Système linéaire – Cours de Maths 2nde

Que faire face à un système linéaire à deux inconnues ? Voici comment les résoudre en utilisant les méthodes par substitution ou par combinaisons linéaires. Maîtrise ce concept en classe de seconde!

Qu’est-ce qu’un système linéaire ?

Un système linéaire est un ensemble de deux équations à deux inconnues. Ces inconnues, souvent nommées x et y, doivent être déterminées simultanément. Ces systèmes, que l’on appelle aussi systèmes 2×2, se présentent sous la forme :

ax + by = c

a’x + b’y = c’.

Pour mieux comprendre, imagine ceci : chaque équation linéaire représente une droite dans le plan. La solution du système est le point où ces deux droites se croisent.

Méthodes de résolution d’un système linéaire

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système linéaire. Les plus courantes sont la méthode par substitution et celle par combinaisons linéaires.

Méthode par substitution

Pour utiliser la méthode par substitution, il te suffit d’exprimer une des inconnues à partir d’une des deux équations. Ensuite, substitue cette expression dans l’autre équation pour trouver l’autre inconnue.

Exemple : Équations : 2x + 3y = 6 et x – y = 1.
Exprimes x à partir de la deuxième équation : x = y + 1.
Remplace x dans la première : 2(y + 1) + 3y = 6 puis résous pour trouver y.

Méthode par combinaisons linéaires

Pour la méthode par combinaisons linéaires, tu devras multiplier les équations par des coefficients pour ensuite les additionner ou les soustraire de façon à éliminer une des inconnues. Cela te permet de résoudre plus facilement l’autre inconnue.

Exemple : Équations : 3x + 2y = 5 et 4x + 5y = 11.
Multiplie la première équation par 5 et la seconde par 2 pour avoir les mêmes coefficients devant y. Puis, soustrais la deuxième équation de la première.

Petites astuces pour ne pas se tromper

Lorsque tu fructifies la méthode par substitution, vérifie bien que tu as isolé la bonne inconnue et que tu n’as pas oublié de modifier tous les termes de l’équation originale.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur le développement et la factorisation.

En utilisant des combinaisons linéaires, prends soin de correctement choisir les coefficients par lesquels multiplier les équations. Ainsi, tu t’assures d’éliminer une inconnue efficacement.

Application graphique des solutions

Un moyen visuel de comprendre la solution d’un système linéaire est de tracer les deux équations sur un graphique. Les coordonnées du point où les deux droites se croisent représentent la solution du système.

Pour approfondir cette méthode, tu peux visionner des ressources supplémentaires et des exercices en ligne pour t’entraîner, notamment sur
ce document.

Exercices et pratique

Réaliser des exercices sera un excellent moyen pour assimiler les concepts des systèmes linéaires. Tu pourras trouver des exercices corrigés ainsi que des fiches de cours complets sur des plateformes éducatives en ligne.

Une suggestion est de te rendre sur Inimath pour pratiquer grâce à leurs nombreux exercices et conseils.

Ce thème est développé dans notre article sur les inéquations et tableaux de signes.

Exercices de maths

Voici quelques exercices pour t’entraîner. Prends ton temps et comprends bien chaque étape avant de poursuivre.

Retrouvez les détails dans notre fiche sur l’introduction aux équations.

Résolution d’un système linéaire 2×2 avec substitution

Instructions

1. Exprime l’une des inconnues, x ou y, de la deuxième équation en fonction de l’autre.
2. Substitue cette expression dans la première équation.
3. Résous l’équation obtenue pour trouver la valeur de l’inconnue restante.
4. Remplace cette valeur dans l’expression initialement trouvée pour déterminer l’autre inconnue.
5. Vérifie la solution en remplaçant les valeurs trouvées dans les deux équations originales pour assurer qu’elles sont satisfaites.

• Un bon indice est de commencer par une équation plus simple.

✅ Voir la correction

Étape 1 : On exprime (x) de la deuxième équation :

Équation 2 : x−y=1⇒x=y+1x−y=1⇒x=y+1

Étape 2 : On substitue cette expression dans l’équation 1 :

Équation 1 devient : (2(y + 1) + 3y = 11)

Étape 3 : Développons et résolvons l’équation :

(2y + 2 + 3y = 11)

(5y + 2 = 11)

(5y = 11 – 2)

(5y = 9)

(y = frac{9}{5})

Étape 4 : Remplaçons yy dans x=y+1x=y+1 :
x=95+1=95+55=145x=59​+1=59​+55​=514​

Étape 5 : Vérification :

Vérifions dans l’équation 1 :
2(145)+3(95)=285+275=555=112(514​)+3(59​)=528​+527​=555​=11

Les deux équations sont satisfaites par le couple (x=145;y=95)(x=514​;y=59​).

