Tu travailles sur les aires depuis le CM1, mais en CM2, le programme va beaucoup plus loin. Tu dois savoir calculer l’aire du carré, du rectangle, du triangle, du parallélogramme et du disque. Tu dois aussi convertir les unités d’aire, comparer des surfaces entre elles, et surtout ne plus confondre aire et périmètre. Ce cours complet reprend chaque formule avec des explications claires, des exemples pas à pas, des astuces de calcul mental, un tableau récapitulatif et des exercices corrigés. Prends le temps de lire chaque section, et tu verras que les aires en CM2 n’ont rien de compliqué quand on procède dans l’ordre.
C’est quoi une aire ?
L’aire d’une figure, c’est la mesure de la surface qu’elle occupe. Imagine que tu veux peindre un mur ou recouvrir un sol de carrelage : la quantité de peinture ou le nombre de carreaux dont tu as besoin dépend directement de l’aire de la surface à couvrir.
Pour mesurer une aire, on compte combien d’unités carrées (des petits carrés de 1 cm de côté, de 1 m de côté, etc.) il faut pour recouvrir entièrement la figure, sans trou ni débordement. Plus il faut d’unités carrées, plus l’aire est grande.
Formule
L’aire d’une figure géométrique correspond à la mesure de sa surface. Elle s’exprime toujours en unités carrées : cm², m², km², ha, etc. Plus la figure est grande, plus son aire est élevée.
Attention, l’aire et le périmètre sont deux notions bien distinctes. Le périmètre mesure le tour de la figure (la longueur de son contour). L’aire mesure l’espace intérieur. Deux figures peuvent avoir le même périmètre mais des aires totalement différentes, et inversement. Par exemple, un rectangle très aplati de 1 cm sur 9 cm a le même périmètre qu’un carré de 5 cm de côté (20 cm dans les deux cas), mais leurs aires sont très différentes : 9 cm² contre 25 cm².
Voici quelques exemples concrets pour bien te représenter ce qu’est une aire :
- Un ongle de pouce : environ 1 cm²
- Une carte d’identité : environ 54 cm²
- Une feuille A4 : environ 624 cm² (21 cm × 29,7 cm)
- Le plateau d’une table d’écolier : environ 3 000 cm² (soit 0,3 m²)
- Une salle de classe : environ 50 m²
- Un terrain de football : environ 7 000 m² (soit 0,7 hectare)
- La ville de Paris : environ 105 km²
- La France métropolitaine : environ 551 000 km²
Les unités d’aire
En France, le système métrique utilise des unités d’aire qui sont toutes des « carrés » d’unités de longueur. L’unité de base est le mètre carré (m²), mais en CM2, tu travailleras surtout avec le centimètre carré (cm²) et le mètre carré (m²). Tu rencontreras aussi l’hectare (ha) et le kilomètre carré (km²) dans les problèmes de géographie ou d’agriculture.
Le tableau de conversion des unités d’aire
La particularité des unités d’aire, c’est qu’on ne multiplie pas par 10 quand on passe d’une unité à la suivante, mais par 100. Pourquoi ? Parce qu’une surface se mesure dans deux dimensions (longueur et largeur), donc on multiplie 10 × 10 = 100.
| Unité | Symbole | Équivalence en m² |
|---|---|---|
| Kilomètre carré | km² | 1 000 000 m² |
| Hectomètre carré (hectare) | hm² (ha) | 10 000 m² |
| Décamètre carré (are) | dam² (a) | 100 m² |
| Mètre carré | m² | 1 m² |
| Décimètre carré | dm² | 0,01 m² |
| Centimètre carré | cm² | 0,0001 m² |
| Millimètre carré | mm² | 0,000001 m² |
Astuce
Pour convertir des unités d’aire, tu te déplaces de deux colonnes à chaque fois dans le tableau de conversion (et non une seule comme pour les longueurs). Par exemple, pour passer de m² en cm², tu te déplaces de deux rangs vers la droite, donc tu multiplies par 100 × 100 = 10 000. Ainsi, 3 m² = 30 000 cm².
