Qu’est-ce qu’une fonction inverse ? En Seconde, tu découvriras comment cette fonction associe à chaque nombre réel non nul son inverse, représentée par l’expression f(x) = 1/x. Prépare-toi à explorer ses propriétés fascinantes !
Définition de la fonction inverse
La fonction inverse est une notion fondamentale que tu rencontreras souvent au cours de tes études en mathématiques. Elle est représentée par la fonction ( f(x) = dfrac{1}{x} ). Cette fonction associe à chaque nombre réel non nul son inverse. En d’autres termes, si tu choisis un nombre ( x ) différent de zéro, alors l’image de ( x ) par la fonction inverse est ( dfrac{1}{x} ).
Remarque : La fonction inverse est définie sur les intervalles ( ]-infty, ;,0[ cup ]0, ;,+infty[ ) car elle n’est pas définie pour ( x = 0 ).
Propriétés de la fonction inverse
La fonction inverse présente plusieurs propriétés intéressantes. Premièrement, elle est décroissante sur les intervalles ( ]-infty, ;,0[ ) et ( ]0, ;,+infty[ ). Cela signifie que plus on s’éloigne de zéro, plus les valeurs de la fonction diminuent.
Deuxièmement, l’axe des ordonnées joue le rôle d’une asymptote verticale pour la courbe de cette fonction. Cela veut dire que plus on se rapproche de zéro, plus la courbe s’approche de l’axe des ordonnées sans jamais le toucher.
Représentation graphique et exemple
📊 La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole symétrique par rapport à l’origine du repère, c’est-à-dire le point O de coordonnées (0,0). Pour bien visualiser cela, imagine une courbe qui s’approche des axes sans jamais les toucher.
Exemple : Si tu choisis ( x = 2 ), la fonction inverse te donne ( f(2) = dfrac{1}{2} ). Faute de pouvoir utiliser des outils graphiques ici, je t’encourage à tracer toi-même ce point sur un repère.
Comment trouver le domaine de définition ?
🤔 Pour déterminer le domaine de définition de la fonction inverse, il te suffit de chercher tous les nombres réels pour lesquels la fonction est définie. Comme mentionné précédemment, la fonction inverse n’est pas définie pour ( x = 0 ).
Trouve le domaine en excluant zéro : soit ( ]-infty, ;,0[ cup ]0, ;,+infty[ ). Si cette notation te semble familière, c’est parce que c’est une façon formelle de dire que la fonction est définie partout sauf à zéro.
Applications concrètes et astuces
🔍 Une fonction inverse est souvent employée pour résoudre des situations qui mettent en jeu des relations de proportion inverse. Par exemple, si une voiture parcourt une certaine distance et qu’on augmente sa vitesse, le temps de trajet diminue – une situation inversée par rapport à la vitesse et au temps.
💡 Astuces pour mieux comprendre : essaie de manipuler des valeurs pour comprendre le fonctionnement de la fonction inverse. Par exemple, choisis ( x = 0,5 ) et observe comment ( f(x) = 2 ), et compare avec des valeurs de ( x ) plus grandes ou plus petites.
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Exercices de maths
Voici quelques exercices pour t’entraîner et renforcer ta compréhension des fonctions inverses. N’hésite pas à poser des questions !
Exercice sur la Fonction Inverse en Classe de Seconde
Énoncé de l’exercice
Voici une fonction inverse : f(x) = 1/x. 🌟 (Rappelez-vous, la fonction inverse associe à tout nombre réel non nul son inverse.) 🧐 Déterminez l’image de x par f pour les valeurs suivantes : x = -2 et x = 4. Donnez vos réponses sous forme de fractions simplifiées. ✍️
Instructions
- 🔍 Trouvez l’image de -2 par la fonction inverse (utilisez la formule f(x) = 1/x).
- 📐 Calculez l’image de 4 par la fonction inverse.
- ✒️ Simplifiez les résultats (si nécessaire, réduisez au plus simple).
Correction
🔎 Pour x = -2, nous avons : f(-2) = 1/(-2) = -1/2.
🎯 Pour x = 4, nous avons : f(4) = 1/4 = 1/4.
