La distributivite est l’une des notions centrales du programme de 5eme en mathematiques. Elle te permet de developper et de factoriser des expressions, de simplifier des calculs et de preparer le terrain pour les équations. Pourtant, entre le signe moins devant une parenthese, la double distributivite et les confusions entre developper et factoriser, les pieges sont nombreux. Cet article te guide pas a pas, avec des exemples concrets, des astuces de calcul et des exercices corriges pour que la distributivite n’ait plus aucun secret pour toi.
Rappel : la distributivite simple k(a + b)
La distributivite simple est la regle de base. Elle permet de transformer un produit en somme (on developpe) ou une somme en produit (on factorise). Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les opérations sans parenthèses.
A retenir
Distributivite de la multiplication par rapport a l’addition :
k × (a + b) = k × a + k × b
Distributivite de la multiplication par rapport a la soustraction :
k × (a − b) = k × a − k × b
Le facteur k multiplie chaque terme a l’interieur de la parenthese.
Exemples de développement
Exemple 1 : 3(x + 5) = 3 × x + 3 × 5 = 3x + 15
Exemple 2 : 7(2a − 4) = 7 × 2a − 7 × 4 = 14a − 28
Exemple 3 : 5(3x + 2y − 1) = 15x + 10y − 5
Astuce
Pour vérifier ton développement, tu peux remplacer la variable par un nombre. Par exemple, pour 3(x + 5) = 3x + 15, prends x = 2 : a gauche, 3(2 + 5) = 3 × 7 = 21. A droite, 3 × 2 + 15 = 6 + 15 = 21. Les deux cotes sont egaux, c’est bon.
Application au calcul mental
La distributivite simplifie aussi le calcul mental. Pour calculer 7 × 98 :
7 × 98 = 7 × (100 − 2) = 700 − 14 = 686
Pour calculer 12 × 53 :
12 × 53 = 12 × (50 + 3) = 600 + 36 = 636
Developper avec parentheses
Developper une expression, c’est supprimer les parentheses en utilisant la distributivite. Quand une expression contient plusieurs termes avec des parentheses, on developpe chaque partie separement, puis on reduit (on regroupe les termes semblables). Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les expressions littérales.
Méthode
- Repère chaque produit a developper.
- Applique la distributivite a chaque parenthese.
- Regroupe les termes semblables (les termes en x ensemble, les termes en x² ensemble, les constantes ensemble).
Exemple : Developpe et reduis A = 3(2x + 4) + 5(x − 1).
A = 3 × 2x + 3 × 4 + 5 × x + 5 × (−1)
A = 6x + 12 + 5x − 5
A = 6x + 5x + 12 − 5
A = 11x + 7
Exemple : Developpe et reduis B = 2(3a − 7) − 4(a + 2).
B = 6a − 14 − 4a − 8
B = 6a − 4a − 14 − 8
B = 2a − 22
️ Erreur frequente
Oublier de distribuer le signe − dans le deuxieme terme. Dans B = 2(3a − 7) − 4(a + 2), le −4 multiplie tout le contenu de la parenthese : −4 × a = −4a et −4 × 2 = −8. Beaucoup d’eleves ecrivent −4a + 8 au lieu de −4a − 8.
Facteur commun et factorisation
Factoriser, c’est l’opération inverse du développement. On transforme une somme (ou une difference) en un produit, en mettant en evidence un facteur commun.
A retenir
Factoriser : k × a + k × b = k(a + b)
On repère le facteur commun k, puis on le « met devant la parenthese ». A l’interieur de la parenthese, on ecrit ce qui reste de chaque terme apres avoir divise par k. Pour aller plus loin, consultez notre cours sur les écritures fractionnaires.
Comment trouver le facteur commun
- Decompose chaque terme pour faire apparaitre les facteurs.
- Identifie le ou les facteurs presents dans tous les termes.
- Le facteur commun est le produit de ces facteurs communs (avec le plus petit exposant pour chacun).
Exemple 1 : Factorise 12x + 18.
12x = 6 × 2x et 18 = 6 × 3. Le facteur commun est 6.
