La multiplication d’un vecteur par un nombre reel est une opération fondamentale en mathematiques de Seconde. Elle te permet de redimensionner un vecteur, de changer son sens, et surtout de resoudre des problèmes de colinearite, de milieu et de barycentre. Ce chapitre fait le lien entre le calcul vectoriel et la géométrie, et constitue un socle indispensable pour tout le lycee. Tu vas comprendre comment cette opération transforme un vecteur, quelles propriétés elle respecte, et comment l’utiliser dans des situations concretes.
Rappel : qu’est-ce qu’un vecteur ?
Un vecteur est un objet mathematique defini par trois caracteristiques : sa direction (la droite sur laquelle il se trouve), son sens (une des deux orientations possibles sur cette droite) et sa norme (sa longueur).
On note un vecteur avec une fleche : →u ou →AB. Le vecteur →AB a pour point de depart A (origine) et pour point d’arrivee B (extremite). Il traduit le deplacement de A vers B.
Deux vecteurs sont egaux s’ils ont la meme direction, le meme sens et la meme norme. Cela signifie qu’un vecteur n’est pas « attache » a un point particulier : on peut le deplacer dans le plan sans le modifier, tant qu’on conserve sa direction, son sens et sa longueur.
Le vecteur nul, note →0, a une norme nulle. Il est le seul vecteur a n’avoir ni direction ni sens definis.
En coordonnees, si A(xA, yA) et B(xB, yB), alors le vecteur →AB a pour coordonnees (xB – xA, yB – yA). Sa norme est ||→AB|| = √((xB – xA)² + (yB – yA)²).
Multiplier un vecteur par un reel
A retenir
Soit →u un vecteur et k un nombre reel. Le produit k→u est le vecteur qui a :
• la meme direction que →u ;
• le meme sens que →u si k > 0, le sens oppose si k < 0 ;
• pour norme ||k→u|| = |k| × ||→u||.
Si k = 0 ou →u = →0, alors k→u = →0.
En coordonnees, si →u a pour coordonnees (a, b), alors k→u a pour coordonnees (ka, kb). C’est aussi simple que cela : tu multiplies chaque coordonnee par k.
Exemples concrets :
- Si →u = (3, -2), alors 2→u = (6, -4). Le vecteur a ete « etire » d’un facteur 2, dans la meme direction et le meme sens.
- Si →u = (3, -2), alors (-1)→u = (-3, 2). Le vecteur a la meme longueur mais le sens oppose : c’est l’oppose de →u, note -→u.
- Si →u = (3, -2), alors (1/2)→u = (1.5, -1). Le vecteur a ete « contracte » de moitie.
- Si →u = (3, -2), alors (-3)→u = (-9, 6). Le vecteur a ete etire d’un facteur 3 et retourne.
Effet sur la direction, le sens et la norme
Detaillons precisement l’effet de la multiplication par un reel k sur chacune des trois caracteristiques d’un vecteur.
Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur les vecteurs colinéaires.
La direction
La direction ne change jamais (sauf si k = 0, auquel cas on obtient le vecteur nul). Que k soit positif ou negatif, le vecteur k→u reste sur la meme droite que →u. C’est une propriété essentielle qui est directement liee a la colinearite.
Le sens
Si k > 0, le vecteur k→u a le meme sens que →u. Tu te deplaces dans la meme direction. Si k < 0, le vecteur k→u a le sens oppose a celui de →u. Tu recules par rapport a la direction d’origine.
| Valeur de k | Direction | Sens | Norme |
|---|---|---|---|
| k > 1 | Inchangee | Meme sens | Augmentee (facteur k) |
| k = 1 | Inchangee | Meme sens | Inchangee |
| 0 < k < 1 | Inchangee | Meme sens | Diminuee (facteur k) |
| k = 0 | Non definie | Non defini | Nulle |
| -1 < k < 0 | Inchangee | Oppose | Diminuee (facteur |k|) |
| k = -1 | Inchangee | Oppose | Inchangee |
| k < -1 | Inchangee | Oppose | Augmentee (facteur |k|) |
La norme
La norme de k→u est toujours ||k→u|| = |k| × ||→u||. C’est la valeur absolue de k qui intervient, pas k lui-meme. Ainsi, 3→u et (-3)→u ont la meme norme (3 fois celle de →u), mais des sens opposes.
