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Configurations du plan – Cours de Maths 2nde

Par Cardia Anthony / 6 novembre 2024

La géométrie du plan est au coeur du programme de seconde. Tu vas y retrouver des notions que tu as croisées au collège, mais avec un regard plus rigoureux : il faut maintenant justifier chaque affirmation, utiliser les bonnes propriétés et rédiger des démonstrations. Ce cours complet sur les configurations du plan te donne toutes les clés pour maîtriser les points alignés, les droites parallèles, sécantes et perpendiculaires, les triangles et les parallélogrammes, avec des exercices corrigés et des astuces pour éviter les pièges classiques.

Points, droites et alignement

Rappels fondamentaux

Un point se note avec une lettre majuscule (A, B, C…). Il n’a pas de dimension, c’est une position dans le plan. Une droite est un ensemble infini de points alignés, sans début ni fin. On la note entre parenthèses : (AB) désigne la droite passant par A et B.

Un segment [AB] est la portion de droite délimitée par A et B. Une demi-droite [AB) part de A et passe par B, puis se prolonge indéfiniment au-delà de B.

📐 À retenir

Par deux points distincts, il passe une seule droite. C’est un axiome fondamental de la géométrie du plan.

Trois points sont dits alignés si et seulement si ils appartiennent tous les trois à une même droite.

Démontrer que trois points sont alignés

Pour prouver que trois points A, B et C sont alignés, tu as plusieurs méthodes à ta disposition :

Par le calcul vectoriel : montre que les vecteurs AB et AC sont colinéaires, c’est-à-dire qu’il existe un réel k tel que AC = k × AB.
Par les coordonnées : vérifie que le déterminant de (AB, AC) est nul. Si xAB × yAC − yAB × xAC = 0, alors les points sont alignés.
Par une propriété géométrique : par exemple, si C appartient à la droite (AB), alors A, B et C sont alignés par définition.

✏️ Exercice

Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ; 3), B(4 ; 9) et C(−1 ; −1). Les points A, B et C sont-ils alignés ?

✅ Voir la correction

Calculons les vecteurs AB et AC.

AB = (4 − 1 ; 9 − 3) = (3 ; 6)

AC = (−1 − 1 ; −1 − 3) = (−2 ; −4)

Calculons le déterminant : det(AB, AC) = 3 × (−4) − 6 × (−2) = −12 + 12 = 0.

Le déterminant est nul, donc les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Les points A, B et C sont bien alignés.

⚠️ Erreur fréquente

Ne confonds pas « appartenir à une droite » et « être aligné ». Deux points sont toujours alignés (puisqu’on peut tracer une droite passant par eux). La question de l’alignement ne se pose qu’à partir de trois points.

Droites parallèles et droites sécantes

Définitions

Deux droites du plan sont dans l’une de ces trois situations :

Sécantes : elles se coupent en exactement un point. Ce point est leur point d’intersection.
Parallèles : elles ne se coupent jamais (elles n’ont aucun point commun), ou bien elles sont confondues.
Confondues : elles ont tous leurs points en commun. C’est un cas particulier de droites parallèles.

📐 À retenir

Deux droites (d) et (d’) sont parallèles (noté (d) // (d’)) si et seulement si elles ont le même vecteur directeur (à un coefficient multiplicatif près), c’est-à-dire si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Deux droites sont sécantes si et seulement si leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.

Démontrer le parallélisme avec les coordonnées

En repère, chaque droite possède une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0. Le vecteur directeur de cette droite est (-b ; a) et un vecteur normal est (a ; b).

Pour approfondir ce sujet, consultez notre cours sur le triangle isocèle.

Pour montrer que deux droites sont parallèles, tu peux :

Vérifier que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Vérifier que leurs coefficients directeurs sont égaux (si les droites ne sont pas verticales) : si (d) : y = mx + p et (d’) : y = m’x + p’, alors (d) // (d’) si et seulement si m = m’.

✏️ Exercice

On donne les droites (d₁) : 2x − 3y + 5 = 0 et (d₂) : 4x − 6y − 1 = 0. Ces droites sont-elles parallèles, sécantes ou confondues ?

✅ Voir la correction

Vecteur directeur de (d₁) : u₁ = (3 ; 2) (on prend (-b ; a) avec a=2, b=-3).

Vecteur directeur de (d₂) : u₂ = (6 ; 4) (avec a=4, b=-6).

On remarque que u₂ = 2 × u₁, donc les vecteurs directeurs sont colinéaires : les droites sont parallèles.

