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Repères et coordonnées – 2nd

Repères et coordonnées - 2nd

Comment définis-tu un repère dans un plan? C’est simple ! Imagine trois points: O, I, et J, qui ne sont pas alignés. Ce trio constitue la base d’un repérage géométrique pour placer des points et des vecteurs.

Définition et présentation d’un repère du plan

Comment définir un repère? Pour fixer un repère dans un plan, il est nécessaire de choisir trois points qui ne sont pas alignés: O, I et J. Le point O est appelé origine du repère, tandis que les vecteurs OI et OJ définissent respectivement l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, on dit alors que le repère est orthonormé.

Pour t’assurer que tu utilises un repère orthonormé, tu peux vérifier que les unités de mesure des axes sont identiques.

Coordonnées des points dans le plan

Comment définir les coordonnées? Lorsqu’un point A est placé dans un repère (O, I, J), ses coordonnées s’écrivent sous la forme (x; y). La valeur x représente l’abscisse (sa position sur l’axe OI) et y représente l’ordonnée (sa position sur l’axe OJ). En ayant les coordonnées, tu peux facilement situer le point dans le plan cartésien.

🔎 Exemple : Si un point a pour coordonnées (3; 7), cela signifie qu’il est à 3 unités le long de l’axe x (vers la droite) et à 7 unités le long de l’axe y (vers le haut).

Calcul de la distance entre deux points

La formule pour trouver la distance entre deux points est essentielle. Si tu as deux points A (x1, y1) et B (x2, y2), la distance AB est donnée par: d(AB) = √((x2 – x1)² + (y2 – y1)²).

🧠 Astuces : Pour éviter des erreurs, pose toujours correctement les soustractions avant d’élever au carré et prends soin aux signes négatifs.

Milieu d’un segment dans un repère

Le milieu du segment reliant deux points A et B se trouve en calculant les moyennes des coordonnées respectives. Si M est le milieu du segment [AB], alors ses coordonnées sont : M ((x1 + x2)/2; (y1 + y2)/2).

🌟 Exemple : Pour les points A (3, 7) et B (-3, 1), le milieu M est ((3 – 3)/2 ; (7 + 1)/2) = (0 ; 4).

Coordonnées de vecteurs et applications pratiques

Le vecteur AB possède des coordonnées calculées comme suit : Vecteur AB = (x2 – x1 ; y2 – y1), où A (x1, y1) et B (x2, y2). Les coordonnées de ce vecteur te permettent aussi de vérifier si des vecteurs sont colinéaires ou de calculer leur longueur.

🔧 Astuces : Pour repérer la colinéarité, vérifie si le rapport des coordonnées est constant.

Comprendre les repères orthogonaux et orthonormés

Les repères orthogonaux sont ceux où les axes x et y sont perpendiculaires, tandis que les repères orthonormés sont ceux où, en plus d’être perpendiculaires, les unités de mesure sur chaque axe sont égales.

Pour en savoir plus sur le thème des repères et coordonnées et pour t’exercer, tu peux visiter notre page dédiée au mathématiques, Inimath.

Exercices de maths

Juste en bas, tu trouveras quelques exercices pour t’entraîner et mieux comprendre les repères et coordonnées.

Localiser des points dans un repère orthonormé en seconde

Énoncé de l’exercice

Tu es un explorateur cartographique en mission! 🗺️ Aide-nous à repérer des points importants dans un repère orthonormé. Voici les coordonnées de trois points : A(4, 3), B(-2, 5) et C(1, -4). 🌟

Question : Calcule la distance entre les points A et B, ainsi que la distance entre les points B et C. Utilise la formule du calcul de distance dans un plan orthonormé. 📏

Instructions

  1. 🔍 Trouve la différence en abscisse entre les points A et B.
  2. 🔍 Calcule la différence en ordonnée entre A et B.
  3. ✍️ Applique la formule de distance : dAB = √((xB−xA)² + (yB−yA)²) pour trouver dAB.
  4. 📏 Répète les étapes 1 à 3 pour les points B et C.
  5. 📃 Note tes résultats avec précision.