Les unités agraires : hectare et are
En agriculture et en géographie, on utilise souvent l’hectare (ha) et l’are (a) au lieu du mètre carré. Un hectare correspond à un carré de 100 m de côté, soit 10 000 m². Un are correspond à un carré de 10 m de côté, soit 100 m². Ces unités apparaissent souvent dans les problèmes de CM2 portant sur les champs, les forêts ou les parcs.
| Unité agraire | Équivalence | Exemple concret |
|---|---|---|
| 1 are (a) | 100 m² | Un petit jardin potager |
| 1 hectare (ha) | 10 000 m² = 100 ares | Un grand terrain de sport |
| 1 km² | 1 000 000 m² = 100 ha | Un quartier de ville |
Aire du carré
Le carré est la figure la plus simple pour calculer une aire, parce que ses quatre côtés sont tous égaux. Tu multiplies simplement la longueur du côté par elle-même.
Formule
Aire du carré = côté × côté
On écrit aussi : A = c × c ou A = c²
Exemple pas à pas
Un carré a un côté de 9 cm. Calcule son aire.
- On repère la formule : Aire = côté × côté
- On remplace par la valeur : A = 9 × 9
- On calcule : A = 81 cm²
Ce carré a donc une aire de 81 cm², ce qui signifie qu’il faut exactement 81 petits carrés de 1 cm de côté pour le recouvrir entièrement.
Astuce
Quand on dit « 9 au carré » en maths, cela vient justement de l’aire du carré. Le mot « carré » pour parler de la multiplication d’un nombre par lui-même est directement lié à cette formule géométrique. Retiens ce lien : « au carré » = « côté × côté ».
Deuxième exemple
Le sol d’une pièce est un carré de 4 m de côté. Combien de carreaux de 1 dm² faut-il pour carreler cette pièce ?
- Aire de la pièce : A = 4 × 4 = 16 m²
- Conversion : 1 m² = 100 dm², donc 16 m² = 1 600 dm²
- Il faut 1 600 carreaux de 1 dm² pour carreler la pièce.
Aire du rectangle
Le rectangle possède deux longueurs égales et deux largeurs égales. Pour calculer son aire, tu multiplies la longueur par la largeur. C’est la formule que tu utiliseras le plus souvent dans les problèmes de CM2.
Formule
Aire du rectangle = longueur × largeur
On écrit aussi : A = L × l
Exemple pas à pas
Un rectangle mesure 12 cm de long et 7 cm de large. Calcule son aire.
- On repère la formule : Aire = longueur × largeur
- On remplace : A = 12 × 7
- On calcule : A = 84 cm²
Son aire est de 84 cm². Si tu découpais 84 petits carrés de 1 cm de côté, tu pourrais remplir exactement ce rectangle sans laisser de vide.
Le carré : un cas particulier du rectangle
Le carré est un rectangle dont la longueur est égale à la largeur. La formule L × l fonctionne donc aussi pour le carré, puisque L = l = c. C’est pour cette raison que la formule du carré (c × c) est simplement un cas particulier de la formule du rectangle.
Retrouver une dimension à partir de l’aire
Parfois, un exercice te donne l’aire et une dimension, et te demande de retrouver l’autre. Dans ce cas, tu divises l’aire par la dimension connue. Voici aussi le périmètre en CM2.
Exemple : Un rectangle a une aire de 96 cm² et une longueur de 12 cm. Quelle est sa largeur ?
l = A ÷ L = 96 ÷ 12 = 8 cm
Astuce
Si tu connais l’aire et que tu veux retrouver un côté, pense à la division. L’aire est le résultat d’une multiplication (L × l), donc pour « remonter », tu fais l’opération inverse : tu divises l’aire par le côté connu. Ce raisonnement fonctionne aussi pour le carré, le triangle et le parallélogramme.
Aire du triangle
Le triangle est la première figure qui pose souvent des difficultés, car la formule contient une division par 2. Mais une fois que tu comprends d’où vient cette division, tout devient logique.
Formule
Aire du triangle = (base × hauteur) ÷ 2
On écrit aussi : A = (b × h) / 2
Pourquoi divise-t-on par 2 ?
Prends un rectangle et trace une diagonale. Tu obtiens deux triangles parfaitement identiques. Chaque triangle occupe exactement la moitié du rectangle. Donc l’aire du triangle, c’est la moitié de l’aire du rectangle qui aurait la même base et la même hauteur.