Sont-elles confondues ? Prenons un point de (d₁) : pour x = −1, on a 2(−1) − 3y + 5 = 0, donc −3y + 3 = 0, soit y = 1. Le point (−1 ; 1) est sur (d₁).

Vérifions s’il est sur (d₂) : 4(−1) − 6(1) − 1 = −4 − 6 − 1 = −11 ≠ 0. Donc (−1 ; 1) n’est pas sur (d₂).

Les droites sont parallèles et distinctes (non confondues).

Droites perpendiculaires

Définition et caractérisation

Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit (90°). On note (d) ⊥ (d’).

📐 À retenir

Deux droites de vecteurs directeurs u(a ; b) et u'(a’ ; b’) sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul :

a × a’ + b × b’ = 0

Si les droites ont pour coefficients directeurs m et m’, alors elles sont perpendiculaires si et seulement si m × m’ = −1.

Cette propriété est fondamentale. Elle te permet de vérifier la perpendicularité sans tracer de figure, simplement en calculant.

✏️ Exercice

La droite (d₁) a pour équation y = 3x − 2. La droite (d₂) passe par les points E(1 ; 5) et F(4 ; 4). Les droites (d₁) et (d₂) sont-elles perpendiculaires ?

✅ Voir la correction

Le coefficient directeur de (d₁) est m₁ = 3.

Calculons le coefficient directeur de (d₂) : m₂ = (4 − 5) / (4 − 1) = −1/3.

Vérifions le produit : m₁ × m₂ = 3 × (−1/3) = −1.

Le produit des coefficients directeurs vaut −1, donc les droites sont bien perpendiculaires.

Propriétés classiques à connaître

Voici les propriétés qui reviennent le plus souvent en exercice et qu’il faut savoir mobiliser dans tes raisonnements :

Retrouvez les détails dans notre fiche sur le radian, les degrés et le cercle.

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Si une droite est perpendiculaire à l’une de deux droites parallèles, alors elle est perpendiculaire à l’autre.
Par un point donné, il passe une unique droite perpendiculaire à une droite donnée.
Par un point donné, il passe une unique droite parallèle à une droite donnée.

💡 Astuce

Pour retenir la condition de perpendicularité m × m’ = −1, pense que les deux coefficients directeurs sont « opposés inversés » l’un de l’autre. Si l’un vaut 2, l’autre vaut −1/2. Si l’un vaut −4, l’autre vaut 1/4.

Le triangle : propriétés fondamentales

Somme des angles d’un triangle

Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles intérieurs vaut 180°. Cette propriété est absolument essentielle : tu l’utiliseras dans presque tous les exercices de géométrie.

📐 À retenir

Dans un triangle ABC :

Angle A + Angle B + Angle C = 180°

Si tu connais deux angles, tu déduis le troisième par soustraction.

Les droites remarquables du triangle

Chaque triangle possède quatre familles de droites remarquables. Pour chacune, les trois droites d’une même famille se coupent en un même point (on dit qu’elles sont concourantes).

1. Les médiatrices

La médiatrice d’un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] passant par son milieu. Elle est caractérisée par une propriété fondamentale : tout point de la médiatrice de [AB] est équidistant de A et de B.

Les trois médiatrices d’un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit (noté O). Ce point est équidistant des trois sommets : OA = OB = OC = R (rayon du cercle circonscrit).

2. Les médianes

La médiane issue de A dans le triangle ABC est le segment [AM] où M est le milieu de [BC]. Les trois médianes se coupent au centre de gravité (noté G). Ce point partage chaque médiane dans le rapport 2/3 depuis le sommet : AG = (2/3) × AM.

3. Les hauteurs

La hauteur issue de A est la droite passant par A et perpendiculaire à (BC). Les trois hauteurs se coupent en un point appelé orthocentre (noté H).

4. Les bissectrices

La bissectrice de l’angle A est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Les trois bissectrices se coupent au centre du cercle inscrit (noté I). Ce point est équidistant des trois côtés du triangle.

💡 Astuce

Pour retenir le point de concours de chaque famille, utilise ce moyen mnémotechnique : Médiatrice → cercle circonScrit (dehors), Médiane → centre de Gravité, Hauteur → orthoCentre (le H de Hauteur rappelle le H de ortHocentre), Bissectrice → cercle Inscrit (dedans).

Triangles particuliers

Certains triangles possèdent des propriétés spécifiques qu’il faut savoir reconnaître et utiliser :

Ce thème est développé dans notre article sur les triangles semblables.