Propriétés de la multiplication par un reel
La multiplication d’un vecteur par un reel obeit a plusieurs propriétés algébriques que tu dois connaitre et savoir utiliser dans les calculs.
A retenir
Pour tous vecteurs →u et →v, et pour tous reels k et k’ :
• k(→u + →v) = k→u + k→v (distributivite par rapport a l’addition des vecteurs)
• (k + k’)→u = k→u + k’→u (distributivite par rapport a l’addition des reels)
• k(k’→u) = (kk’)→u (associativite)
• 1 × →u = →u (element neutre)
• 0 × →u = →0 et k × →0 = →0
Ces propriétés sont identiques a celles du produit dans les nombres reels, mais appliquees aux vecteurs. Elles te permettent de developper, de factoriser et de simplifier des expressions vectorielles exactement comme tu le ferais avec des expressions algébriques classiques.
Par exemple, pour simplifier 3(→u + 2→v) – 2(2→u – →v) :
- On developpe : 3→u + 6→v – 4→u + 2→v
- On regroupe : (3 – 4)→u + (6 + 2)→v = -→u + 8→v
Astuce
Pour simplifier une expression vectorielle, traite les vecteurs comme des « lettres » et les coefficients comme des nombres. Developpe les parentheses, regroupe les vecteurs identiques et additionne leurs coefficients. C’est le meme reflexe que pour simplifier 3(a + 2b) – 2(2a – b).
Retrouvez les détails dans notre fiche sur l’addition de vecteurs.
Vecteurs colineaires et multiplication par un reel
La multiplication par un reel est directement liee a la notion de colinearite, l’un des concepts les plus importants du programme de Seconde.
A retenir
Deux vecteurs →u et →v sont colineaires s’il existe un reel k tel que →v = k→u (ou →u = k’→v). Autrement dit, l’un est un « multiple » de l’autre. Geometriquement, cela signifie qu’ils ont la meme direction (ou que l’un d’eux est le vecteur nul).
Si →u(a, b) et →v(a’, b’), alors →u et →v sont colineaires si et seulement si ab’ – a’b = 0. Ce nombre ab’ – a’b s’appelle le determinant des deux vecteurs.
Les consequences géométriques de la colinearite sont fondamentales :
- Trois points A, B, C sont alignes si et seulement si →AB et →AC sont colineaires.
- Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si →AB et →CD sont colineaires.
Exemple : A(1, 3), B(4, 9) et C(3, 7). On a →AB = (3, 6) et →AC = (2, 4). Le determinant vaut 3 × 4 – 6 × 2 = 12 – 12 = 0. Donc A, B et C sont alignes. On vérifié : →AC = (2/3)→AB.
Applications : milieu et barycentre
Le milieu d’un segment
Si I est le milieu de [AB], alors →AI = (1/2)→AB. Cette egalite vectorielle traduit le fait que I se trouve exactement a mi-chemin entre A et B.
En coordonnees, si A(xA, yA) et B(xB, yB), alors I a pour coordonnees :
I = ((xA + xB) / 2 , (yA + yB) / 2)
C’est la moyenne arithmetique des coordonnees.
Un point partageant un segment dans un rapport donne
Plus generalement, si M est le point du segment [AB] tel que →AM = k→AB avec 0 ≤ k ≤ 1, alors M se situe a la fraction k du chemin de A vers B.
Ce thème est développé dans notre article sur les repères et coordonnées.
- k = 0 : M = A
- k = 1/4 : M est au quart du segment en partant de A
- k = 1/2 : M est le milieu
- k = 3/4 : M est aux trois quarts
- k = 1 : M = B
En coordonnees : M = (xA + k(xB – xA), yA + k(yB – yA)).
Le centre de gravite d’un triangle
Le centre de gravite G d’un triangle ABC est le point tel que →GA + →GB + →GC = →0. On peut aussi ecrire →AG = (1/3)(→AB + →AC). En coordonnees : G = ((xA + xB + xC) / 3, (yA + yB + yC) / 3).