Correction

🔑 Pour les points A(4, 3) et B(-2, 5), calculons la distance :

1. ➖ La différence en abscisse (4 – (-2)) = 6.

2. ➖ La différence en ordonnée (3 – 5) = -2.

3. 📐 Utilisons la formule : dAB = √((6)² + (-2)²) = √(36 + 4) = √40.

4. 💡 Simplifions la racine : √40 ≈ 6,32. Soit dAB ≈ 6,32 unités de longueur.

🔑 Pour les points B(-2, 5) et C(1, -4), calculons la distance :

1. ➖ La différence en abscisse ((-2) – 1) = -3.

2. ➖ La différence en ordonnée (5 – (-4)) = 9.

3. 📐 Utilisons la formule : dBC = √((-3)² + (9)²) = √(9 + 81) = √90.

4. 💡 Simplifions la racine : √90 ≈ 9,49. Soit dBC ≈ 9,49 unités de longueur.

Calcul des coordonnées et distances dans un repère orthonormé

Énoncé de l’exercice

Tu es dans un repère orthonormé ( (O, I, J) ) 🌐. Les coordonnées des points ( A ) et ( B ) sont respectivement ( A(3, 7) ) et ( B(-3, -1) ). Ta mission est de : calculer la distance entre ces deux points 📏.

Instructions

  1. 🔢 Identifie les coordonnées des points ( A ) et ( B ).
  2. 📝 Utilise la formule de distance : si tu es bloqué, revisite tes cours sur la distance entre deux points dans un repère orthonormé.
  3. ⚙️ Calcule et note la réponse finale.

Correction

🔢 Étape 1 : Identifions les coordonnées des points. Nous avons A(3, 7) et B(-3, -1).

📝 Étape 2 : Appliquons la formule de la distance entre deux points (x1, y1) et (x2, y2) :
√((x2 – x1)² + (y2 – y1)²).

⚙️ En remplaçant les valeurs, nous obtenons :
√((-3 – 3)² + (-1 – 7)²) = √((-6)² + (-8)²).

==➡️ Nous calculons : √(36 + 64) = √(100) = 10.

La distance entre les points ( A ) et ( B ) est donc : 10 unités 🌟.

Calculer les distances et milieux dans un repère orthonormé

Énoncé de l’exercice

Dans un repère orthonormé, on vous donne les points suivants : A(3,7) et B(-3,2). 🎯 Calculer la distance entre A et B et déterminer les coordonnées du milieu du segment [AB]. ✨ Aidez-vous des formules du cours ! 📘

Instructions

  1. 📝 Utilisez la formule de la distance : La distance entre deux points (x1, y1) et (x2, y2) est donnée par √((x2 – x1)² + (y2 – y1)²).
  • Appliquez la formule aux coordonnées de A(3,7) et B(-3,2).
  • Calculez les coordonnées du milieu entre A et B.

Correction

🔍 Pour la distance entre A et B :

Identifiez les coordonnées : A(3, 7) et B(-3, 2).

Utilisez la formule : √((x2 – x1)² + (y2 – y1)²), ce qui donne :

√((-3 – 3)² + (2 – 7)²) = √((-6)² + (-5)²) = √(36 + 25) = √61.

La distance entre A et B est donc √61 unités.

🧩 Pour le milieu du segment [AB] :

Appliquez la formule : ((3 + (-3))/2, (7 + 2)/2).

Calculez les coordonnées : (0/2, 9/2) = (0, 4.5).

Les coordonnées du milieu de [AB] sont (0, 4.5).

Conclusion

Tu as maintenant en main les bases du repérage dans le plan, un outil fondamental pour comprendre la géométrie. Savoir comment définir et utiliser un repère orthonormé te permettra de résoudre des problèmes complexes avec plus d’aisance.

Utilise ces concepts pour mieux comprendre les coordonnées des points et des vecteurs et commence à appliquer ces notions aux calculs de distances et au positionnement des figures géométriques. Le chemin vers une compréhension complète est aujourd’hui plus accessible grâce à tes efforts.

Pour approfondir tes connaissances sur le sujet et découvrir d’autres leçons en mathématiques niveau seconde, visite notre site.

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