Triangle isocèle : deux côtés de même longueur. Les angles à la base sont égaux. La médiane, la hauteur et la médiatrice issues du sommet principal sont confondues.
Triangle équilatéral : trois côtés de même longueur. Les trois angles mesurent 60°. Toutes les droites remarquables se confondent : le centre de gravité, l’orthocentre, le centre du cercle inscrit et le centre du cercle circonscrit sont le même point.
Triangle rectangle : un angle droit. L’hypoténuse est le plus grand côté. Le théorème de Pythagore s’y applique. Le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.

✏️ Exercice

Le triangle RST a pour sommets R(0 ; 4), S(6 ; 0) et T(0 ; 0). Démontre que ce triangle est rectangle et détermine les coordonnées du centre de son cercle circonscrit.

✅ Voir la correction

Étape 1 : montrer que le triangle est rectangle.

Calculons les vecteurs TR et TS.

TR = (0 − 0 ; 4 − 0) = (0 ; 4)

TS = (6 − 0 ; 0 − 0) = (6 ; 0)

Produit scalaire : TR · TS = 0 × 6 + 4 × 0 = 0.

Le produit scalaire est nul, donc TR ⊥ TS. Le triangle RST est rectangle en T.

Étape 2 : centre du cercle circonscrit.

Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse [RS].

Milieu de [RS] = ((0 + 6)/2 ; (4 + 0)/2) = (3 ; 2).

Le centre du cercle circonscrit est le point de coordonnées (3 ; 2).

Le parallélogramme

Définition et caractérisations

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. C’est la figure centrale des exercices de géométrie en seconde, car elle concentre de nombreuses propriétés utiles.

📐 À retenir

ABCD est un parallélogramme si et seulement si l’une des conditions suivantes est vérifiée :

1. Les côtés opposés sont parallèles : (AB) // (DC) et (AD) // (BC).

2. Les côtés opposés sont de même longueur : AB = DC et AD = BC.

3. Les diagonales se coupent en leur milieu.

4. Deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

5. En termes de vecteurs : AB = DC (égalité vectorielle).

La caractérisation vectorielle est la plus utilisée en seconde. Retiens que ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = DC, ce qui signifie que les vecteurs AB et DC ont les mêmes coordonnées.

Propriétés du parallélogramme

Quand tu sais qu’une figure est un parallélogramme, tu peux en déduire plusieurs propriétés :

Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
Les angles opposés sont égaux.
Les angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme vaut 180°).
Les diagonales se coupent en leur milieu. Ce point est le centre de symétrie du parallélogramme.

⚠️ Erreur fréquente

Voir aussi : la médiatrice et ses propriétés pour compléter vos connaissances.

Attention à l’ordre des lettres. ABCD est un parallélogramme signifie que les sommets se suivent dans cet ordre. Si tu écris ABDC, ce n’est pas le même quadrilatère et les côtés opposés changent. Assure-toi toujours de bien nommer les sommets dans l’ordre de parcours.

Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

C’est l’un des exercices les plus classiques en seconde. La méthode la plus directe utilise les vecteurs.

✏️ Exercice

Dans un repère, on donne A(1 ; 2), B(4 ; 3), C(5 ; 6) et D(2 ; 5). Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ?

✅ Voir la correction

Calculons les vecteurs AB et DC.

AB = (4 − 1 ; 3 − 2) = (3 ; 1)

DC = (5 − 2 ; 6 − 5) = (3 ; 1)

On constate que AB = DC (mêmes coordonnées). Donc ABCD est bien un parallélogramme.

Vérification par les diagonales : Milieu de [AC] = ((1+5)/2 ; (2+6)/2) = (3 ; 4). Milieu de [BD] = ((4+2)/2 ; (3+5)/2) = (3 ; 4). Les diagonales ont le même milieu, ce qui confirme le résultat.

Parallélogrammes particuliers

Certains parallélogrammes possèdent des propriétés supplémentaires qui les distinguent :

Rectangle : parallélogramme ayant un angle droit (donc les quatre angles droits). Ses diagonales sont de même longueur.
Losange : parallélogramme ayant quatre côtés de même longueur. Ses diagonales sont perpendiculaires.
Carré : parallélogramme qui est à la fois rectangle et losange. Ses diagonales sont de même longueur et perpendiculaires.

📐 À retenir

Pour prouver qu’un parallélogramme est un rectangle, montre qu’il possède un angle droit ou que ses diagonales sont de même longueur.

Pour prouver qu’un parallélogramme est un losange, montre que deux côtés consécutifs sont de même longueur ou que ses diagonales sont perpendiculaires.