Résolution d’un système linéaire à deux inconnues

Instructions

1. Choisir une méthode de résolution : Par exemple, utiliser la méthode par substitution ou combinaisons linéaires.
2. Pour la méthode par combinaisons linéaires:
   • Étape délicate : Multipliez la première équation pour que la variable y ait le même coefficient dans les deux équations.

3. Étape délicate : Multipliez la première équation pour que la variable y ait le même coefficient dans les deux équations.
4. Simplifier et obtenir une équation avec une seule variable.
5. Résoudre cette équation pour trouver la valeur de x ou y.
6. Substituer dans l’une des équations pour trouver l’autre variable.

• Étape délicate : Multipliez la première équation pour que la variable y ait le même coefficient dans les deux équations.

✅ Voir la correction

Pour résoudre le système, nous allons utiliser la méthode des combinaisons linéaires.

Multiplions la deuxième équation par 2 pour obtenir des coefficients identiques en y :
(5x – y) × 2 = 3 × 2 → 10x – 2y = 6

Ensuite, ajoutons les deux équations :
3x + 2y = 11
10x – 2y = 6
———————
13x = 17

Résolvons pour x :
x = 17 / 13

Substituons x dans l’une des équations initiales :
3 × (17 / 13) + 2y = 11

Résolvons pour y :
2y = 11 – (51 / 13)
2y = (92 / 13) – (51 / 13)
2y = 41 / 13
y = 41 / 26

La solution du système est S = (17 / 13 ; 41 / 26).

Résolution d’un Système Linéaire : Méthode de Substitution

Instructions

1. Dans l’équation 1, exprime x en fonction de y.
2. Substitue l’expression trouvée dans l’équation 2.
3. Résous l’équation obtenue pour trouver la valeur de y.
4. Remplace la valeur de y dans l’expression de x trouvée à l’étape 1.
5. Vérifie les valeurs obtenues en les remplaçant dans les deux équations initiales.

Attention : Assure-toi de simplifier où c’est possible pour obtenir des résultats plus facilement.

Voir aussi : le calcul en ligne et ses priorités pour compléter vos connaissances.

✅ Voir la correction

Tout d’abord, dans l’équation 1 :

3x + 4y = 10, donc 3x = 10 – 4y. Ceci nous donne : x = (10 – 4y) / 3.

Maintenant, substituons x dans l’équation 2 :

5((10 – 4y) / 3) – 2y = 3.

En multipliant toute l’équation par 3 pour éliminer le dénominateur :

5(10 – 4y) – 6y = 9.

Ce qui simplifie à : 50 – 20y – 6y = 9.

Donc, -26y = 9 – 50, soit -26y = -41.

y = 41/26.

Ensuite, remplaçons la valeur de y dans l’expression de x :

x = (10 – 4(41/26)) / 3.

Calculons : x = (10 – 164/26) / 3, ce qui donne x = (10 – 6.3077) / 3.

Finalement, x = 3.6923 / 3.

x = 1.2308.

Vérifions les solutions dans les équations initiales :

Remplaçons x = 1.2308 et y = 41/26 dans les deux équations pour s’assurer de leur validité.

Équation 1 : 3(1.2308) + 4(41/26) ≈ 10.

Équation 2 : 5(1.2308) – 2(41/26) ≈ 3.

Les solutions sont correctes !

Conclusion

Maintenant que tu as appris à résoudre des systèmes linéaires, tu sais comment appliquer les méthodes par substitution et par combinaisons linéaires. Ces techniques te permettent de manipuler des équations et de trouver facilement la solution au problème posé.

Nous vous conseillons également notre cours sur les suites numériques en première.

Ces compétences sont non seulement utiles pour comprendre les fonctions affines et les systèmes, mais aussi pour résoudre des problèmes concrets. Tu es ainsi prêt à apprendre davantage les mathématiques en classe de seconde et à utiliser ces compétences dans d’autres disciplines mathématiques.

Retrouve plus de cours détaillés et des exercices de maths corrigés sur les systèmes linéaires en seconde.

@mathelps

Exercice système méthode pivot de gauss , expliquée vidéos précédentes

♬ son original – Mathelps