Repères et coordonnées – Cours de Maths 2nde

Les repères et coordonnees constituent un chapitre central du programme de seconde. Ce cours te permet de passer de la géométrie « a la regle et au compas » a une géométrie calculatoire, ou chaque point est defini par des nombres et ou les propriétés géométriques se demontrent par le calcul. Tu vas maitriser ici le repère orthonorme, les coordonnees d un point, le calcul du milieu d un segment, la distance entre deux points, et enfin les vecteurs et leurs coordonnees.

Le repère du plan

Définition d un repère

Un repère du plan est defini par trois points non alignes : un point O appele origine et deux points I et J. On note ce repère (O ; I, J) ou (O ; i, j) en utilisant les vecteurs i = OI et j = OJ.

L axe des abscisses est la droite (OI), orientee dans le sens de O vers I. L axe des ordonnees est la droite (OJ), orientee dans le sens de O vers J. L origine O est le point d intersection des deux axes.

Types de repères

On distingue trois types de repères :

• Repère quelconque : les vecteurs i et j n ont aucune contrainte particuliere (ni meme longueur, ni angle droit).
• Repère orthogonal : les vecteurs i et j sont perpendiculaires, mais pas necessairement de meme longueur.
• Repère orthonorme (ou orthonormal) : les vecteurs i et j sont perpendiculaires et de meme longueur (egale a 1 unite). C est le repère standard, celui que tu utiliseras le plus souvent en seconde.

Convention de notation

En seconde, sauf indication contraire, on travaille toujours dans un repère orthonorme. Les axes sont traces horizontalement (abscisses) et verticalement (ordonnees), avec des graduations regulieres de meme espacement sur les deux axes.

L axe des abscisses est souvent note (Ox) et l axe des ordonnees (Oy). On parle aussi parfois de l axe des x et de l axe des y.

Coordonnees d un point

Définition

Dans un repère (O ; i, j), tout point M du plan est repère par un unique couple de nombres reels (x ; y) appeles les coordonnees de M. Le nombre x est l abscisse de M et le nombre y est l ordonnee de M.

Concretement, si M a pour coordonnees (x ; y), cela signifie que le vecteur OM se decompose en : OM = xi + yj. On ecrit M(x ; y).

Lecture graphique des coordonnees

Pour lire les coordonnees d un point M sur un graphique :

1. Trace la parallèle a l axe des ordonnees passant par M : elle coupe l axe des abscisses en un point dont l abscisse est x.
2. Trace la parallèle a l axe des abscisses passant par M : elle coupe l axe des ordonnees en un point dont l ordonnee est y.

Dans un repère orthonorme, ces parallèles sont des perpendiculaires aux axes, ce qui simplifie la lecture.

Coordonnees et quadrants

Les deux axes divisent le plan en quatre quadrants :

• Premier quadrant (en haut a droite) : x > 0 et y > 0
• Deuxieme quadrant (en haut a gauche) : x < 0 et y > 0
• Troisieme quadrant (en bas a gauche) : x < 0 et y < 0
• Quatrieme quadrant (en bas a droite) : x > 0 et y < 0

Les points situes sur les axes ont au moins une coordonnee nulle : un point sur l axe des abscisses a une ordonnee nulle (y = 0), un point sur l axe des ordonnees a une abscisse nulle (x = 0). L origine O a pour coordonnees (0 ; 0).

Points particuliers sur les axes

Un point M(x ; 0) appartient a l axe des abscisses. Un point M(0 ; y) appartient a l axe des ordonnees. Cette propriété est fondamentale pour determiner les intersections d une courbe avec les axes.

Par exemple, la droite d équation y = 2x – 3 coupe l axe des abscisses quand y = 0, soit 2x – 3 = 0, soit x = 3/2. Le point d intersection est (3/2 ; 0). Elle coupe l axe des ordonnees quand x = 0, soit y = -3. Le point d intersection est (0 ; -3).

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur la multiplication d’un vecteur par un réel.

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A(3 ; -2) : x > 0, y < 0, donc quatrieme quadrant.

B(-1 ; 4) : x < 0, y > 0, donc deuxieme quadrant.

C(0 ; 5) : x = 0, donc C est sur l axe des ordonnees.

D(7 ; 0) : y = 0, donc D est sur l axe des abscisses.

Intersection avec l axe des abscisses (y = 0) : 3x + 1 = 0, x = -1/3. Point : (-1/3 ; 0).

