Intersection et réunion d’intervalles : cours + méthode (2de)

Les intervalles reviennent dans presque tous les chapitres du programme de seconde : inéquations, fonctions, tableaux de signes, tableaux de variations. Malgré cette omniprésence, beaucoup d’élèves trébuchent sur le sens des crochets, confondent intersection et union, ou placent un crochet fermé du côté de l’infini. Ce cours reprend chaque notion depuis zéro, avec des tableaux récapitulatifs, la méthode graphique sur la droite graduée, le complémentaire, le lien avec les inéquations, les erreurs classiques à éviter et cinq exercices entièrement corrigés. Lis-le du début à la fin ou saute directement à la partie qui te pose problème.

Qu’est-ce qu’un intervalle ?

Un intervalle est un morceau continu de la droite des réels. Il regroupe tous les nombres compris entre deux bornes, sans aucun trou. Si tu prends deux valeurs qui appartiennent à un intervalle, alors toutes les valeurs situées entre ces deux-là y appartiennent aussi. C’est cette propriété de continuité qui distingue un intervalle d’un simple ensemble de nombres isolés.

Les quatre types d’intervalles bornés

Soit deux réels a et b avec a < b. On distingue quatre types d’intervalles selon que les bornes sont incluses ou exclues.

Sur la droite graduée, un point plein (●) signifie que la borne est incluse, un point vide (○) signifie qu’elle est exclue. Cette représentation visuelle t’aide à repérer d’un coup d’oeil le type d’intervalle.

Les intervalles non bornés (avec l’infini)

Quand un intervalle s’étend indéfiniment vers la gauche ou vers la droite, on utilise les symboles −∞ et +∞. Voici les quatre cas possibles.

L’ensemble de tous les nombres réels se note ℝ = ]−∞ ; +∞[.

Notation des intervalles : crochets et conventions

La notation française des intervalles repose sur le sens des crochets. Leur orientation te dit immédiatement si une borne fait partie de l’intervalle ou non.

Crochet fermé vs crochet ouvert

• Crochet fermé [ ou ] (tourné vers l’intérieur de l’intervalle) : la borne est incluse.
• Crochet ouvert ] ou [ (tourné vers l’extérieur de l’intervalle) : la borne est exclue.

Exemples concrets pour bien visualiser :

• [2 ; 7] → les crochets regardent vers l’intérieur → 2 et 7 sont inclus.
• ]2 ; 7[ → les crochets regardent vers l’extérieur → 2 et 7 sont exclus.
• [2 ; 7[ → le crochet gauche regarde vers l’intérieur, le droit vers l’extérieur → 2 est inclus, 7 est exclu.
• ]2 ; 7] → le crochet gauche regarde vers l’extérieur, le droit vers l’intérieur → 2 est exclu, 7 est inclus.

Convention française vs convention anglo-saxonne

Si tu consultes des ressources en anglais ou des calculatrices importées, tu peux tomber sur une notation différente. Voici la correspondance.

En France, au bac et dans les manuels, c’est toujours la convention avec les crochets qui est attendue. Les parenthèses anglo-saxonnes ne sont pas acceptées dans les copies.

La règle absolue sur l’infini

Les symboles −∞ et +∞ ne sont pas des nombres réels. On ne peut ni les atteindre ni les inclure dans un intervalle. Le crochet du côté de l’infini est donc toujours ouvert.

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur l’écriture des nombres.

• On écrit [3 ; +∞[ et jamais [3 ; +∞].
• On écrit ]−∞ ; 5] et jamais [−∞ ; 5].
• On écrit ]−∞ ; +∞[ pour désigner ℝ, et jamais [−∞ ; +∞].

Intersection d’intervalles (∩)

Méthode graphique en 3 étapes

La droite graduée est ton meilleur outil pour trouver une intersection sans te tromper. Voici comment procéder.

1. Tracer une droite graduée et y placer toutes les bornes des deux intervalles.
2. Colorier chaque intervalle avec une couleur différente (par exemple bleu pour A, rouge pour B). Utilise un trait plein pour les bornes incluses et un cercle vide pour les bornes exclues.
3. Repérer la zone coloriée deux fois (là où bleu et rouge se superposent) : c’est l’intersection A ∩ B. Pour chaque borne de cette zone, vérifie si elle est incluse dans les deux intervalles.

Exemple 1 : A = [−1 ; 5] et B = ]2 ; 8[.