Le centre de gravite se situe aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. Si M est le milieu de [BC], alors →AG = (2/3)→AM.
Astuce
Pour retrouver rapidement les coordonnees du centre de gravite, fais la moyenne des trois abscisses et la moyenne des trois ordonnees. C’est la meme logique que le milieu (moyenne de deux points), etendue a trois points.
Erreurs frequentes
️ Erreur frequente
Confondre « meme direction » et « meme sens ». Deux vecteurs colineaires ont toujours la meme direction, mais pas forcement le meme sens. Si k < 0, les vecteurs →u et k→u sont de sens opposes tout en etant colineaires. La colinearite concerne la direction, pas le sens.
️ Erreur frequente
Ecrire ||k→u|| = k × ||→u|| sans la valeur absolue. La norme est toujours positive. La formule correcte est ||k→u|| = |k| × ||→u||. Si k = -3, la norme est 3 × ||→u||, pas -3 × ||→u||.
️ Erreur frequente
Oublier le cas du vecteur nul dans la colinearite. Le vecteur nul →0 est colineaire a tous les vecteurs. Si l’un des deux vecteurs testes est nul, ils sont automatiquement colineaires. N’oublie pas ce cas particulier dans tes démonstrations.
️ Erreur frequente
Confondre →AM = (1/2)→AB et AM = (1/2)AB. La première est une egalite vectorielle (elle donne a la fois la position, la direction et le sens). La seconde est une egalite de longueurs (elle ne dit pas ou se trouve M sur la droite). Pour prouver que M est le milieu de [AB], il faut l’egalite vectorielle, pas seulement l’egalite des longueurs.
Exercices corriges
Exercice 1 : Calcul de coordonnees
️ Exercice
Soit →u = (3, -1) et →v = (-2, 5). Calcule les coordonnees de : a) 4→u b) -2→v c) 3→u + 2→v d) →u – 3→v
Voir aussi : le calcul en ligne et ses priorités pour compléter vos connaissances.
Voir la correction
a) 4→u = 4 × (3, -1) = (12, -4)
b) -2→v = -2 × (-2, 5) = (4, -10)
c) 3→u + 2→v = 3(3, -1) + 2(-2, 5) = (9, -3) + (-4, 10) = (9 – 4, -3 + 10) = (5, 7)
d) →u – 3→v = (3, -1) – 3(-2, 5) = (3, -1) – (-6, 15) = (3 + 6, -1 – 15) = (9, -16)
Exercice 2 : Colinearite
️ Exercice
Les points A(1, 2), B(4, 8) et C(3, 6) sont-ils alignes ?
Voir la correction
Calculons →AB et →AC :
→AB = (4 – 1, 8 – 2) = (3, 6)
→AC = (3 – 1, 6 – 2) = (2, 4)
Calculons le determinant : det = 3 × 4 – 6 × 2 = 12 – 12 = 0.
Le determinant est nul, donc →AB et →AC sont colineaires. Les points A, B et C sont alignes.
On vérifié : →AC = (2/3)→AB, ce qui confirme la colinearite.
Exercice 3 : Milieu et tiers
️ Exercice
Soit A(2, 5) et B(8, -1). a) Determine les coordonnees du milieu I de [AB]. b) Determine les coordonnees du point M tel que →AM = (2/3)→AB.
Voir la correction
a) I est le milieu de [AB] : I = ((2 + 8)/2, (5 + (-1))/2) = (5, 2).
b) →AB = (8 – 2, -1 – 5) = (6, -6). Donc (2/3)→AB = (4, -4).
→AM = (4, -4) signifie que M = A + (4, -4) = (2 + 4, 5 + (-4)) = (6, 1).
Le point M se situe aux deux tiers du segment [AB] en partant de A.
Exercice 4 : Centre de gravite
️ Exercice
Soit le triangle ABC avec A(0, 6), B(3, 0) et C(9, 3). Calcule les coordonnees du centre de gravite G, puis vérifié que →AG = (2/3)→AM, ou M est le milieu de [BC].
Voir la correction
G = ((0 + 3 + 9)/3, (6 + 0 + 3)/3) = (12/3, 9/3) = (4, 3).
Nous vous conseillons également notre cours sur le triangle isocèle.