Intersection avec l axe des ordonnees (x = 0) : y = 3(0) + 1 = 1. Point : (0 ; 1).

Milieu d un segment

Formule du milieu

Le milieu d un segment [AB] est le point M equidistant de A et de B, situe sur le segment [AB]. Si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors le milieu M a pour coordonnees :

x_M = (x_A + x_B) / 2 et y_M = (y_A + y_B) / 2

Les coordonnees du milieu sont les moyennes des coordonnees des extremites. Cette formule est valable dans tout repère, pas seulement dans un repère orthonorme.

Démonstration de la formule

Le milieu M de [AB] vérifié par définition : AM = MB, ce qui s ecrit vectoriellement AM = MB.

En coordonnees : (x_M – x_A ; y_M – y_A) = (x_B – x_M ; y_B – y_M).

Pour la première composante : x_M – x_A = x_B – x_M, donc 2x_M = x_A + x_B, soit x_M = (x_A + x_B)/2.

Meme raisonnement pour la seconde composante : y_M = (y_A + y_B)/2.

Trouver l autre extremite connaissant le milieu

Problème inverse : si M(x_M ; y_M) est le milieu de [AB] et que tu connais A(x_A ; y_A), tu peux trouver B.

De x_M = (x_A + x_B)/2, tu tires x_B = 2x_M – x_A. De meme, y_B = 2y_M – y_A.

Exemple : si M(3 ; 1) est le milieu de [AB] avec A(1 ; -2), alors B(2 x 3 – 1 ; 2 x 1 – (-2)) = B(5 ; 4).

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1) x_M = (4 + (-2))/2 = 2/2 = 1. y_M = (-3 + 7)/2 = 4/2 = 2. Milieu : M(1 ; 2).

2) x_D = 2 x 5 – (-1) = 10 + 1 = 11. y_D = 2 x 2 – 6 = 4 – 6 = -2. Donc D(11 ; -2).

Retrouvez les détails dans notre fiche sur les vecteurs colinéaires.

3) Dans le parallelogramme ABCD, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu. Le milieu de [AC] est : ((1+7)/2 ; (2+1)/2) = (4 ; 3/2). Ce milieu est aussi le milieu de [BD], donc : x_D = 2 x 4 – 5 = 3, y_D = 2 x 3/2 – 4 = 3 – 4 = -1. Donc D(3 ; -1).

Distance entre deux points

Formule de la distance

Dans un repère orthonorme, la distance entre deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) est donnee par :

AB = √((x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²)

Cette formule decoule directement du théorème de Pythagore. En effet, si tu traces les projections de A et B sur les axes, tu formes un triangle rectangle dont l hypotenuse est le segment [AB].

Démonstration par Pythagore

Soient A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B). On introduit le point H(x_B ; y_A), qui est la projection orthogonale de B sur la horizontale passant par A (ou la projection de A sur la verticale passant par B).

Le triangle AHB est rectangle en H. Ses cotes mesurent : AH = |x_B – x_A| (distance horizontale) et HB = |y_B – y_A| (distance verticale).

Par le théorème de Pythagore : AB² = AH² + HB² = (x_B – x_A)² + (y_B – y_A)², d ou AB = √((x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²).

Cas particuliers

Si A et B ont la meme ordonnee (y_A = y_B), la formule se simplifie : AB = |x_B – x_A|. La distance est simplement la valeur absolue de la difference des abscisses.

Si A et B ont la meme abscisse (x_A = x_B), alors AB = |y_B – y_A|.

La distance d un point A(x_A ; y_A) a l origine O(0 ; 0) est : OA = √(x_A² + y_A²).

✅ Voir la correction

1) AB = √((4-1)² + (7-3)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

2) CD = √((3-(-2))² + (-7-5)²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

3) EF = √((6-0)² + (0-0)²) = √36 = 6. EG = √((3-0)² + (4-0)²) = √(9+16) = √25 = 5. FG = √((3-6)² + (4-0)²) = √(9+16) = √25 = 5. Comme EG = FG = 5, le triangle est isocele en G.

Applications de la distance

Montrer qu un triangle est rectangle

Pour montrer qu un triangle est rectangle par le calcul, tu utilises la réciproque du théorème de Pythagore. Tu calcules les trois cotes, tu identifies le plus grand, et tu verifies si le carré du plus grand cote est egal a la somme des carrés des deux autres.

Exemple : le triangle de sommets A(1 ; 2), B(5 ; 4) et C(3 ; 6).

