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Symétrie centrale: Les propriétés – 5ème

Symétrie centrale : Les propriétés - 5ème

Comment rendre une figure identique mais inversée à travers un point? Avec la symétrie centrale, tu découvres que ce point devient le centre de symétrie, conservant les longueurs et les angles.

Introduction à la symétrie centrale

La symétrie centrale est une transformation géométrique qui permet de déterminer le symétrique d’une figure par rapport à un point précis, appelé centre de symétrie. Tout élément de la figure originelle a son symétrique à une distance égale de ce point, mais dans la direction opposée. Ce concept simplifie la compréhension de propriétés géométriques importantes.

Propriétés de la symétrie centrale

La symétrie centrale conserve plusieurs propriétés de la géométrie. D’abord, elle conserve les longueurs. Donc, le symétrique d’un segment par rapport à un point sera un segment de même longueur. Cela signifie que les distances ne sont pas altérées par la symétrie.

Ensuite, la symétrie centrale garantit l’alignement des points. Autrement dit, si trois points sont alignés sur une figure initiale, ils resteront alignés sur la figure symétrique.

📏 Astuce : Pour te souvenir que la symétrie centrale ne change pas les longueurs, imagine une règle qui mesure toujours la même distance, même si elle est inversée par un miroir.

Conservation des angles et aires

Une des propriétés charnues de la symétrie centrale est qu’elle conserve les mesures des angles, ainsi que les aires des figures. Cela signifie que si tu as un triangle avec des angles de 30°, 60° et 90°, le triangle symétrique aura exactement les mêmes angles. Les aires restent également inchangées, ce qui est bien pratique pour les calculs géométriques.

🤓 Exemple : Dessine un carré. Rappelle-toi qu’un carré est sa propre image par la symétrie centrale ; tous les côtés resteront de même taille, et ses angles à 90° resteront intacts.

Symétrie et parallélisme

Une propriété plus mathématique est que la symétrie centrale conserve le parallélisme. Cela veut dire que deux droites parallèles resteront parallèles après avoir subi une symétrie par rapport à un point. Cette propriété est bien quand on travaille avec des figures géométriques complexes.

📏 Astuce : En ajustant deux droites parallèles sur une feuille, teste leur symétrie par rapport à un point pour t’assurer qu’elles restent toujours parallèles !

Centre de symétrie d’une figure

Si une figure est son propre symétrique par rapport à un point, alors ce point est appelé le centre de symétrie de la figure. Un exemple courant pourrait être un cercle: chaque point du cercle est symétrique par rapport à son centre.

🤔 Exemple : Pense à un cerf-volant, souvent les cercles et les carrés sur ces jouets ont un centre de symétrie.

Aller plus loin

Pour découvrir plus en profondeur ce sujet de la symétrie centrale et des exercices pratiques, regarde les ressources en cliquant sur ce lien : Exercices et explications détaillées sur la symétrie centrale.

Exercices de maths

Voici quelques exercices pour que tu puisses t’entraîner et maîtriser la notion de symétrie centrale.

Exercice sur la symétrie centrale et ses propriétés

Énoncé de l’exercice

Dans le plan, soient les points A et B tels que le segment [AB] ait pour milieu le point O.
Trouvez les coordonnées du symétrique du point A par rapport au point O.
📝 Astuce : Souvenez-vous que si un segment a pour milieu O, alors les extrémités de ce segment sont symétriques par rapport à O.

Instructions

  1. 📍 Identifiez les coordonnées du point O. Assurez-vous d’avoir la bonne formule pour le milieu d’un segment !
  2. 🔎 Utilisez les coordonnées du point O pour déterminer les coordonnées symétriques du point A.
  3. 💡 Souvenez-vous que le symétrique d’un point conserve les mêmes propriétés de distance par rapport au point O.

Correction

📝 Pour déterminer les coordonnées du point O, nous savons qu’il est le milieu de [AB]. Donc, si A(x1, y1) et B(x2, y2), alors O a pour coordonnées : (xO, yO) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2).

🔄 Ensuite, pour trouver le symétrique de A par rapport à O, nous utilisons le fait que O est le milieu. Ainsi, si A’ est le symétrique de A, alors : xA’ = 2xO – x1 et yA’ = 2yO – y1.

✅ En appliquant ces calculs avec les coordonnées spécifiques de A et O, nous trouvons que les coordonnées de A’ sont : (xA’, yA’).

Conclusion

En découvrant la symétrie centrale, tu as découvert une transformation qui conserve les longueurs, le parallélisme, et l’alignement des points. Cela veut dire que, même déplacées par rapport à un point spécifique, ces propriétés restent inchangées.

Il y a aussi la conservation des mesures d’angles et des aires. Imagine une figure être son propre symétrique grâce à un centre de symétrie, stabilisant ainsi ses proportions et formes.

Si tu veux approfondir tes connaissances ou t’exercer davantage, n’hésite pas à suivre ce lien pour accéder à plus de ressources.

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