Cette explication fonctionne pour tous les types de triangles, pas seulement les triangles rectangles. Si tu prends un triangle quelconque et que tu le dupliques en le retournant, tu peux toujours reconstituer un parallélogramme dont l’aire est base × hauteur. Le triangle en représente la moitié, d’où la division par 2.
Exemple pas à pas
Un triangle a une base de 10 cm et une hauteur de 6 cm. Calcule son aire.
- On repère la formule : Aire = (base × hauteur) ÷ 2
- On remplace : A = (10 × 6) ÷ 2
- On calcule : A = 60 ÷ 2 = 30 cm²
️ Erreur fréquente
La hauteur d’un triangle n’est pas forcément un de ses côtés. La hauteur est le segment perpendiculaire (qui forme un angle droit) à la base et qui rejoint le sommet opposé. Dans un triangle obtusangle, la hauteur peut même tomber en dehors du triangle. Ne confonds jamais la hauteur avec un côté oblique du triangle.
Les différents types de triangles et leurs hauteurs
Selon le type de triangle, la hauteur ne se repère pas au même endroit :
- Triangle rectangle : la hauteur correspond à l’un des deux côtés de l’angle droit. Le calcul est donc très simple.
- Triangle isocèle : la hauteur relative à la base passe par le milieu de cette base. Elle coupe le triangle en deux parties symétriques.
- Triangle équilatéral : toutes les hauteurs sont égales et chacune passe par le milieu du côté opposé.
- Triangle quelconque : la hauteur peut tomber à l’intérieur ou à l’extérieur du triangle. Il faut la tracer pour la repérer.
Aire du parallélogramme
Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Pour calculer son aire, on utilise une formule très proche de celle du rectangle.
Formule
Aire du parallélogramme = base × hauteur
On écrit aussi : A = b × h
Pourquoi la même formule que le rectangle ?
Si tu découpes le triangle qui dépasse à droite du parallélogramme et que tu le recolles à gauche, tu obtiens un rectangle parfait. Le parallélogramme a donc la même aire que le rectangle de même base et de même hauteur. La seule différence, c’est que la hauteur du parallélogramme n’est pas un de ses côtés : c’est la distance perpendiculaire entre les deux bases.
Exemple pas à pas
Un parallélogramme a une base de 8 cm et une hauteur de 5 cm. Son côté oblique mesure 6 cm. Calcule son aire.
- On repère la formule : Aire = base × hauteur
- On remplace : A = 8 × 5 (le côté oblique de 6 cm ne sert pas)
- On calcule : A = 40 cm²
Astuce
Ne multiplie surtout pas les deux côtés du parallélogramme entre eux. C’est la base × hauteur qui compte, et la hauteur est toujours perpendiculaire à la base. Si un énoncé te donne un côté oblique, c’est souvent un piège : ce côté ne sert pas au calcul de l’aire.
Aire du cercle (disque)
En CM2, tu apprends le nombre pi (π), qui vaut environ 3,14. Ce nombre intervient dans le calcul de l’aire du disque (la surface intérieure du cercle). Le cercle est la ligne courbe, le disque est la surface pleine à l’intérieur.
Formule
Aire du disque = π × rayon × rayon
On écrit aussi : A = π × r²
Avec π ≈ 3,14
Rayon et diamètre : ne pas confondre
Le rayon va du centre du cercle jusqu’au bord. Le diamètre traverse le cercle en passant par le centre : il mesure donc le double du rayon (d = 2 × r). Si un exercice te donne le diamètre, pense à le diviser par 2 avant de l’utiliser dans la formule.
Exemple avec le rayon
Un disque a un rayon de 4 cm. Calcule son aire.
- On repère la formule : Aire = π × r × r
- On remplace : A = 3,14 × 4 × 4
- On calcule : 3,14 × 16 = 50,24 cm²
Exemple avec le diamètre
Un cercle a un diamètre de 10 cm. Calcule l’aire du disque.
- On trouve le rayon : 10 ÷ 2 = 5 cm
- On applique la formule : A = 3,14 × 5 × 5
- On calcule : 3,14 × 25 = 78,5 cm²
️ Erreur fréquente
Beaucoup d’élèves confondent rayon et diamètre dans la formule. Si tu utilises le diamètre à la place du rayon, tu obtiens une aire 4 fois trop grande. Vérifie toujours quelle mesure on te donne dans l’énoncé avant de commencer le calcul.