Ce thème est développé dans notre article sur l’addition de vecteurs.

AB² = (5-1)² + (4-2)² = 16 + 4 = 20. AC² = (3-1)² + (6-2)² = 4 + 16 = 20. BC² = (3-5)² + (6-4)² = 4 + 4 = 8.

AB² + BC² = 20 + 8 = 28 ≠ AC² = 20. AB² = AC² = 20, et AB² + BC²… Verifions : le plus grand est AB ou AC (les deux egaux a 20). AB² = 20 et AC² = 20, BC² = 8. AB² = BC² + AC² ? 20 = 8 + 20 = 28, non. BC² + AC² = 8 + 20 = 28 ≠ AB² = 20. Donc le triangle n est pas rectangle, mais il est isocele en A (AB = AC = √20).

Montrer qu un quadrilatere est un carré, un rectangle ou un losange

Pour identifier la nature d un quadrilatere ABCD, tu calcules les longueurs des quatre cotes et des deux diagonales :

• Parallelogramme : les diagonales se coupent en leur milieu (milieu de [AC] = milieu de [BD]).
• Rectangle : parallelogramme dont les diagonales sont de meme longueur (AC = BD).
• Losange : parallelogramme dont les quatre cotes sont egaux (AB = BC = CD = DA).
• Carré : rectangle et losange (quatre cotes egaux et diagonales egales).

Équation d un cercle

Un cercle de centre C(a ; b) et de rayon r est l ensemble des points M(x ; y) tels que CM = r. En elevant au carré : (x – a)² + (y – b)² = r².

Reciproquement, si tu as une équation de la forme x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, tu peux la recrire sous forme canonique pour identifier le centre et le rayon : (x – a)² + (y – b)² = a² + b² – c.

Il faut que a² + b² – c > 0 pour que le cercle existe (rayon reel strictement positif).

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1) (x – 2)² + (y – (-3))² = 5², soit (x – 2)² + (y + 3)² = 25.

2) On complete les carrés : x² – 6x + y² + 4y = 12. (x² – 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4. (x – 3)² + (y + 2)² = 25. Centre : C(3 ; -2), rayon : r = 5.

3) CA = √((5-2)² + (1-(-3))²) = √(9 + 16) = √25 = 5 = r. Donc oui, A appartient au cercle.

Vecteurs et coordonnees

Coordonnees d un vecteur

Le vecteur AB, avec A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), a pour coordonnees :

AB(x_B – x_A ; y_B – y_A)

Les coordonnees d un vecteur sont les differences des coordonnees de l extremite et de l origine. Attention a l ordre : c est « arrivee moins depart ».

Egalite de vecteurs

Deux vecteurs sont egaux si et seulement s ils ont les memes coordonnees. AB = CD signifie : x_B – x_A = x_D – x_C et y_B – y_A = y_D – y_C.

Cette propriété traduit le fait que les deux vecteurs ont meme direction, meme sens et meme longueur.

Consequence : si AB = DC, alors ABCD est un parallelogramme. En effet, les cotes [AB] et [DC] sont parallèles et de meme longueur.

Opérations sur les vecteurs en coordonnees

Soient u(x ; y) et v(x’ ; y’) deux vecteurs et k un nombre reel.

• Somme : u + v = (x + x’ ; y + y’)
• Difference : u – v = (x – x’ ; y – y’)
• Produit par un scalaire : ku = (kx ; ky)

La norme du vecteur u(x ; y) dans un repère orthonorme est : ||u|| = √(x² + y²).

Colinearite de deux vecteurs

Deux vecteurs u(x ; y) et v(x’ ; y’) sont colineaires si et seulement si le determinant est nul : xy’ – x’y = 0.

La colinearite traduit le fait que les deux vecteurs sont parallèles (meme direction). Elle est utilisee pour montrer que trois points sont alignes ou que deux droites sont parallèles.

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1) AB = (4-1 ; 7-3) = (3 ; 4). CD = (8-2 ; 11-(-1)) = (6 ; 12).

2) Determinant : 3 x 12 – 4 x 6 = 36 – 24 = 12 ≠ 0. Les vecteurs ne sont pas colineaires.

3) AB = (3 ; 4). AD = (8-1 ; 11-3) = (7 ; 8). Determinant : 3 x 8 – 4 x 7 = 24 – 28 = -4 ≠ 0. Les points A, B et D ne sont pas alignes.

