Te demandes-tu comment représenter les intervalles en mathématiques? Découvrons ensemble comment les nombres réels se positionnent sur une droite graduée, en explorant les intervalles ouverts et fermés et les méthodes pour calculer leurs intersections.
Qu’est-ce qu’un intervalle en mathématiques ?
En mathématiques, un intervalle est une partie de l’ensemble des nombres réels qu’on peut représenter sur un axe gradué. Les intervalles permettent de décrire un ensemble de valeurs entre deux limites. On utilise des crochets pour les noter. Par exemple, l’intervalle [2 ; 4] inclut tous les nombres x tels que 2 ≤ x ≤ 4. Les crochets droits « [ ] » indiquent que les bornes sont incluses, alors que les crochets « ( ) » signifient que les bornes ne le sont pas.
Différents types d’intervalles
Les intervalles fermés sont ceux dont les bornes sont incluses : [a ; b] signifie que l’intervalle comprend a et b.
Les intervalles ouverts, notés (a ; b), indiquent que les bornes sont excluses. Les intervalles semi-ouverts ou semi-fermés combinent une borne incluse avec une borne excluse, par exemple : [a ; b) ou (a ; b].
Astuce 😀 : Lors de l’utilisation de ces notations, pense à des parenthèses comme des ouvertures, indiquant que la borne n’est pas « fermée » ou incluse.
Intersection et union d’intervalles
Pour trouver l’intersection de deux intervalles, tu dois identifier les valeurs qui appartiennent aux deux intervalles à la fois. Imagine deux intervalles marqués sur le même axe gradué. L’intersection est la section où ils se superposent. Par exemple, pour [2 ; 5] et [3 ; 7], l’intersection est [3 ; 5].
Pour l’union d’intervalles, tu cherches à savoir quelles valeurs sont dans l’un ou l’autre intervalle, ou dans les deux. Dans l’exemple précédent, l’union serait [2 ; 7].
Exemples et exercices pratiques
Exemple 📘: Soit un rectangle avec une longueur L et une largeur ℓ. Si son périmètre est compris entre 40 et 90, l’intervalle est écrit ]40 ; 90]. En supposant que 5 < ℓ ≤ 8, l’intervalle de la largeur est ]5 ; 8].
Exercice : Détermine l’intersection des intervalles [1 ; 3] et [2 ; 4]. Quel est l’intervalle résultant ?
Pour pratiquer plus d’exercices, découvre-en davantage sur les intervalles corrigés pour la seconde.
Notations d’intervalles et conventions
Les notations d’intervalles sont une méthode claire pour exprimer des ensembles de nombres réels. Il est essentiel* de bien comprendre les différences entre les notations ouvertes et fermées. Par exemple, [a ; b] se distingue de (a ; b). Les bornes étant incluses ou exclues font toute la différence en mathématiques.
Pour t’exercer efficacement, explore ce QCM sur les intervalles en seconde.
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Exercices de maths
Voici quelques exercices pour t’entraîner. N’hésite pas, plonge dans les défis et explore les intervalles avec assurance !
Exercice sur les Intersections et Calculs d’Intervalles
Énoncé de l’exercice
🎯 Dans cet exercice, vous allez apprendre à déterminer l’intersection de deux intervalles ! Imaginez un rectangle dont la longueur est L et la largeur ℓ. Son périmètre vérifie que P ∈ ] 40 ; 90 ] et sa largeur 5 < ℓ ⩽ 8. 🔍 Question : Déterminez l’intervalle possible pour L.
Instructions
- ✍️ Représentez sur une ligne fictive les deux intervalles : celui du périmètre et celui de la largeur.
- 🔄 Appliquez la formule du périmètre pour exprimer L : P = 2(L + ℓ). (Rappel : cette étape est essentielle !)
- 📏 Calculez l’intervalle de L en termes de P et ℓ.
Correction
🔑 Étape 1 : Chercher les intervalles des valeurs possibles pour P et ℓ. Nous savons que:
P ∈ ] 40 ; 90 ] et 5 < ℓ ⩽ 8.