12x + 18 = 6(2x + 3)
Exemple 2 : Factorise 15a² − 10a.
15a² = 5a × 3a et 10a = 5a × 2. Le facteur commun est 5a.
15a² − 10a = 5a(3a − 2)
Exemple 3 : Factorise 8x²y + 12xy² − 4xy.
Le facteur commun est 4xy.
8x²y + 12xy² − 4xy = 4xy(2x + 3y − 1)
Astuce
Pour vérifier ta factorisation, il suffit de redevelopper. Si tu retrouves l’expression de depart, c’est que ta factorisation est correcte. C’est un controle rapide et imparable.
Double distributivite (a + b)(c + d)
Quand tu multiplies deux expressions entre parentheses, chaque terme de la première parenthese doit multiplier chaque terme de la seconde. C’est la double distributivite.
A retenir
Double distributivite :
(a + b)(c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d
On obtient quatre termes. Il faut ensuite reduire en regroupant les termes semblables.
Exemple 1 : Developpe (x + 3)(x + 5).
= x × x + x × 5 + 3 × x + 3 × 5
= x² + 5x + 3x + 15
= x² + 8x + 15
Exemple 2 : Developpe (2x − 1)(3x + 4).
= 2x × 3x + 2x × 4 + (−1) × 3x + (−1) × 4
= 6x² + 8x − 3x − 4
= 6x² + 5x − 4
Exemple 3 : Developpe (a − 3)(a − 7).
= a × a + a × (−7) + (−3) × a + (−3) × (−7)
= a² − 7a − 3a + 21
= a² − 10a + 21
️ Erreur frequente
Oublier un des quatre produits dans la double distributivite. Un moyen pour ne rien oublier : utilise la méthode des fleches. Trace une fleche du premier terme de la première parenthese vers chaque terme de la seconde, puis fais pareil avec le second terme de la première parenthese. Tu obtiens bien quatre fleches = quatre produits.
Le signe − devant les parentheses
Un signe − devant une parenthese revient a multiplier chaque terme de la parenthese par −1. C’est l’une des sources d’erreurs les plus frequentes.
A retenir
Signe + devant la parenthese : on supprime simplement la parenthese.
+(a + b − c) = a + b − c
Signe − devant la parenthese : on change le signe de chaque terme.
−(a + b − c) = −a − b + c
Exemple 1 : Simplifie 8x − (3x + 5).
= 8x − 3x − 5
= 5x − 5
Exemple 2 : Simplifie 4a + 7 − (2a − 3 + b).
= 4a + 7 − 2a + 3 − b
= 2a + 10 − b
Exemple 3 : Simplifie 10 − (6 − (2x + 1)).
On commence par la parenthese interieure :
= 10 − (6 − 2x − 1)
= 10 − (5 − 2x)
= 10 − 5 + 2x
= 5 + 2x
️ Erreur frequente
Ne changer le signe que du premier terme. Quand tu ecris −(3x + 5), certains ecrivent −3x + 5 au lieu de −3x − 5. Le signe moins s’applique a tous les termes de la parenthese, pas seulement au premier.
Tableau : developper vs factoriser
| Opération | Principe | Sens | Exemple |
|---|---|---|---|
| Developper | Supprimer les parentheses | Produit → Somme | 3(x + 2) = 3x + 6 |
| Factoriser | Mettre en evidence un facteur commun | Somme → Produit | 3x + 6 = 3(x + 2) |
| Reduire | Regrouper les termes semblables | Simplification | 5x + 3x = 8x |
Astuce
Pour savoir si on te demande de developper ou de factoriser, regarde la forme de l’expression. Si elle contient des parentheses multipliees, on te demande probablement de developper. Si c’est une somme de termes, on te demande probablement de factoriser. Lis bien l’enonce pour ne pas faire l’opération inverse de ce qui est demande.
Erreurs frequentes
️ Erreur frequente
Ecrire (x + 3)² = x² + 9. C’est faux. (x + 3)² = (x + 3)(x + 3) = x² + 3x + 3x + 9 = x² + 6x + 9. On oublie souvent le double produit 2 × x × 3 = 6x. Cette erreur est l’une des plus repandues, et elle persistera jusqu’au lycee si tu ne la corriges pas maintenant.
