un cercle dans un plan contenant la direction de profondeur (Oy) est deforme par le coefficient de reduction k : il est « ecrase » dans la direction de (Oy) et devient une ellipse. Le grand axe de l’ellipse correspond au diametre frontal (taille reelle) et le petit axe au diametre en profondeur (reduit par k).

Deux droites non coplanaires, c’est quoi concretement ?

Prends un cube et regarde l’arete du bas devant (horizontale) et l’arete verticale du fond droit. Ces deux aretes ne se touchent jamais, mais elles ne sont pas non plus parallèles (elles vont dans des directions differentes). Il est impossible de trouver un plan qui les contient toutes les deux. On dit qu’elles sont non coplanaires. C’est une situation qui n’existe pas en 2D et qui est specifique a la géométrie dans l’espace.

Quelles sont les sections possibles d’un cube par un plan ?

Selon l’orientation du plan de coupe, la section d’un cube peut etre un triangle, un quadrilatere (rectangle, carré, losange, parallelogramme, trapeze), un pentagone ou un hexagone. La section ne peut jamais avoir plus de six cotes, car un cube n’a que six faces. La section la plus classique en exercice de seconde est le triangle obtenu en coupant un coin du cube, ou l’hexagone régulier obtenu en coupant par le plan passant par les milieux de six aretes.