🎯 Étape 2 : Utiliser la formule du périmètre. Calculons L.
P = 2(L + ℓ) ⟹ L = (P/2) – ℓ
🔍 Étape 3 : Substituer les valeurs limites de ℓ :
– Pour ℓ = 5, L = (P/2) – 5
– Pour ℓ = 8, L = (P/2) – 8
🧮 Étape 4 : Calculer les limites pour L en utilisant les bornes de P :
– Si P = 40 :
Pour ℓ = 5, L = 20 – 5 = 15
Pour ℓ = 8, L = 20 – 8 = 12
– Si P = 90 :
Pour ℓ = 5, L = 45 – 5 = 40
Pour ℓ = 8, L = 45 – 8 = 37
📝 Conclusion : L’intervalle des longueurs possibles est [12, 40] quand ℓ varie entre 5 et 8.
Intersection d’Intervalles et Résolution de Problèmes
Énoncé de l’exercice
🎯 Trouvez l’intersection des deux intervalles suivants sur une droite graduée : [3 ; 7] et ]5 ; 10[. Astuce : Pensez à visualiser chaque intervalle indépendamment ! 👀
Instructions
- 🔍 Représentez chaque intervalle sur une droite graduée.
- 🧐 Identifiez la zone commune aux deux intervalles.
- ✍️ Écrivez l’intersection en utilisant la notation d’intervalle.
- ❗️N’oubliez pas que les crochets indiquent si les bornes sont incluses ou non !
Correction
📏 Pour représenter le premier intervalle [3 ; 7], nous savons qu’il inclut 3 et 7. Le second intervalle ]5 ; 10[ n’inclut pas 5 et 10, juste les nombres entre eux.
🔗 En regardant les deux intervalles, l’intersection se trouve où les numéros se chevauchent : elle commence après 5 (puisque 5 n’est pas inclus dans le second intervalle) et se termine à 7 (7 étant inclus dans le premier intervalle).
✒️ L’intersection peut donc être écrite comme : ]5 ; 7].
Analyse et Intersection des Intervalles sur ℝ
Énoncé de l’exercice
🔍 Dans cet exercice, nous allons explorer comment déterminer l’intersection de deux intervalles sur la droite des réels. L’intervalle A est défini par 3 < x ≤ 7, et l’intervalle B est défini par 5 ≤ x < 10. ✨ Astuce : Listez les propriétés de chaque intervalle. Votre tâche consiste à identifier l’intersection de ces deux intervalles. 💡
Instructions
- 🗺️ Identifiez les limites de chaque intervalle. Vous pouvez commencer par les noter dans un coin de votre cahier.
- 📏 Comparez les bornes inférieures et supérieures pour trouver où les intervalles se chevauchent.
- ✏️ Écrivez l’intervalle d’intersection en utilisant la notation correcte, par exemple [a ; b] ou ]a ; b[.
Correction
🔍 Pour l’intervalle A, nous avons : 3 < x ≤ 7. Cela signifie que l’intervalle commence juste après 3 et se termine précisément à 7.
✨ Pour l’intervalle B, nous avons : 5 ≤ x < 10. Cela signifie que l’intervalle commence précisément à 5 et se termine juste avant 10.
🧩 Pour déterminer l’intersection des deux intervalles :
💡 Nous remarquons que le chevauchement pertinent commence à la borne inférieure de l’intervalle B car 5 est inclus, et qu’il se termine à la borne supérieure de l’intervalle A car 7 est inclus.
🌟 Ainsi, l’intersection s’écrit : [5 ; 7].
🤔 Pensez à garder un œil attentif sur les limites incluses et excluses (représentées par les crochets et parenthèses) pour éviter les erreurs courantes. 😉
Te familiariser avec les intervalles en mathématiques te permet de mieux comprendre et résoudre des problèmes complexes. Les intervalles sont des outils essentiels pour explorer des concepts comme les inégalités et l’analyse de fonctions.
En pratiquant les exercices, tu te forgeras une compréhension plus profonde des propriétés des intervalles ouverts et fermés. Cette compréhension t’aidera dans toute ta scolarité où ces notions reviendront.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