✅ L’image de -2 est -1/2, et l’image de 4 est 1/4. 🏆
Comprendre et tracer la fonction inverse sur deux intervalles
Énoncé de l’exercice
✨ Dans cet exercice, nous allons explorer la fonction inverse, notée f(x) = 1/x. Cette fonction peut paraître simple, mais elle recèle des propriétés fascinantes ! 🤔
Votre mission est de déterminer ses variations sur deux intervalles distincts: ]-∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[. N’oubliez pas que la courbe de la fonction inverse est une hyperbole ! 📉
Instructions
- 🔍 Identifiez l’intervalle de définition de la fonction inverse : f(x) = 1/x.
- 📊 Étudiez les variations de la fonction sur l’intervalle ]-∞ ; 0[. Une petite astuce : la fonction est décroissante sur cet intervalle !
- 🔍 Répétez l’étape précédente, mais cette fois pour l’intervalle ]0 ; +∞[. N’oubliez pas, elle est aussi décroissante ici !
- 🖋️ Rédigez une brève conclusion sur le comportement de la fonction inverse sur chacun des intervalles observés.
Correction
🧐 Pour commencer, la fonction inverse f(x) = 1/x est définie sur les domaines suivants : ]-∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[. Elle n’est pas définie en 0, car la division par zéro est impossible.
📉 Sur l’intervalle ]-∞ ; 0[, la fonction est décroissante. En effet, lorsque x diminue vers -∞, f(x) augmente en valeur absolue mais reste négative. Plus précisément, à mesure que x approche de 0 par la gauche, f(x) tend vers -∞.
📉 Sur l’intervalle ]0 ; +∞[, la fonction conserve sa décrécissance. Cette fois, en augmentant x vers +∞, f(x) diminue vers 0. A l’inverse, en rapprochant x de 0 par la droite, f(x) tend vers +∞.
📝 En conclusion, la fonction inverse est décroissante sur chacun des deux intervalles. Cela se traduit par une hyperbole ayant le centre en (0, 0) et possédant l’axe des ordonnées comme asymptote verticale.
Comprendre et Analyser la Fonction Inverse en Seconde
Énoncé de l’exercice
Fonction inverse : La fonction [ f(x) = frac{1}{x} ] est dite fonction inverse. 📚 Trouve les variations de cette fonction sur les intervalles ([-∞ ; 0[) et ([0 ; +∞[). Astuce : La courbe de la fonction inverse est appelée hyperbole et elle est symétrique par rapport à l’origine du repère. 🔍
Instructions
- 🔎 Trouve l’expression de la dérivée de la fonction f(x) = 1/x. Pense à revoir les règles de dérivation des fonctions rationnelles.
- 📈 Détermine les variations de la fonction sur les deux intervalles donnés.
- 🔍 Identifie les asymptotes de la courbe de la fonction inverse.
Correction
🔎 Pour trouver l’expression de la dérivée, on part de la fonction f(x) = 1/x. Sa dérivée est donnée par f'(x) = -1/x².
📈 Ensuite, examinons les variations de cette dérivée :
- Sur l’intervalle ([-∞ ; 0[), f'(x) = -1/x² est toujours négatif car x² est toujours positif, ce qui signifie que f(x) est décroissante sur cet intervalle.
- Sur l’intervalle ([0 ; +∞[), de la même manière, f'(x) reste négatif, donc f(x) est aussi décroissante sur cet intervalle.
🔍 Pour les asymptotes, la fonction possède une asymptote verticale à x = 0 (car la fonction n’est pas définie en zéro), et une asymptote horizontale à y = 0 car la fonction tend vers zéro quand x tend vers l’infini.
La fonction est donc décroissante sur les deux intervalles, avec une asymptote verticale en x = 0 et une asymptote horizontale en y = 0.
En travaillant avec la fonction inverse, tu développes ta compréhension des fonctions spéciales en mathématiques. Ces fonctions jouent un rôle clé dans de nombreuses applications, particulièrement en classe de seconde. La fonction inverse est une fonction particulière qui permet d’associer à chaque nombre réel non nul son inverse et possède des propriétés intéressantes telles que sa décroissance sur les intervalles considérés.
Avec sa représentation graphique par une courbe en hyperbole, tu pourras explorer visuellement comment cette fonction se comporte. De plus, la découverte des variations et des asymptotes ajoute une dimension supplémentaire à son étude, te permettant de raffiner tes compétences analytiques en mathématiques.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