Decomposition d un vecteur dans une base

Notion de base

Deux vecteurs non colineaires (i, j) forment une base du plan. Tout vecteur u du plan se decompose de maniere unique en u = xi + yj. Les nombres x et y sont les composantes de u dans la base (i, j).

Dans le repère (O ; i, j), les coordonnees d un point M coincident avec les composantes du vecteur OM dans la base (i, j).

Decomposition dans une base quelconque

Si u et v sont deux vecteurs non colineaires, tu peux decomposer tout vecteur w sous la forme w = au + bv. Pour trouver a et b, tu ecris le système d équations :

Si u(x_u ; y_u), v(x_v ; y_v) et w(x_w ; y_w), alors :

a x_u + b x_v = x_w et a y_u + b y_v = y_w

Ce système admet une unique solution car u et v ne sont pas colineaires (le determinant x_u y_v – x_v y_u ≠ 0).

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On resout le système : 2a – b = 5 et a + 3b = 7.

De la première équation : b = 2a – 5. On remplace dans la seconde : a + 3(2a – 5) = 7, soit a + 6a – 15 = 7, soit 7a = 22, soit a = 22/7.

Puis b = 2 x 22/7 – 5 = 44/7 – 35/7 = 9/7.

Vérification : 22/7 x (2 ; 1) + 9/7 x (-1 ; 3) = (44/7 – 9/7 ; 22/7 + 27/7) = (35/7 ; 49/7) = (5 ; 7). C est correct.

Résultat : w = (22/7)u + (9/7)v.

Relation de Chasles et applications

Enonce de la relation de Chasles

Pour tous points A, B et C : AB + BC = AC. Cette relation est fondamentale et permet de calculer un vecteur en passant par un point intermediaire.

En coordonnees, si tu connais AB et BC, tu peux calculer AC = AB + BC en additionnant les coordonnees.

Applications

La relation de Chasles sert a :

• Calculer un vecteur en passant par l origine : AB = AO + OB = OB – OA. Cela explique pourquoi les coordonnees de AB sont x_B – x_A et y_B – y_A.
• Decomposer un vecteur : AM = AB + BM, utile quand tu connais AB et BM mais pas AM directement.
• Demontrer des propriétés de figures : montrer que trois vecteurs forment un cycle, que des points sont alignes, etc.

Exercices de synthese

✅ Voir la correction

1) Milieu de [AC] : ((2+8)/2 ; (5+7)/2) = (5 ; 6). Milieu de [BD] : ((6+4)/2 ; (3+9)/2) = (5 ; 6). Les milieux des diagonales coincident, donc ABCD est un parallelogramme.

2) AC = √((8-2)² + (7-5)²) = √(36 + 4) = √40 = 2√10. BD = √((4-6)² + (9-3)²) = √(4 + 36) = √40 = 2√10. Les diagonales mesurent AC = BD = 2√10.

3) AC = BD, donc ABCD est un rectangle. Verifions s il est un losange : AB = √((6-2)² + (3-5)²) = √(16+4) = √20 = 2√5. BC = √((8-6)² + (7-3)²) = √(4+16) = √20 = 2√5. AB = BC, donc ABCD est aussi un losange. Rectangle et losange : ABCD est un carré.

4) Le centre est le milieu commun des diagonales : (5 ; 6).

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1) AB = (3-(-1) ; 4-2) = (4 ; 2). AC = 3AB = (12 ; 6). Donc C = A + AC = (-1+12 ; 2+6) = C(11 ; 8).

2) Le centre du cercle de diametre [AB] est le milieu M de [AB] : M((-1+3)/2 ; (2+4)/2) = M(1 ; 3). Le rayon est AB/2. AB = √(16+4) = √20 = 2√5. Rayon r = √5. L équation est : (x-1)² + (y-3)² = 5.

3) (1-1)² + (5-3)² = 0 + 4 = 4. Or r² = 5, et 4 ≠ 5. Donc D n appartient pas au cercle. Comme 4 < 5, D est a l interieur du cercle.

Les repères et coordonnees sont un outil fondamental qui te suivra tout au long du lycee et au-dela. Retiens les formules de milieu, de distance et de coordonnees d un vecteur : elles interviennent dans presque tous les exercices de géométrie analytique. La colinearite par le determinant te permet de traiter les questions d alignement et de parallelisme. Enfin, l équation du cercle relie la géométrie des figures courbes au calcul algébrique.