Astuce
Pour retenir la formule π × r², pense à la phrase : « Pi R Carré ». C’est court, ça rime, et tout le monde la connaît. Si tu oublies la formule en contrôle, cette phrase te la ramènera en mémoire.
Tableau récapitulatif de toutes les formules d’aire
Voici un tableau qui rassemble toutes les formules que tu dois connaître en CM2. Garde-le sous la main pour tes révisions. Tu peux même le recopier dans ton cahier de leçons.
| Figure | Formule | Ce qu’il faut savoir | Exemple rapide |
|---|---|---|---|
| Carré | côté × côté | Tous les côtés sont égaux | c = 6 cm → A = 36 cm² |
| Rectangle | longueur × largeur | Deux paires de côtés égaux | L = 8 cm, l = 5 cm → A = 40 cm² |
| Triangle | (base × hauteur) ÷ 2 | La hauteur est perpendiculaire à la base | b = 10 cm, h = 4 cm → A = 20 cm² |
| Parallélogramme | base × hauteur | Ne pas utiliser le côté oblique | b = 7 cm, h = 3 cm → A = 21 cm² |
| Disque (cercle) | π × rayon × rayon | Diviser le diamètre par 2 pour obtenir le rayon | r = 3 cm → A ≈ 28,26 cm² |
Comparer et mesurer des aires
Avant de savoir calculer une aire avec une formule, il est important de savoir comparer des aires entre elles. En CM2, tu utilises trois grandes méthodes : le pavage, le découpage et l’encadrement.
Comparer par pavage
Le pavage consiste à recouvrir une figure avec une unité d’aire choisie (un petit carré, un triangle, un hexagone…) et à compter combien d’unités rentrent dans la figure. Si la figure A contient 12 unités et la figure B en contient 15, alors la figure B a une aire plus grande que la figure A.
Cette méthode est très utile quand les figures n’ont pas de forme classique (rectangle, triangle…) et qu’aucune formule ne s’applique directement. C’est aussi la méthode que tu utilises quand tu travailles sur un quadrillage. Voici aussi l’aire du triangle.
Comparer par découpage et recollement
Le découpage consiste à prendre une figure, la découper en morceaux, et recoller ces morceaux pour former une autre figure dont on connaît l’aire. Par exemple, tu peux découper un parallélogramme en deux morceaux et les réassembler en rectangle.
Tu peux aussi superposer deux figures : si l’une rentre complètement dans l’autre sans dépasser, alors son aire est plus petite. Cette technique fonctionne bien pour comparer des figures de formes différentes.
Comparer par encadrement
Quand une figure a une forme irrégulière (comme une tache ou un lac sur une carte), tu peux la placer sur un quadrillage et compter les carreaux complets à l’intérieur (borne inférieure) puis les carreaux touchés même partiellement (borne supérieure). L’aire réelle se situe entre ces deux valeurs.
Exemple : Une figure irrégulière est placée sur un quadrillage de 1 cm². Tu comptes 18 carreaux entièrement couverts et 26 carreaux touchés (entièrement ou partiellement). L’aire de cette figure est comprise entre 18 cm² et 26 cm².
Astuce
Quand tu comptes les carreaux sur un quadrillage, commence par les carreaux entièrement couverts. Ensuite, repère les carreaux qui sont couverts à peu près à moitié : deux demi-carreaux valent environ un carreau entier. Cette technique te donne une bonne estimation de l’aire sans avoir besoin de formule.
Décomposer une figure complexe
Quand une figure n’est ni un carré, ni un rectangle, ni un triangle, ni un parallélogramme, ni un disque, tu dois la décomposer en figures simples dont tu connais les formules. Par exemple :
- Une figure en forme de L se décompose en deux rectangles. Tu calcules l’aire de chacun et tu additionnes.
- Une figure en forme de T se décompose en deux rectangles placés différemment.
- Un terrain avec une partie arrondie se décompose en un rectangle et un demi-disque.