M est le milieu de [BC] : M = ((3 + 9)/2, (0 + 3)/2) = (6, 1.5).
→AM = (6 – 0, 1.5 – 6) = (6, -4.5).
(2/3)→AM = (4, -3).
→AG = (4 – 0, 3 – 6) = (4, -3).
On a bien →AG = (2/3)→AM. Le centre de gravite est situe aux deux tiers de la médiane issue de A.
Exercice 5 : Simplification d’expression vectorielle
️ Exercice
Simplifie l’expression vectorielle : E = 2(3→u – →v) – 3(→u + 2→v) + 4→v.
Voir la correction
Developpons chaque terme :
2(3→u – →v) = 6→u – 2→v
-3(→u + 2→v) = -3→u – 6→v
4→v = 4→v
En regroupant :
E = (6 – 3)→u + (-2 – 6 + 4)→v = 3→u + (-4)→v = 3→u – 4→v.
FAQ
Peut-on multiplier deux vecteurs entre eux ?
En Seconde, non. La multiplication de deux vecteurs (produit scalaire) sera etudiee en Première. Pour l’instant, tu ne peux multiplier un vecteur que par un nombre reel. Le résultat est toujours un vecteur, jamais un nombre.
Pourquoi le vecteur nul est-il colineaire a tout vecteur ?
Par convention et par coherence mathematique. Le vecteur nul peut s’ecrire →0 = 0 × →u pour tout vecteur →u. Donc il satisfait la définition de colinearite (il est un multiple de n’importe quel vecteur). Cette convention evite de devoir traiter le vecteur nul comme un cas a part dans chaque théorème.
Comment savoir si un point est « a l’interieur » ou « a l’exterieur » d’un segment ?
Si →AM = k→AB avec 0 ≤ k ≤ 1, le point M est sur le segment [AB]. Si k < 0, M est "avant" A (du cote oppose a B). Si k > 1, M est « apres » B (au-dela de B en partant de A). Le signe et la valeur de k te renseignent completement sur la position de M par rapport au segment.
La multiplication par un reel change-t-elle l’angle entre deux vecteurs ?
Non, si tu multiplies un vecteur par un reel strictement positif, l’angle qu’il forme avec n’importe quel autre vecteur reste inchange. Si tu multiplies par un reel strictement negatif, l’angle est modifie de 180° (le vecteur pointe dans l’autre sens). La multiplication par un reel ne tord jamais un vecteur : elle ne fait que l’etirer ou le comprimer le long de sa propre direction.
Quelle est la difference entre colineaire et parallèle ?
En Seconde, ces deux termes designent la meme chose pour les vecteurs : deux vecteurs colineaires ont la meme direction. Pour les droites, on dit « parallèles » : deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colineaires. Le mot « colineaire » s’applique aux vecteurs, le mot « parallèle » s’applique aux droites. Attention : deux droites parallèles peuvent etre confondues (elles sont alors a la fois parallèles et identiques).
Articles du même niveau (Seconde)
- le calcul en ligne et ses priorités
- le triangle isocèle
- les racines et fractions
- la fonction logarithme népérien
- la médiatrice et ses propriétés
- arrondir un nombre décimal
- le moins devant une parenthèse
- la fonction valeur absolue
- la perspective et l’espace
- la fluctuation d’échantillonnage
- la moyenne en statistique
- le radian, les degrés et le cercle
- les systèmes linéaires en seconde
- la fonction inverse
- la fonction carré
- les inéquations et tableaux de signes
- l’introduction aux équations
- les compléments sur les fonctions
- le système par substitution
- les variations et extremums de fonctions
- l’introduction aux fonctions
- la valeur absolue en seconde
- les intervalles et l’intersection
- le développement et la factorisation
- l’écriture des nombres
- les ensembles de nombres
- les triangles semblables
- les équations de droite
- les transformations du plan
- les configurations du plan
- l’orthogonalité dans l’espace
- les règles d’incidences dans l’espace
- les volumes dans l’espace
- les vecteurs colinéaires
- les repères et coordonnées
- l’addition de vecteurs
Pour aller plus loin
- les suites numériques en première (niveau Première)
Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