Sur la droite, A couvre de −1 (inclus) à 5 (inclus) et B couvre de 2 (exclu) à 8 (exclu). La zone commune commence à 2 (exclu, car B exclut 2) et se termine à 5 (inclus, car A inclut 5 et B contient aussi 5). Donc A ∩ B = ]2 ; 5].

Exemple 2 : A = [−3 ; 1] et B = [4 ; 9].

A s’arrête à 1 et B commence à 4. Les deux intervalles ne se chevauchent pas du tout. L’intersection est vide : A ∩ B = ∅.

Exemple 3 : A = ]−∞ ; 6[ et B = [2 ; +∞[.

A contient tous les réels strictement inférieurs à 6. B contient tous les réels supérieurs ou égaux à 2. La zone commune va de 2 (inclus, car B l’inclut et A le contient) à 6 (exclu, car A l’exclut). Donc A ∩ B = [2 ; 6[.

Règles pour les bornes de l’intersection

Quand deux intervalles se chevauchent, tu peux déterminer les bornes de l’intersection sans dessin grâce à ces règles.

• La borne gauche de A ∩ B est la plus grande des deux bornes gauches (on prend le max).
• La borne droite de A ∩ B est la plus petite des deux bornes droites (on prend le min).
• Pour chaque borne, le crochet est ouvert dès qu’au moins un des deux intervalles a un crochet ouvert de ce côté. Il faut que les deux soient fermés pour que le résultat soit fermé.
• Si la borne gauche obtenue est supérieure à la borne droite, alors A ∩ B = ∅.

Union d’intervalles (∪)

Méthode graphique pour l’union

Le principe est le même que pour l’intersection, mais tu cherches cette fois la zone coloriée au moins une fois.

1. Tracer les deux intervalles sur la droite graduée avec deux couleurs différentes.
2. Repérer toute la zone coloriée (peu importe la couleur) : c’est l’union A ∪ B.

Exemple 1 : A = [1 ; 6] et B = [4 ; 10].

Les deux intervalles se chevauchent entre 4 et 6. L’union couvre tout de 1 à 10 sans interruption : A ∪ B = [1 ; 10].

Exemple 2 : A = [−2 ; 1[ et B = ]3 ; 7].

Les deux intervalles ne se touchent pas (il y a un trou entre 1 et 3). On ne peut pas les fusionner en un seul intervalle : A ∪ B = [−2 ; 1[ ∪ ]3 ; 7].

Retrouvez les détails dans notre fiche sur arrondir un nombre décimal.

Exemple 3 : A = ]−∞ ; 4] et B = [4 ; +∞[.

Les deux se touchent en 4, qui est inclus des deux côtés. Ensemble, ils couvrent la totalité de la droite réelle : A ∪ B = ]−∞ ; +∞[ = ℝ.

Règles pour les bornes de l’union

Quand deux intervalles se chevauchent ou se touchent et que l’union forme un seul intervalle :

• La borne gauche de A ∪ B est la plus petite des deux bornes gauches (on prend le min).
• La borne droite de A ∪ B est la plus grande des deux bornes droites (on prend le max).
• Pour chaque borne, le crochet est fermé dès qu’au moins un des deux intervalles a un crochet fermé de ce côté. Il suffit qu’un seul soit fermé pour que le résultat soit fermé.

Quand les deux intervalles sont disjoints (aucun chevauchement, aucun point de contact), l’union ne peut pas se simplifier et s’écrit comme une réunion de deux intervalles séparés par le symbole ∪.

Résumé : intersection vs union

Complémentaire d’un intervalle

Pour trouver le complémentaire, tu prends les deux morceaux de droite qui restent de chaque côté de l’intervalle. La règle fondamentale est simple : les crochets s’inversent. Si une borne est incluse dans I, elle est exclue du complémentaire, et inversement.

Tableau des complémentaires courants

Exemple : Le complémentaire de ]−3 ; 2] dans ℝ est ℝ \ ]−3 ; 2] = ]−∞ ; −3] ∪ ]2 ; +∞[. Le −3 était exclu de l’intervalle, donc il est inclus dans le complémentaire. Le 2 était inclus dans l’intervalle, donc il est exclu du complémentaire.

Intervalles et inéquations

Les intervalles servent à exprimer les solutions d’une inéquation. Résoudre une inéquation, c’est trouver l’intervalle (ou la réunion d’intervalles) qui contient toutes les valeurs de x vérifiant l’inégalité.