- Si un morceau est enlevé (un trou), tu calcules l’aire totale puis tu soustrais l’aire du trou.
Erreurs fréquentes à éviter
Les exercices sur les aires en CM2 sont truffés de pièges. Voici les erreurs les plus courantes et comment les éviter.
️ Confondre périmètre et aire
C’est l’erreur numéro 1 en CM2. Le périmètre se calcule en additionnant les côtés et s’exprime en cm, m, km… L’aire se calcule en multipliant deux mesures et s’exprime en cm², m², km²… Si ta réponse est en « cm » au lieu de « cm² », tu as probablement calculé un périmètre au lieu d’une aire. Vérifie toujours l’unité de ta réponse.
️ Oublier de diviser par 2 pour le triangle
Beaucoup d’élèves calculent base × hauteur et oublient la division par 2. Souviens-toi : le triangle, c’est la moitié du rectangle. Si tu trouves un résultat qui te semble trop grand, vérifie que tu as bien divisé par 2.
️ Utiliser le mauvais côté comme hauteur
Dans un triangle ou un parallélogramme, la hauteur est toujours perpendiculaire à la base (elle forme un angle droit avec la base). Un côté oblique n’est pas la hauteur. Cherche toujours le petit carré d’angle droit sur la figure pour repérer la hauteur correcte.
️ Se tromper dans les conversions d’unités
Pour les longueurs, on multiplie par 10 d’une unité à l’autre. Pour les aires, on multiplie par 100. Donc 1 m² = 10 000 cm² (et non 100 cm²). Pense toujours à « deux colonnes » dans le tableau de conversion, pas une seule.
️ Oublier l’unité dans la réponse
Une aire sans unité ne veut rien dire. Écrire « 42 » au lieu de « 42 cm² » te coûtera des points en évaluation. Vérifie systématiquement que ton résultat comporte bien l’unité au carré (cm², m², km²).
️ Confondre rayon et diamètre pour le disque
La formule du disque utilise le rayon, pas le diamètre. Si l’énoncé te donne un diamètre de 12 cm, le rayon est 6 cm. Utiliser 12 au lieu de 6 dans la formule donne un résultat 4 fois trop grand. Première étape avant de calculer : vérifie si on te donne le rayon ou le diamètre.
Exercices corrigés
Mets en pratique tout ce que tu viens d’apprendre avec ces cinq exercices progressifs. Essaie de les résoudre seul avant de regarder la correction.
️ Exercice 1 — Aire du carré
Le préau de l’école a la forme d’un carré de 15 m de côté. Calcule l’aire du préau, puis exprime-la en dm².
Voir la correction
Étape 1 : On repère la formule → Aire du carré = côté × côté
Étape 2 : On remplace → A = 15 × 15 = 225 m²
Étape 3 : Conversion en dm² → 1 m² = 100 dm², donc 225 × 100 = 22 500 dm²
Le préau a une aire de 225 m², soit 22 500 dm².
️ Exercice 2 — Aire du rectangle et problème concret
Un jardin rectangulaire mesure 25 m de longueur et 14 m de largeur. Le propriétaire veut acheter de l’engrais. Chaque sac couvre 50 m². Combien de sacs doit-il acheter au minimum ?
Voir la correction
Étape 1 : Aire du jardin = L × l = 25 × 14 = 350 m²
Étape 2 : Nombre de sacs = 350 ÷ 50 = 7 sacs
Le propriétaire doit acheter 7 sacs d’engrais pour couvrir tout le jardin.
️ Exercice 3 — Aire du triangle avec conversion
Un panneau de signalisation triangulaire a une base de 80 cm et une hauteur de 70 cm. Calcule l’aire de ce panneau en cm², puis convertis-la en dm².
Voir la correction
Étape 1 : Formule → Aire du triangle = (base × hauteur) ÷ 2
Étape 2 : A = (80 × 70) ÷ 2 = 5 600 ÷ 2 = 2 800 cm²
Étape 3 : Conversion → 1 dm² = 100 cm², donc 2 800 ÷ 100 = 28 dm²
L’aire du panneau est de 2 800 cm², soit 28 dm².