️ Erreur frequente
Confondre 2x et x². Le terme 2x signifie « 2 fois x » (addition repetee). Le terme x² signifie « x multiplie par lui-meme ». Ce ne sont pas du tout les memes expressions : pour x = 5, 2x = 10 alors que x² = 25.
️ Erreur frequente
Ne pas factoriser au maximum. Pour 12x + 6, ecrire 2(6x + 3) est une factorisation, mais elle n’est pas complete. Le facteur commun maximal est 6 : 12x + 6 = 6(2x + 1). Quand on te demande de factoriser, cherche toujours le plus grand facteur commun.
️ Erreur frequente
Ajouter des termes de natures differentes. Tu ne peux pas additionner 3x et 5 pour obtenir 8x. Le terme 3x contient la variable x, le terme 5 est une constante. Ils ne sont pas « semblables ». L’expression 3x + 5 est deja reduite.
Exercices corriges
️ Exercice 1
Developpe et reduis : A = 4(3x − 2) + 5(x + 6)
Voir la correction
A = 4 × 3x + 4 × (−2) + 5 × x + 5 × 6
A = 12x − 8 + 5x + 30
A = 12x + 5x − 8 + 30
A = 17x + 22
️ Exercice 2
Developpe et reduis : B = 3(2x + 1) − 2(4x − 5)
Voir la correction
B = 6x + 3 − 8x + 10
B = 6x − 8x + 3 + 10
B = −2x + 13
Attention au signe : −2 × (−5) = +10.
️ Exercice 3
Factorise : C = 14x − 21
Voir la correction
14x = 7 × 2x et 21 = 7 × 3.
Le facteur commun est 7.
C = 7(2x − 3)
Vérification : 7 × 2x − 7 × 3 = 14x − 21. Correct.
️ Exercice 4
Developpe et reduis : D = (x + 4)(x − 3)
Voir la correction
D = x × x + x × (−3) + 4 × x + 4 × (−3)
D = x² − 3x + 4x − 12
D = x² + x − 12
️ Exercice 5
Simplifie : E = 7x − (3x − 8) + 2(x + 1)
Voir la correction
E = 7x − 3x + 8 + 2x + 2
Attention : −(3x − 8) = −3x + 8 (on change les deux signes).
E = 7x − 3x + 2x + 8 + 2
E = 6x + 10
On peut meme factoriser : E = 2(3x + 5).
FAQ
Quelle est la difference entre developper et factoriser ?
Developper, c’est supprimer les parentheses en distribuant la multiplication. On passe d’un produit a une somme. Factoriser, c’est l’inverse : on met en evidence un facteur commun pour passer d’une somme a un produit. Les deux opérations sont complémentaires.
A quoi sert la distributivite dans la vie courante ?
La distributivite sert au calcul mental. Par exemple, pour calculer 15 × 12, tu peux decomposer : 15 × 12 = 15 × 10 + 15 × 2 = 150 + 30 = 180. Elle sert aussi dans les problèmes de périmètre, d’aire, de prix total quand on multiplie un prix unitaire par une quantite decomposee.
Comment savoir quel facteur commun choisir ?
Prends toujours le plus grand facteur commun possible. Decompose chaque terme en facteurs et repère ce qui est commun a tous les termes. Pour les coefficients, prends le PGCD. Pour les variables, prends la plus petite puissance presente dans chaque terme.
La double distributivite est-elle au programme de 5eme ?
Elle est introduite en fin de 5eme ou debut de 4eme selon les progressions. En 5eme, on travaille surtout la distributivite simple k(a + b). La double distributivite (a + b)(c + d) est approfondie en 4eme et devient essentielle en 3eme avec les identites remarquables.
Peut-on distribuer une division ?
Oui, la division distribue aussi sur l’addition : (a + b) / k = a/k + b/k. Mais attention, la division ne distribue pas « par la gauche » : k / (a + b) n’est pas egal a k/a + k/b. C’est un piege classique.
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Ingénieur de formation, professeur des écoles et passionné par l’enseignement.