Pour prouver qu’un parallélogramme est un carré, montre qu’il est à la fois rectangle et losange.

Le milieu d’un segment et le théorème des milieux

Coordonnées du milieu

Le milieu M du segment [AB] avec A(xA ; yA) et B(xB ; yB) a pour coordonnées :

📐 À retenir

M = ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2)

Le milieu est la « moyenne » des coordonnées des deux extrémités.

Théorème des milieux

Ce théorème est un outil puissant pour les démonstrations dans les triangles.

📐 À retenir

Théorème des milieux (sens direct) : Dans un triangle, si un segment joint les milieux de deux côtés, alors ce segment est parallèle au troisième côté et sa longueur vaut la moitié de celle du troisième côté.

Réciproque : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté.

✏️ Exercice

Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. On donne A(0 ; 6), B(8 ; 0) et C(4 ; 0). Calcule les coordonnées de M et N, puis vérifie que MN = BC/2.

Nous vous conseillons également notre cours sur les transformations du plan.

✅ Voir la correction

Coordonnées de M (milieu de [AB]) : M = ((0+8)/2 ; (6+0)/2) = (4 ; 3)

Coordonnées de N (milieu de [AC]) : N = ((0+4)/2 ; (6+0)/2) = (2 ; 3)

Calcul de MN : MN = √((4−2)² + (3−3)²) = √(4 + 0) = 2

Calcul de BC : BC = √((8−4)² + (0−0)²) = √(16) = 4

On vérifie bien que MN = 2 = 4/2 = BC/2. Le théorème des milieux est confirmé.

De plus, le vecteur MN = (−2 ; 0) et le vecteur BC = (−4 ; 0). On a MN = (1/2) × BC, ce qui montre que (MN) // (BC).

Synthèse : rédiger une démonstration en géométrie

En seconde, le plus important n’est pas seulement de connaître les propriétés, mais de savoir les utiliser dans une démonstration structurée. Voici la démarche à suivre systématiquement :

Identifier ce qu’on veut montrer : parallélisme, perpendicularité, nature d’un quadrilatère, alignement, etc.
Choisir la méthode adaptée : vecteurs, coordonnées, propriétés géométriques.
Rédiger avec les mots-clés : « or », « donc », « d’après le théorème de… », « on en déduit que… ».
Conclure explicitement : reformule ce que tu viens de démontrer en une phrase claire.

💡 Astuce

Commence toujours par faire une figure claire, même si ce n’est pas demandé. Une bonne figure te permet de repérer les propriétés utiles et d’éviter les erreurs de raisonnement. Place les points, trace les droites, et repère visuellement les parallélismes ou les angles droits avant de te lancer dans les calculs.

✏️ Exercice de synthèse

On donne A(−2 ; 1), B(4 ; 3), C(6 ; 7) et D(0 ; 5). Démontre que ABCD est un parallélogramme, puis détermine sa nature exacte (rectangle, losange ou carré).

✅ Voir la correction

Étape 1 : montrer que ABCD est un parallélogramme.

AB = (4−(−2) ; 3−1) = (6 ; 2)

DC = (6−0 ; 7−5) = (6 ; 2)

AB = DC, donc ABCD est un parallélogramme.

Étape 2 : est-ce un rectangle ?

Calculons AB · AD (produit scalaire) pour vérifier si l’angle en A est droit.

AD = (0−(−2) ; 5−1) = (2 ; 4)

AB · AD = 6 × 2 + 2 × 4 = 12 + 8 = 20 ≠ 0

L’angle en A n’est pas droit, donc ABCD n’est pas un rectangle.

Étape 3 : est-ce un losange ?

AB = √(6² + 2²) = √(36 + 4) = √40 = 2√10

AD = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5

AB ≠ AD, donc les côtés consécutifs ne sont pas de même longueur. ABCD n’est pas un losange.

ABCD est donc un parallélogramme « quelconque » (ni rectangle, ni losange, ni carré).

⚠️ Erreur fréquente

Ne conclus jamais qu’un quadrilatère est un losange juste parce que « ça a l’air d’en être un » sur la figure. En maths, seul le calcul fait foi. De même, ne confonds pas « les diagonales sont de même longueur » (rectangle) et « les diagonales sont perpendiculaires » (losange) : ce sont deux propriétés distinctes.

Tu maîtrises maintenant les fondamentaux des configurations du plan en seconde. L’essentiel est de savoir reconnaître les figures, choisir la bonne caractérisation et rédiger proprement. Entraîne-toi régulièrement avec des exercices variés pour développer tes réflexes de raisonnement géométrique.

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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.

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