️ Exercice 4 — Aire du disque
Une piscine ronde a un diamètre de 8 m. Calcule l’aire de la surface de l’eau. Ensuite, calcule combien de bâches carrées de 1 m² il faudrait au minimum pour couvrir toute la piscine. (Utilise π ≈ 3,14)
Voir la correction
Étape 1 : Le diamètre est de 8 m, donc le rayon est : 8 ÷ 2 = 4 m Découvre aussi le périmètre du cercle.
Étape 2 : Formule → Aire du disque = π × r × r
Étape 3 : A = 3,14 × 4 × 4 = 3,14 × 16 = 50,24 m²
Étape 4 : Nombre de bâches → 50,24 arrondi à l’entier supérieur = 51 bâches de 1 m²
La surface de l’eau est d’environ 50,24 m². Il faut au minimum 51 bâches de 1 m² pour la couvrir.
️ Exercice 5 — Problème combiné (aire composée)
Un terrain rectangulaire mesure 30 m de long et 20 m de large. Au milieu de ce terrain, on installe un bac à sable carré de 4 m de côté et une aire de jeux circulaire de 3 m de rayon. Calcule l’aire de la partie du terrain qui reste en herbe. (Utilise π ≈ 3,14)
Voir la correction
Étape 1 : Aire du terrain rectangulaire → A = 30 × 20 = 600 m²
Étape 2 : Aire du bac à sable carré → A = 4 × 4 = 16 m²
Étape 3 : Aire de l’aire de jeux circulaire → A = 3,14 × 3 × 3 = 3,14 × 9 = 28,26 m²
Étape 4 : Aire en herbe = Aire totale − Aire bac à sable − Aire de jeux
A(herbe) = 600 − 16 − 28,26 = 555,74 m²
La partie en herbe a une aire d’environ 555,74 m².
FAQ — Questions fréquentes sur les aires en CM2
Quelle est la différence entre aire et surface ?
Dans le langage courant, « aire » et « surface » désignent la même chose. En mathématiques, on utilise le mot surface pour parler de la partie plane d’une figure, et le mot aire pour parler de la mesure de cette surface (c’est-à-dire le nombre accompagné de l’unité). En résumé, la surface est l’objet géométrique, l’aire est sa mesure chiffrée. Quand tu dis « la surface de la table », tu parles de l’objet. Quand tu dis « l’aire de la table est de 3 600 cm² », tu parles de la mesure.
Pourquoi les unités d’aire ont un exposant 2 (cm², m²) ?
L’exposant 2 signifie qu’on multiplie deux longueurs entre elles. Un centimètre carré (cm²), c’est l’aire d’un carré de 1 cm de côté, donc 1 cm × 1 cm. Le « carré » dans le nom rappelle cette multiplication de deux dimensions. C’est aussi la raison pour laquelle on passe de 10 en 10 pour les longueurs, mais de 100 en 100 pour les aires : 10 × 10 = 100.
Est-ce que deux figures de même périmètre ont la même aire ?
Non, pas du tout. Un rectangle de 1 cm × 9 cm a un périmètre de 20 cm et une aire de 9 cm². Un carré de 5 cm de côté a aussi un périmètre de 20 cm, mais une aire de 25 cm². Même périmètre, aires très différentes. De la même manière, deux figures peuvent avoir la même aire avec des périmètres différents. Le périmètre et l’aire sont deux grandeurs indépendantes.
La formule du triangle fonctionne-t-elle pour tous les triangles ?
Oui, la formule (base × hauteur) ÷ 2 fonctionne pour absolument tous les triangles : rectangles, isocèles, équilatéraux, quelconques. La seule difficulté est de bien identifier la hauteur, qui doit être perpendiculaire à la base choisie. Dans certains triangles obtus, cette hauteur se situe à l’extérieur du triangle, ce qui peut être déroutant au début.
Peut-on calculer l’aire d’un losange en CM2 ?
Le losange n’est pas toujours au programme du CM2, mais sa formule est utile à connaître pour prendre de l’avance. L’aire du losange se calcule avec ses deux diagonales : A = (d1 × d2) ÷ 2, où d1 et d2 sont les longueurs des deux diagonales. Par exemple, un losange dont les diagonales mesurent 6 cm et 8 cm a une aire de (6 × 8) ÷ 2 = 24 cm². Voici aussi les unités de mesure.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