Ce thème est développé dans notre article sur les ensembles de nombres.

Passage de l’inégalité à l’intervalle

Résolution d’une inéquation du premier degré

La méthode est la même que pour une équation, avec une règle supplémentaire : quand tu multiplies ou divises par un nombre négatif, tu inverses le sens de l’inégalité.

Exemple 1 : Résoudre 2x − 6 < 4.

1. On ajoute 6 des deux côtés : 2x < 10.
2. On divise par 2 (positif, le sens ne change pas) : x < 5.
3. L’ensemble des solutions est S = ]−∞ ; 5[.

Exemple 2 : Résoudre −3x + 1 ≥ 7.

1. On soustrait 1 des deux côtés : −3x ≥ 6.
2. On divise par −3 (négatif, on inverse le sens) : x ≤ −2.
3. L’ensemble des solutions est S = ]−∞ ; −2].

Double inéquation

Certains énoncés donnent une double inéquation du type −1 ≤ 3x + 2 < 11. On isole x en appliquant les mêmes opérations aux trois membres.

1. On soustrait 2 partout : −3 ≤ 3x < 9.
2. On divise par 3 partout : −1 ≤ x < 3.
3. L’ensemble des solutions est S = [−1 ; 3[.

Cas avec coefficient négatif : Résoudre −5 < −2x + 1 ≤ 3.

1. On soustrait 1 partout : −6 < −2x ≤ 2.
2. On divise par −2 (négatif, on inverse les deux sens et on retourne la double inéquation) : −1 ≤ x < 3.
3. L’ensemble des solutions est S = [−1 ; 3[.

Erreurs fréquentes sur les intervalles

Exercices corrigés sur les intervalles

FAQ — Questions fréquentes sur les intervalles

Quelle est la différence entre un intervalle ouvert et un intervalle fermé ?

Un intervalle fermé [a ; b] inclut ses deux bornes : a et b font partie de l’ensemble. Un intervalle ouvert ]a ; b[ exclut ses deux bornes. Sur la droite graduée, un point plein (●) marque une borne incluse, un cercle vide (○) marque une borne exclue. Concrètement, 2 ∈ [2 ; 5] car le crochet fermé inclut 2, mais 2 ∉ ]2 ; 5] car le crochet ouvert l’exclut.

Pourquoi met-on toujours un crochet ouvert du côté de l’infini ?

+∞ et −∞ ne sont pas des nombres réels. Ce sont des directions sur la droite graduée : « vers la droite sans fin » ou « vers la gauche sans fin ». Puisqu’on ne peut pas atteindre l’infini, on ne peut pas l’inclure dans un intervalle. Le crochet est donc toujours ouvert (tourné vers l’extérieur) du côté de l’infini, quelle que soit la situation.

Comment savoir si on doit utiliser l’intersection ou l’union ?

Regarde le connecteur logique de l’énoncé. Si la condition utilise « et » (les deux doivent être vraies en même temps), c’est une intersection (∩). Si la condition utilise « ou » (au moins une suffit), c’est une union (∪). Par exemple, « x ≥ 2 et x < 5 » donne [2 ; 5[ (intersection), tandis que « x < 1 ou x > 6 » donne ]−∞ ; 1[ ∪ ]6 ; +∞[ (union).

L’intersection de deux intervalles peut-elle être vide ?

Oui. Quand deux intervalles n’ont aucun nombre en commun (ils ne se chevauchent pas sur la droite graduée), leur intersection est l’ensemble vide, noté ∅. Par exemple, [0 ; 2] ∩ [5 ; 8] = ∅. En revanche, [0 ; 3] ∩ [3 ; 5] = {3} (un seul point commun, mais ce n’est pas vide).

Comment passer d’une inéquation à un intervalle ?

Tu résous l’inéquation pour isoler x d’un côté. Le sens de l’inégalité te dicte le type de crochet : ≤ ou ≥ donnent un crochet fermé (la valeur est incluse), < ou > donnent un crochet ouvert (la valeur est exclue). La direction de l’inégalité indique vers où s’étend l’intervalle. Par exemple, x ≥ 3 donne [3 ; +∞[, x < −1 donne ]−∞ ; −1[, et −2 ≤ x < 4 donne directement [−2 ; 4[.

Cardia Anthony

Cardia Anthony, 35 ans, professeur des écoles passionné depuis 2014.